高中数学人教A版选择性必修第二册导数在函数中的应用（一）单调性学案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题导数在函数中的应用（一）-单调性授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解可导函数的单调性与其导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理知识梳理一、函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性．已知函数的图象如左图所示，由函数的单调性易知，当时，是减函数；当时，是增函数．现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线的在某点处切线的斜率就是函数在改点的导数值，从图象可以看到：在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数．在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数．导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若，则在这个区间上为增函数；（2）若，则在这个区间上为减函数；（3）若恒有，则在这一区间上为常函数．反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：①导函数的正负决定了原函数的增减；②在区间(,)内，（或）是在区间(，)内单调递增（或减）的充分不必要条件．注意：只有当在某区间上有有限个点使时，（或）在该区间内是单调递增（或减）．例如：而在R上递增．③当在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．二、利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数在区间（，）内可导，（1）如果恒有，则函数在（，）内为增函数；（2）如果恒有，则函数在（，）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（，）内为常数函数．利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间．或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．要点诠释：求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集；求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确．典例分析典例分析考点一：利用导数判断不含参函数的单调性例1、求下列函数的单调区间：（1）；（2）．【解析】（1）第一步：确定函数的定义域：的定义域是；第二步：求导：；第三步：方法一：解不等式，确定单调增区间：令，即令，解得x＞1或；所以，当x＞1或，是增函数．方法二：列表：令，解得x=1或．定义域被1和分成三个子区间，在各个区间内，、的变化情况如下表所示：（∞，）（，1）1（1，+∞）+00+↗略↘略↗第四步：确定函数的单调区间：因此，该函数的单调递增区间为（1，+）和，单调递减区间为．（2）第一步：确定函数的定义域：该函数的定义域为（0，+∞）；第二步：求导：，第三步：方法一：解不等式，确定单调增区间：令，同解于不等式，解得，所以，当时，是增函数．方法二：列表：令，解得或（舍去）；定义域（0，+）被1分成两个子区间，在各个区间内，、的变化情况如下：（0，）（，+）0+↘略↗第四步：确定函数的单调区间：所以函数的单调递增区间是，单调递减区间为．例2、求函数的单调区间．【解析】令．解得或，∵0≤≤2π，解得，，．则区间[0，2π]被分成三个子区间，、的变化状态如下表所示：π+0－0－0+……所以该函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．例3、当时，求证：函数是单调递减函数．【解析】，，∴故函数在上是单调递减函数．考点二：利用导数判断含参函数的单调性例1、已知函数，求导函数，并确定的单调区间．【解析】的定义域为，，令，得．同解于．当，即，不等式的解为；当，即，不等式的解为空集；当，即，不等式的解为．综上，当时，的单调增区间为，单调减区间为．当时，的单调减区间为，无增区间．当时，的单调增区间为，单调减区间为．例2、判断函数（a＞0）的单调性．【解析】由于令，即时,恒成立．在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数．当,即时由得或或或又由得综上当时,在上都是增函数，当时,在上是减函数，在上都是增函数．例3、已知函数,讨论函数的单调性． 【解析】由题设知．令．（i）当>0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（ii）当＜0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数．例4、已知函数f()=－+(－1)，()，讨论函数的单调性．【解析】的定义域为，（1）若即,则故在单调递增；（2）若,而,故,则当时，；当及时，故在单调递减，在单调递增．（3）若，即，同理可得在单调递减，在单调递增．考点三：利用导数求参数的取值范围例1、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．【解析】，在区间上是增函数，对恒成立，即对恒成立，的图象是开口向上的抛物线，欲满足题意，则，解之得：所以实数的取值范围为．【总结升华】（1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间；（2）恒成立，则；恒成立，则，这是求变量的范围的常用方法．例2、已知函数，，若在上是增函数，求的取值范围．【解析】由已知得，∵在（0，1]上单调递增，∴，即在∈（0，1]上恒成立,令，又在（0，1]上单调递增，∴，∴＞－1．当=－1时，对∈（0，1）也有，∴=－1时，在（0，1]上也是增函数。∴综上，在（0，1]上为增函数，∴的取值范围是[－1，+∞）．例3、已知函数，若在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．【解析】由≥0，得a≤记，．当x≥1时，t(x)是增函数，∴t(x)min＝(1－1)＝0；∴a≤0。例4、已知函数R,．求函数的单调区间；【解析】函数的定义域为．∴．①当,即时,得,则．∴函数在上单调递增．②当,即时,令得,解得．(ⅰ)若,则．∵,∴,∴函数在上单调递增．(ⅱ)若,则时,;时,,∴函数在区间上单调递减,在区间上单调递增．综上所述,当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为()A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)【解析】y′＝4x3－4x，令y′<0，即4x3－4x<0，解得x<－1或0<x<1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A．2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a<1C．a<2 D．a≤eq\f(1,3)【解析】f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0；故选A。3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0【解析】f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0；故选B。4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>eq\f(4,3)，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】f′(x)＝3x2＋4x＋m，∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－12m≤0，∴m≥eq\f(4,3)，故p是q的必要不充分条件．故选B。5．“”是“函数在上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若函数在上单调递增,则恒成立,即,即,则“”是“函数在上单调递增”充分不必要条件,故选A．6．已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为（）A．B．C．D．【解析】，令即，由图可得，故函数单调减区间为，故选D．7．函数图象如图，则函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【解析】由题设中函数所提供的图形信息可以看出是函数的两个极值点,即是方程的两根,所以,即,所以函数可化为因,解可得或,由于二次函数开口向上,对称轴为,故其单调递减区间为,应选答案A．8．下列函数中，与函数的奇偶性、单调性相同的是（）A．B．C．D．【解析】所以函数为奇函数，且为增函数．B为偶函数，C定义域与不相同，D为非奇非偶函数，故选A．9．若函数在内是减函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】，由函数在内是减函数等价于，恒成立，即，得，解得，故选B．10．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．（1）求a、b的值；（2）讨论函数f(x)的单调性．【解析】求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b．由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a＋3b＝－11,3－6a＋3b＝－12))，解得a＝1，b＝－3．（2）由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3．所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．课后反击1．若，，则有（）A．B．C．D．【解析】，，时，；在上是增函数，又，.故选C．2．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】根据可知函数的导数大于或等于，所以，分离参数得，而当时，最大值为，故.故选D。3．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为A.B.C.D.【解析】,函数在区间上单调递减在区间上恒成立，解之得，故选C。4．函数的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【解析】取，可知（4）正确；取，可知（3）正确；取，可知（2）正确；无论取何值都无法作出（1）；故选C。5．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（）A．B．C．D．【解析】由且，则，设，则，所以在上是增函数，所以，即，即．故选A．6．若函数在单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】函数在单调递增恒成立，即恒成立，，所以.故选C。7．已知定义在上的函数为其导数,且恒成立，则（）A．B．C．D．【解析】构造函数，单调递增，故，故选C.8．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【解析】构造函数，在上单调递减，故等价于.故选C。9.已知函数，讨论的单调性.【解析】，①当即时在内单调递增，②当即或时解得，函数的增区间为和减区间为]直击高考直击高考1．【全国Ⅰ卷】已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（1）讨论f（x）的单调性；【解答】（1）由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有