高中数学人教A版选择性必修第二册5.3.2 函数的极值与最大(小)值 同步练习（含解析）

《第三节导数在研究函数中的应用》同步练习（课时2函数的极值与最大(小)值）一、选择题1.已知函数f(x)=(x2+a)ex有最小值,则函数y=f'(x)的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.不确定2.如图是函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x12+A.89 B.109 C.169 3.已知函数f(x)=xlnx-x+2a+2,若函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0] B.[0,+∞)C.[0,32) D.(-14.(多选)[2022山东临沂高二下检测]已知函数f(x)=|ln(x-1)|+ex-1,其中e是自然对数的底数,则下列结论正确的是A.f(x)的图象恒在x轴上方B.f'(1+1e)=e-eC.x=e+1是f(x)的极小值点D.f(x)的最小值为25.[2022河南焦作高二上期末]已知函数f(x),g(x)的导函数f'(x),g'(x)的图象如图所示,则F(x)=g(x)-f(x)的极值情况为()A.2个极大值,1个极小值 B.1个极大值,1个极小值C.1个极大值,2个极小值 D.1个极大值,无极小值6.已知函数f(x)=ln(x-1),g(x)=xe,若f(x1)=g(x2),则x1-x2的取值范围是(A.[1e,+∞) B.C.[2,+∞) D.[e,+∞)二、非选择题7.若函数f(x)=sin

x-aex有极值8.[2022河南南阳一中高二下月考]若函数y=e2x+(2a+x)ex+a2的最小值为g(a),则函数g(a)的最小值为.

9.若函数g(x)在区间D上,对任意a,b,c∈D,g(a),g(b),g(c)为一个三角形的三边长,则称函数g(x)为“稳定函数”.已知函数f(x)=ln

xx+m在区间[1e2,e2]上是“稳定函数”,10.设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.11.已知函数f(x)=ax+1-xlnx的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-y=0平行.(1)求函数f(x)的极值;(2)若∀x1,x2∈(0,+∞),f(x1)-f(x2)x1-12.[2022河南郑州市第十一中学高二月考]已知函数f(x)=xln

xx+m,g(x)=xex,且曲线y=f(x)在x=1(1)求实数m,n的值;(2)证明:f(x)>2g(x)-1.13.函数f(x)=exsinx,g(x)=(x+1)cosx-2ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)若∀x1∈[0,π2],∃x2∈[0,π2],使得f(x1)+g(x2)≥m成立,求实数m14.已知函数f(x)=ln(x+1)+mx2,m>0.(1)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为132,求函数f(x)的单调区间(2)若g(x)=f(x)-sinx,x=0是g(x)的极大值点,求实数m的取值范围.参考答案一、选择题1.C由题意,知f'(x)=(x2+2x+a)ex.因为函数f(x)有最小值,所以函数f(x)存在单调递减区间,即f'(x)<0有解.又ex>0恒成立,所以x2+2x+a<0有解,所以x2+2x+a=0有两个不相等的实根,所以函数y=f'(x)的零点个数为2.故选C.2.C由图象可得f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,且x1,x2是函数f(x)的两个极值点,所以x1,x2是f'(x)=3x2-2x-2=0的两根,所以x1+x2=23,x1x2=-23,故x12+x22=(x1+x2)2-2x1x3.D由题意,知f'(x)=lnx.当x>1时,f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=2a+1,即f(x)的值域为[2a+1,+∞).又函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域,所以2a+1≤1,解得a≤0.由f(x)定义域为(0,+∞),知在y=f(f(x))中,有f(x)>0,所以2a+1>0,即a>-12,所以-12<a4.ACD5.B由F(x)=g(x)-f(x),得F'(x)=g'(x)-f'(x).由题图可知F'(x)有三个零点,分别为x1,x2,x3,当x∈(-∞,x2)时,g'(x)≥f'(x),即F'(x)≥0,当x∈(x2,x3)时,g'(x)<f'(x),即F'(x)<0,当x∈(x3,+∞)时,g'(x)>f'(x),即F'(x)>0,所以x=x2为F(x)的极大值点,x=x3为F(x)的极小值点,即F(x)有1个极大值和1个极小值.6.B令f(x1)=g(x2)=t,则ln(x1-1)=x2e=t,所以x1=et+1,x2=et,所以x1-x2=et+1-et.令h(t)=et+1-et,则h'(t)=et-e,则h(t)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故h(t)min=h(1)=1,故x1-x2的取值范围是二、非选择题7.(-2,2)解析f'(x)=cos

x-sin

x+aex.因为函数f(x)有极值,所以f'(x)=cos

x-sin

x+aex有零点,所以cosx-sinx+a=0有解,即a=sinx-cosx=2sin(x-π4)有解.又函数y=2sin(x-π4)的值域为[-2,2],所以当a=-2时,f'(x)≤0恒成立,此时f(x)均无极值.故实数a的取值范围为(-2,2).8.-1e解析令f(x)=e2x+(2a+x)ex+a2,则f'(x)=2e2x+(x+2a+1)ex=ex(2ex+x+2a+1).令h(x)=2ex+x+2a+1,则h'(x)=2ex+1>0,所以h(x)在R上单调递增.因为f(x)有最小值,所以h(x)有唯一零点x0,即h(x0)=2ex0+x0+2a+1=0①,所以f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(x0)=e2x0+(2a+x0)ex0+a2,即g(a)=e2x0+(x0+2a)ex0+a2=a2+2ex0·a+e2x0+x0ex0,所以当a=-ex0时,g(a)取得最小值,为g(-ex0)=(-ex0)2+2ex0·(-ex0)+e2x0+x0e9.(4e2+1e,+∞)解析易得f'(x)=1-ln

xx2.当1e2≤x<e时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当e<x≤e2时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.所以f(x)max=f(e)=m+1e.又f(1e2)=m-2e2,f(e2)=m+2e2,所以f(x)min=m10.(1)当k=1时,f(x)=x3-x2+x,f'(x)=3x2-2x+1.因为(-2)2-4×3×1<0,所以f'(x)>0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间.(2)f'(x)=3x2-2kx+1,(-2k)2-4×3×1=4(k2-3).①当4(k2-3)≤0,即-3≤k<0时,f'(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)在[k,-k]上的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k.②当4(k2-3)>0,即k<-3时,令f'(x)=0,得x1=k-k2-33因为f'(x)=3x2-2kx+1的图象的对称轴为直线x=k3,且恒过点作出f'(x)的大致图象如图所示,可知k<x1<x2<0,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:xk(k,x1)x1(x1,x2)x2(x2,-k)-kf'(x)+0-0+f(x)k单调递增极大值单调递减极小值单调递增-2k3-k由表可知m=min{f(k),f(x2)},M=max{f(-k),f(x1)}.因为f(x2)-f(k)=x23-kx22+x2-k=(x2-所以m=f(k)=k.因为f(x1)-f(-k)=x13-kx12+x1-(-2k3-k)=(x1+k)[(x1-k)2所以M=f(-k)=-2k3-k.综上所述,当k<0时,函数f(x)在[k,-k]上的最小值m=k,最大值M=-2k3-k.11.(1)易得f'(x)=a-1-lnx,则f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为a-1.由切线与直线x-y=0平行,得a-1=1,即a=2,所以f(x)=2x+1-xlnx,f'(x)=1-lnx.由f'(x)>0,得0<x<e,由f'(x)<0,得x>e,则f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在x=e处取得极大值e+1,无极小值.(2)不妨设x1>x2.若∀x1,x2∈(0,+∞),f(x1)-f(x2则f(x1)-f(x2)>mx12-mx22,即f(x1)-mx12>f(设g(x)=f(x)-mx2,则g(x)在(0,+∞)上为增函数,所以g'(x)=1-lnx-2mx≥0对任意x>0恒成立,即2m≤1-lnxx对任意设h(x)=1-lnxx,则h'(当0<x<e2时,h'(x)<0;当x>e2时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,+∞)上单调递增,所以h(x)在x=e2处取得最小值,为h(e2)=-1e从而2m≤-1e2,解得m≤-所以实数m的取值范围是(-∞,-12e12.(1)易得f(1)=0,所以1-0+n=0,解得n=-1.因为f'(x)=(ln

x+1)(x+m)-xln

x(x+m)2所以f'(1)=m+1(1+m)2(2)设h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1,当x>0时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,h(x)>h(0)=0,即ex>x+1>1,所以当x>0时,1e要证f(x)>2g(x)-1,即证xln只需证xlnxx+1≥2xx+1-1=x-1令m(x)=xlnx-x+1,则m'(x)=lnx,所以当x∈(0,1)时,m'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,m'(x)>0,所以m(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以m(x)min=m(1)=0,即m(x)≥0,所以xlnx≥x-1,所以f(x)>2g(x)-1得证.13.(1)f'(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=2exsin(x+π4)当2kπ≤x+π4≤π+2kπ(k∈Z),即-π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ(k∈Z)时,f'(x)≥0,f(x当π+2kπ≤x+π4≤2π+2kπ(k∈Z),即3π4+2kπ≤x≤7π4+2kπ(k∈Z)时,f'(x)≤0,f(x综上,f(x)的单调递增区间为[-π4+2kπ,3π4+2kπ](k∈Z),单调递减区间为[3π4+2kπ,7π4+2kπ](k(2)f(x1)+g(x2)≥m,即f(x1)≥m-g(x2).令t(x)=m-g(x),则由题意,可得f(x)min≥t(x)min,x∈[0,π2]由(1)可知,f(x)在[0,π2]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0因为t(x)=m-(x+1)cosx+2ex,所以t'(x)=-cosx+(x+1)sinx+2ex.因为x∈[0,π2],所以-cosx∈[-1,0],2ex≥2所以-cosx+2ex>0.又(x+1)sinx≥0,所以当x∈[0,π2]时,t'(x所以t(x)在[0,π2]单调递增,故t(x)min=t(0)=m-1+2所以m-1+2≤0,即m≤1-2,故实数m的取值范围是(-∞,1-2].14.(1)易知f(x)的定义域为(-1,+∞).f'(x)=1x+1+2mx,所以f'(1)=12+2m=132,得m=3,所以f'(x)=1x令f'(x)=0,得x1=-3-36>-1,x令f'(x)>0,得-1<x<x1或x>x2;令f'(x)<0,得x1<x<x2.所以f(x)在(-1,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,即f(x)的单调递增区间为(-1,-3-36),(-3+36,+∞),(2)由题意知g(x)=ln(x+1)+mx2-sinx,则g(0)=0,g'(x)=11+x+2mx-cosx,g'令h(x)=g'(x),则h'(x)=2m-1(1+x)2+sinx,h'①若0<m<12,因为当x∈(-1,π2)时,y=-1(1+x)2及y=sinx单调递增,所以h'(x)又h'(0)=2m-1<0,h'(π2)=2m+1-1所以存在x0∈(0,π2),