考研数学二（解答题）模拟试卷268

考研数学二(解答题)模拟试卷268

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

2JC2+工sinz

lim

4.

x—2xcos-

1、求

2+-sinx

2xz+xsinx

=2.

1—8

xl-2xcos一1-lcosl

标准答案:XX

知识点解析：暂无解析

..无+ax2+bx

hm),

2、设(x)="T2%"+1(I)若f(x)处处连续，求a,b的值；(U)若a,

b不是(I)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型.

(8,\%\>1,

limx2n=<1,|x|=1,

标准答案：(I)首先求出f(x).注意到1”10,M<1,故要分段求

出f(x)的表达式.当|xl>l时，当lx|Vl时，=ax2+bx.于是得其

次，由初等函数的连续性知f(x)分别在(・皿・1),(・1,I),(1,+m)上连续.最后，

只需考察f(x)在分界点x=±1处的连续性.这就要按定义考察连续性，分别计算：

从而f(x)在x=l连续f(l+0)=f(l-0)=f(l)a+b=l=(a+b+l)a+b=l；f(x)在x=-l连续f(-

1+0)=f(-1-0)=f(-1)a-b=-1=(a-b-1)a-b=-1.因此的;)在x=±l均连续a=0,b=l.当且

仅当a=0,b=l时f(x)处处连续.(U)当(a,b/(0,1)时,若a+b=l(则a-bH-l),则

x=1是连续点，只有x=-l是间断点，且是第一类间断点；若a-b=-l(则a+brl),则

x=-l是连续点，只有间断点x=l,且是第一类间断点；若a-b#-l且a+b,l,则

x=l,x=l均是第一类间断点.

知识点解析：暂无解析

.(1+V

lim---------------

3、求，e'

标准答案:

=lim----r---=lime

0所以

知识点解析：暂无解析

4、设f(x)在［0,1］上有定义,4e'f(x)与e-耿)在［0,1］上单调增加.证明：f(x)在

［0.1］上连续.

标准答案：对任意的xoE［O,1］,因为eXf(x)与e-侬在［0,1］上单调增加，所以当x

ex/(x)

Vxo时，有eWe•故f(xo)Wf(x)SeX()-Xf(xo),令x—>x(f,由迫敛定

e"Cr)

理得f(x()-O)=f(x())；当x>x()时，有9ie，故cx(f

xf(xo)<f(x)<f(xo)»令x-x()+,由迫敛定理得f(xo+O)=f(xo),故f(xo-

O)=f(xo+O)=f(xo),即f(x)在x=xo处连续，由xo的任意性得f(x)在［0,1］上连续.

知识点解析：暂无解析

5、设曲线y=ax2+bx+c过原点，且当gxW时，在0,并与x轴所围成的图形的面

积为试确定a、b、c的值，使该图形绕x轴旋转一周所得立体的体积最小，

标准答案：已知该曲线过原点，因而c=0,又当OSxW时，y>0,可知aVO,

a+b>0,于是该曲线在gxgl上与x轴所围成的面积为

2

ax+bx)d.t=24该图形绕x轴旋转一周所得立体的体

V=firy'clx=fIT(ax2+6x)2dx

Jo,JO

*档考,

把。=I-代人上式可得

2

r(l---6)(1-^-b]b2

7T--Y-+争端(〃-36+6)。

<0,6</,

由=°»6=T,

>0,b>~

积为0可

知，要使该图形绕X轴旋转一周所得立体的体积最小，a,b的值应分别是

5.3

。=-了B:万

知识点解析；暂无解析

(x+1)min(—,COSXWz

6、计算下列定积分：(Iy-T12J(D)fo~f(x-l)dx,其中f(x)=

xN0,

x<0.

<—,CO8X\冈

标准答案：(I)由于mini2J为偶函数，在口上的分界点为，所以(II)由

于分段函数f(x)的分界点为0,所以，令t=x-l后，有导外-1a=3你)(1日-

i°+ln(l+x)I(J=-111(1+屋)I/°+ln2=ln(l+e).

知识点解析：暂无解析

lim—~

7、设a>0,取)在(-8,+8)上有连续导数，求极限一()♦4a2*af(t+a)—f(t-

a)]dt.

标准答案：

人…)出-------Jo/(u)du,Jf(t-a)dt1---/(u)du.于是

「-2a

[f(u)du-[/(u)dzx

・(

lim/(a)=lim°U2/(2Q)-2)[-/(-2a)]

a-*0♦

=lim二2广(2Q)+2广(-2a)]=/(0).

a-»0*4

知识点解析：暂无解析

8、设A=(ai,a2,ct3,a4)，其中A*为A的伴随矩阵，(12,013,04为4维列向量，且

ai,ct2,a3线性无关，O4=ai+a2»则方程组A*x=0

标准答案：x=kiai+k2a2+k3(X3・其中k],k2,k3为任意常数.

知识点解析：本题考查油象矩阵求秩及抽象方程组求解.由题设可知

r(A尸r(ai,a2,a3,O4)=3,且ct],a2,a3为极大线性无关组，由于r(A)=3,所以r(A")=l,

知A\=0的基础解系中含有3个线性无关的解向量.又A*A=IAIE=0,即A的

列向量ai,(12,(13,04均为A*x=0的解，且口13q3为其基础解系，所以A*x=0的通解

为x=ki(i]+k2(X2+k3U3,其中k”k.2,k3为任意常数.

+ri-1

9、在椭圆立，正"的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线，椭圆及两坐

标轴所围图形的面积为坡小.

标准答案：过椭圆上任意点(xo,yo)的切线的斜率y，(xo)满足

F+--=0,则y(孙)二一二一(兀搔0)・“、,冈

。baTo切线方程为y-yo=(x-

xo).分别令y=0与x=0,得X,y轴上的截距：于是该切线与椭圆及两坐标轴所

围图形的面积(图4.9)为S(xo)=7rab.问题是求：S(x)=(0VxVa)的最小值点，其

中，将其代入S(x)中，问题可进一步化为求函数f(x)=x2(aZx2)在闭区间[0,对上的

最大值点.由『(X尸2x(a2-2x2)=0(xE(0,a))得ao-2xj=O,x=xo=.注意f(O)=f(a)=O,

f(x0)>0,故xo=是f(x)在[0,a]的最大值点.因此为所求的点.

知识点解析：暂无解析

10^设函数y=y(x)由方程xsiny一炉+©>'=0所确定，求"1=0.

标准答案：一2

知识点解析：暂无解析

11、求二元函数z=f(x,y)=x?y(4—x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭

合区域D上的极值、最大值与最小值.

=2xy(4-X-y)=0,

标准答案：由方程组l<(z，W=/(4一“一山一/》=°得线段x=0(gy%)及

点(4,0),(2,1).而点(4,0)及线段x=0(0WyW6)在D的边界上，只有点(2,1)在D

内部，可能是极值点。f"xx=8y-6xy—2y\f'xy=8x-3x2-4xy,F'yy=一

i=A|「4,CFk

q

2x2.在点(2,1)处，A=二一8,

B2-AC=-32<0,且AVO,因此点(2,1)是z=f(x,y)的极大值点，极大值f(2,

1)=4.在D的边界x=0(gyS6)及y=0(0Sxg6)上，f(x,y)=0.在边界x+y=6上，

y=6一x.代入f(x,y)中得，z=2x3-12x2(0<x<6).由z，=6x?—24x=0得x=0,

32

x=4.在边界x+y=6上对应x=0,4,6处z的值分别为：zIX=o=2x—12xI

x=0=0,ZIX=4=2X3—12x2Ix=4=-64,ZIX=6=2x3-*12x2Ix=6=0.因此知z=f(x,

y)在边界上的最大值为0,最小值为f(4,2)=—64.将边界上最大值和最小值与驻

点(2,1)处的值比较得，z=f(x,y)在闭区域D上的最大值为f(2,1)=4,最小值为

f(4,2)=-64.

知识点解析：暂无解析

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0,且表达式[xy(Hy)—f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy为某

二元函数u(x,y)的全微分.

12、求f(x)；

标准答案：由题知，存在二元函数u(x,y),使du=[xy(l+y)一

黑=xyd+y)铁=/(x)+x2y.

f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy,即“'

由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有

2z

-d--u---_--d--u-,

dxdydydx即有x(l+2y)—f(x)=「(x)+2xy,f(x)+f(x)=x.又f(0)=0,可求

得f(x)=x一l+e-x.

知识点解析：暂无解析

13、求u(x,y)的一般表达式.

标准答案：由上题有，du=(xy2+y一ye-x)dx+(x-l+e-x+x2y)dy.求u(x,y)有多个

方法.方法一凑微分

du={xy2+»-yeDdr+(x-1+e'+/jDdy

=+zdy)+(ydz+xdy)+(一”一'也+e-xdj)-dj»

=d+xy+-jr,

法.L4」所

X

以u(x,y)=2(xy)2+xy+ye-x—y+C,其为任意常数.方法二偏积分法.由

苏=初2+_i_y-—x*,

于是u=十0+ye~x+G(y),

’其中

=x-1+e-x+x2y,

C](y)为Y的任意可微函数.再由3?得x2y+x+e-

2

x，x2J2

+Ci(y)=x-l+e'+xy,于是C(y)-1,Ci(y)二一y+C.于是u=2(Xy)+xy+ye"

x—y+C,其中C为任意常数..

知识点解析：暂无解析

14、设A是n阶非零实矩阵，满足A*二AL证明|AI>0.

-A”42l-Anl1「a”a2|…

标准答案：把条件A‘=A1"写出，LA1.a…%

A2A…AmnJLaln2w

则ajj=Ajj,于是IAI=aijAjj=aij2,(也可从AAT=AA*=IAIE,也可得到I

2

AI=aij,)由于A是实矩阵，其元素的平方K),又A有非0元素，得|AI>0.

知识点解析：暂无解析

15、证明：若矩阵A可逆，则其逆矩阵必然唯一.

标准答案：设存在可逆阵B,C,使得AB二AOE,于是A(B-C)=O,故r(A)+r[B-

C)<n,因为A可逆，所以r(A)=n,从而r(B-C)=0,B-C=O,于是B=C,即A的逆

矩阵是唯一的.

知识点解析：暂无解析

16、已知n阶矩阵

F1。…01

Ll1-1J

求IAI中元素的代数余子式之和反方Ag,第i行元素的代数余子式之和…1及主

・1)-1

对角元的代数余子式之和*A・.

标准答案：AA*二IAIEI=E,

■100-0-

—1100

A*f0—110=(AQ.X・.

••••

••••

-000-1.

由A•可知:

知识点解析：暂无解析

=(。2+62+/+才》.

故原式=(a2+b2+c2+d2)2(负号舍去，取b=c=d=o,原式二a\可知结果取

知识点解析：暂无解析

lnQ+工)，x>0,

18、设f(x)=1g2+必+，,140,且尸(0)存在，求a,b,c.

标准答案：因为f(x)在x=0处连续，所以c=0,即f(x尸

fln(l+工)*>0.

'ar2+bx,z40.

/.(0)=lim£")_八°)=lim比@=b,

x—0-1X-。-工

A(0)=lim△史一八°)=lim皿土公=1,

i>+xi*x由f(x)在x=0处可导，得

b=l,即f(x)二凶于是

知识点解析：暂无解析

..、(―+—)sin工(0,0),

/Gr,y)=jx+y

19、设10，Cr.y)=(0,0)・证明：f(x,y)在点(