2026年高考北京数学高考真题文档版（无答案）

2026年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1.已知集合M={x|x=3n−2,n∈Z}，N={−2,−1,0,1,2}，则M∩N=

A.{−2,1}B.{−1,2}C.{−1,1}D.{−2,0,2}

2.已知复数z满足z(1−i)=2i（其中i为虚数单位），则z的值为

A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i

525

3.若(x+1)=a0+a1(x−1)+a2(x−1)+···+a5(x−1)，则a3=

A.40B.−40C.−80D.80

4.已知图⃝1中的图象是函数y=f(x)的图象，则图⃝2中的图象对应的函数可能是

yy

O

Oxx

图⃝1图⃝2

A.y=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=f(−|x|)D.y=−f(−|x|)

5.抛物线y2=mx绕其顶点顺时针旋转90◦后，得到的图象正好对应抛物线y=2x2，则

m=

11

A.−B.C.2D.−2

22

11

6.若1<<，则下列结论不正确的是

ab

||

A.logab>logbaB.logab+logba>2

2||||||

C.(logab)<1D.logab+logba>logab+logba

7.已知数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}是等比数列”为“存在λ∈R，使得

Sn+1=a1+λSn”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BD1上（P与B,D1均不重合）。

记点P到正方体各顶点距离的不同取值构成的集合为M，M中元素的个数为m，则

数学试题第1页（共4页）

D1C1

A1B1

P

DC

A

B

A.m的最小值为2，最大值为4B.m的最小值为1，最大值为3

C.m的最小值为1，最大值为4D.m的最小值为2，最大值为3

9.仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十五号”载人飞船于北京时间11月29

日23时08分发射，约10分钟后，“神舟十五号”载人飞船与火箭成功分离。早在1903

年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理

想情况下的最大速度v满足公式：

m1+m2

v=v0ln,

m1

其中m1,m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v0是发动机的喷气速度。已知某单

级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km/s，则火箭发动机的喷

气速度为（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln4≈1.4）

80

A.10km/sB.20km/sC.km/sD.40km/s

3

−→−−→

10.过点P(4,0)的直线与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B，设C(1,0)，则

CA+CB

的取值范围是

√√√√

A.[2,6]B.[3,23]C.[2,23]D.[3,4]

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.若f(x)=2sin(x+φ)−cosx(φ>0)为奇函数，则φ的一个值为，f(x)

最大值为。

y2x2

12.若双曲线C:−=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2−4y+2=0所截

a2b2

得的弦长为2，则双曲线C的离心率为。

13.我国南北朝时期的数学典籍《孙子算经》中“物不知数”问题的解法，被西方人称为“中国

剩余定理”。现有如下问题：将被2除余数为1且被3除余数为2的正整数，按从小到大的

顺序排成一列，构成数列{an}，则a1=，a2026−a2024=。

√√

14.如图，筝形ABCD中，AB=AD=5，BC=DC=2，BD=2。将△ABD绕BD

顺时针旋转120◦，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的体积为，表

面积为。

A

D

⇒

ACDC

BB

数学试题第2页（共4页）

15.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并

且有意识地“以概念代替盲算”，以其名字命名的函数狄利克雷函数

(

1,x是有理数,

D(x)=

0,x是无理数.

现定义一个与狄利克雷函数类似的函数“L函数”

(

x,x是有理数,

L(x)=

0,x是无理数.

给出下列四个结论：

⃝1D(1)=L(1)；

⃝2函数L(x)是偶函数；

⃝3L函数图像上存在四个点A,B,C,D，使得四边形ABCD为平行四边形；

⃝4L函数图像上存在三个点A,B,C，使得△ABC为等边三角形。

其中正确结论的序号是。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）如图，在平面内，四边形ABCD满足B,D点在AC的两侧，AB=1，

BC=2，△ACD为正三角形，设∠ABC=α。

D

A

α

BC

（I）当∠ACB=30◦时，求α的大小；

（II）当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值。

17.（本小题13分）流感病毒属于RNA病毒，主要分为甲型、乙型、丙型。其中，甲型流

感病毒传染性和致死率最高，危害极大。某药品科技研发团队针对甲流病毒特性，成

功研制出预防药品M与治疗药品N。通过对前期动物试验的相关有效数据进行统计，

随机选取100个样本，得到如下数据：

预防药品M甲流病毒–感染甲流病毒–未感染合计

未使用162036

使用244064

合计4060100

（I）从这100个样本中随机抽取一个，已知该样本使用了预防药品M，记其未感染甲

流的概率为P1，求P1的值；

（II）以频率估计概率，从已感染甲流的动物中抽取3个样本，记使用了预防药品M

的动物数为X，未使用预防药品M的动物数为Y，求X<Y的概率；

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（III）以频率估计概率，从已感染甲流的动物中随机抽取一只，使用治疗药品N进行

治疗。已知未使用预防药品M的动物治愈率为0.5，使用过预防药品M的动物治愈率

为0.75，设治疗药品N对甲流的治愈率为P2，判断P1与P2的大小（结论不要求证明）

18.（本小题14分）如图，三棱锥P−ABC中，AB⊥AC，AB⊥BP，AB=BP=2，

AC=4。M为AP的中点，N为BC的中点。

P

M

AC

N

B

（I）求证：AB⊥MN；

（II）再从条件⃝1、条件⃝2这两个条件中选择一个作为已知，求直线MN与平面PAC

所成角的正弦值。

√√

条件⃝1：MN=5；条件⃝2：PC=26.

注：如果选择条件⃝1和条件⃝2分别解答，按第一个解答给分。

x2y2√

19.（本小题15分）已知椭圆W:+=1(a>b>0)的短轴长为2，焦距为23。

a2b2

（I）求椭圆W的方程；

（II）椭圆W的左右顶点分别为A,B，点M为W上一点，直线AM交x=a于点C，

BM交x=−a于点D，BC,AD的中点分别为P,Q。判断PQ与W的位置关

系。

1+ax

20.（本小题15分）已知函数f(x)=ln(a=0)。