高中数学人教A版选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念 小题训练（含解析）

4.2.1等差数列的概念小题训练--人教版（2019）选择性必修第二册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（

）A．17 B．18 C．19 D．202．已知数列是等差数列，且，则（

）A．3 B．4 C．7 D．83．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（

）A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文4．已知数列，则是这个数列的（

）A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项5．记为数列的前n项积，已知，则（

）A．8 B．9 C．10 D．116．在等差数列中，，则（

）A．16 B．8 C．10 D．147．已知数列为等差数列且，数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．8．已知等差数列满足，，则值为（

）A．1024 B． C．256 D．二、多选题9．数列的前项和为，已知，则（

）A．是递增数列 B．是等差数列C．当时， D．当或4时，取得最大值10．已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（

）A．公差d的取值范围是 B．C． D．的最小值为111．已知数列的通项公式为，则（

）A． B．是该数列中的项C．该数列是递增数列 D．该数列是等差数列12．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（

）A．B．C．(为常数)D．三、填空题13．已知数列满足，若，则__________．14．已知数列对任意正整数n都有，且是方程的两个实根，则___________.15．已知数列为等差数列，.若数列也为等差数列，则___________.16．已知数列中，，（为正整数），则的最小可能值为______．17．等差数列首项为，公差为；等差数列首项为，公差为；如果，且，，则______.18．若正项等差数列满足：，则的最小值为______.19．数列，，，，，和，，，，，均为等差数列，且，则______.20．已知，成等差数列，则______.参考答案：1．D【分析】由，，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数.【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……，故，，被5除余3的数为3，8，13……，故，，被7除余1的数为1，8，15……，故，，由，，，故，，令，解得：，因为，所以，故此数列的项数为20.故选：D2．B【分析】设等差数列的首项为，公差为d，可得，解方程即可得出答案.【详解】设等差数列的首项为，公差为d，∵．∴．解得:，∴.故选：B．3．A【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，则，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故选：A.4．B【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.【详解】数列，即数列，由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，所以通项公式，令，解得.故选：B.5．D【分析】当时，有，当时，有，结合题目条件，即可求得本题答案.【详解】1.当时，，，；2.当时，有，代入，得，化简得：，则，.故选：D6．A【分析】计算，再根据计算得到答案.【详解】设等差数列的公差为，，所以，所以.故选：A7．C【分析】由题意可得，求出与公差，根据等差数列的通项公式即可求解.【详解】由数列的前项和为，得，即，设公差为，则，解方程得（负值舍去），..故选:C.8．B【分析】由对数运算，得出，再计算公差，由等差数列性质求出结果.【详解】由已知，因为数列是等差数列，设公差为，由，又，解得.故有，，.故选：B.9．CD【分析】利用求出可判断ABC，对配方后，利用二次函数的性质可判断D.【详解】当时，，当时，，不满足上式，所以，对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，对于B，由于，，，所以，所以不是等差数列，所以B错误，对于C，由，得，所以当时，，所以C正确，对于D，，因为，所以当或4时，取得最大值，所以D正确，故选：CD.10．AB【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断B，由作差法可判断C，由基本不等式可判断D.【详解】由题意得,,而，，解得，∴，故A正确；由，故B正确；由，可知，故C错误；由，所以有，当且仅当时取到等号，但，故不能取“=”，所以D错.故选：AB11．AB【分析】对于A，取值即可判断；对于B，分类讨论是奇数项与是偶数项两种情况即可判断；对于CD，列出的前3项即可判断.【详解】因为，对于A，当时，，故A正确；对于B，若是奇数项，则，解得，不满足，舍去；若是偶数项，则，解得，满足题意，故是中的第二项，故B正确；对于C，当时，，故的前三项为，显然不是递增数列，故C错误；对于D，由C易知，，故不是等差数列，故D错误.故选：AB.12．BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A不符合题意；对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，故选项B符合题意；对于选项C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列，故为等差数列，故选项C符合题意；对于选项D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，故选项D符合题意，故选：BCD.13．【分析】法一：由递推式，结合依次求出即可；法二：构造数列，证明其为等差数列，即可求出.【详解】法一：由，可得：，由,可得:,又，可得：.法二：由题得，则等式两边同取倒数得，则，，则数列为公差为2的等差数列，则，当，则，则，故答案为：.14．12【分析】先由已知数列递推式，结合等差中项公式判断得是等差数列，再利用韦达定理结合条件得到，从而利用等差数列的性质即可得解.【详解】因为数列对任意正整数n都有，所以数列是等差数列，因为是方程的两个实根，由根与系数的关系可得，所以.故答案为：12.15．3【分析】根据等差数列的通项公式与中项公式即可求解.【详解】依题意，由数列为等差数列，设其公差为，且，得，，又数列也为等差数列，则，即，解得：..故答案为：3.16．【分析】由已知可得或，分析可知当取最小值时，数列、、、、成公差为的等差数列，且，即可求得对应的的值.【详解】由可得或，故当取最小值时，数列、、、、成公差为的等差数列，且，此时.故答案为：.17．【分析】根据等差数列定义可判断为等差数列，然后由等差数列通项公式可得.【详解】因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，因为，，所以，所以.故答案为：.18．【分析】利用基本不等式和等差数列性质可构造不等式求得结果.【详解】，（当且仅当时取等号），即，解得：，即的最小值为.故答案