经济类数学 线性代数第二章习题答案

习题二参考答案

(A)

1.设，，求

⑴24+38；

⑵若满足，求.

解：(1)

「4188-T

=188-2-4

、一218222,

⑵由得，，所以

3142-2、

X=A+-B=3122-2-2

2

3344-24

,2103、

=1032

Q153,

2.计算

解：⑴

r3-2

J-2U

」23、

⑶2(123)=246

A

369,

(4)(321)2=10.

3

3.已知两个线性变换

(1)试把这两个线性变换分别写成矩阵形式;

(2)用矩阵乘法求连续施行上述变换的结果.

解：(1)写成矩阵形式为

-3-3

必必2、

-1乂21

<Z2>

2人％,%3

(2)连续施行上述变换有

修20-31—3、5-15

(zA2、

犬212-1216-4

\z27A

“313-12人一13J-1-4

单

位

4.某企业在一单位单位

价

月份出口到三美国德国法国格重量体积

(

个国家的两种7-57L)(吨)(米3)

货物的数量以

及两种货物的

单位的价格、

重量、体积如

下表：

出、国

A.200012008800.30.0120.12

A2100013006000.20.050.6

利用矩阵乘法计算该企业出口到三个地区的货物总价值、总重量、总

体积各为多少？

解：设矩阵

,则该企业已口到三个地区的货物总价值为

2000120088()、

PZ=(0.30.2=(8007200384)；

10001300600,

总重量为

200012008801

w7=(0.0120.05100013006OoJ=(7479.4135.6)；

总体积为

200012008801/、

V7A=(0.120.6=(840300465.6).

1000130060()J'

5.计算下列矩阵(其中为正整数).

(3)；(4)

解：时，，

假设当时，成立，则

当时，，有归纳法有

’11丫110

<0。厂［。0/

(2)时，，

假设当时，成立，则

当时，，

有归纳法有

q2Y,1

0

⑶

a00、

0b0

00c2

/

假设当

成立，则

当〃=%+1时,

%00、0oo1

0h00hhk+l0

W°0o/T

c,/

有归纳法有

a00o0

0b00hn0

<0000

/

，i-1-1

-i1-1-1

(4)A二

-1-11-1

【一1-1-1

〃=2时,

(1-1-1Y1-1-A000

-11-1-1-11-I-10400

A2=

-11-1-11-1o040

-1-1-1<0004

=22E,

时，,

于是，当(为正整数）时,

An=(A2)k=(22E)k=2"E,

当（为正整数）时,

2*+,2k2knl

=A*=AA=(2E)A=2-Ai

TE（〃为偶数）

因此得A'=

2〃TE（及为奇数）

6.设，记

称为方阵的次多项式.

现设，，求.

解：f(A)=A2-A+E

2

3-13-100、

21o21o+0I0

112;U12,0b

、

「8-3531、100

8-12210+010

2512,001

「6-24、

=6-12

<64,

7.设矩阵、是可交换的,试证:

(1)(A+B)(A-B)=A2-B2；

（2）.

证明：因为矩阵、是可交换的，所以，

因此有⑴，

(2)(A+B)2=A2+_BA+AB+B2=A2+2AB+B2.

8.设、是同阶矩阵，且，证明：的充分必要条件是.

证明：必要性如果，则，

由于矩阵与是可交换的，由上式得

-(B2+2B+E)=-(B+E)

42

整理得.

充分性如吴,则

A2=[-(B+E)]1=-(B2+2B+E)=-(B+E)=A.

242

9.设矩阵

均为实数)，

(1)计算4A7；

(2)利用(1)的结果,求

解：⑴

行+2+d2000

0a2+b2+c2-id200

00a2-^b\c\d20

<000+/+/+/

(2)由(1)有

=网,[=(a2+反+/+/)4,

所以阿=储+〃2+/)2.

10.证明题：

(1)对于任意的矩阵，则和均为对称矩阵.

(2)对于任意的阶矩阵，则为对称矩阵；而为反对称矩阵.

证明：(1)因为，所以为对称矩阵；

又因为，所以为对称矩阵.

(2)因为，所以为对称矩阵；

又因为，所以为反对称矩阵.

11.如果、是同阶对称阵，则是对称阵的充分必要条件是

=BA.

证明：必要性如果是对称阵，则，即，

由已知有，所以.

充分性如果，则

Trr

(AB)=BA=BA=ABf

所以是对称阵.

12.设阶矩阵的伴随矩阵为，证明

(1)若，则；⑵.

证明：(1)假设，则，

由此得，

所以，这与相矛盾，故时，有

⑵由得，，

若时，有，

若时，曰(D知，等式也成立，故有

13.设阶矩阵，，满足，则下列各式中哪一个必定成

立？简述理由.

(1),(2),(3),(4).

解：由可改写为，即是的逆矩阵，所以有，即(4)必定成

立.

类似可得可)、(2)、(3)未必成立.

”.设，均为阶可逆矩阵，下列各式一定成立的有哪些？简述

理由.

(1)[(47)一丁=[(47)-

(2)[(4)丁OU；

(3)(A")T=(4T)&(%为正整数)；

(4)(A+8)T=AT+8々；

(5)[(AB)7]-1

(6).

解：(1)由于[(AT)-/=A"所以

，即(1)式一定成立.

(2)由于,,即(2)式不一定成立.

(3),(3)式一定成立.

(4)设，，显然、都可逆，但是

A+B=O

不可逆，故(4)式不成立.

(5)由于

[(AB)7]-1=(BTAT)-'=(A)r)-1(Br)_|=(A-,)r(B-1)r,

即(5)式一定成立.

/、「JOA}(O2(AB-lO)

(6)由于।.

(3O)[B-]O)[OBA-lJ

但是不一定等于，故(6)式不一定成立

15.设是阶矩阵，满足是正整数)，求证：可逆，

并且(E-A)T=E+A+A2+---+Ak~l.

证明：因为

=E-Ak

=E,

所以可逆，并且.

16.设是可逆矩阵，证明：其伴随矩阵也可逆，且

证明：因为是可逆矩阵，所以，由于

A4*=|fE,

有，

因此，伴随矩阵乜可逆.

由上述证明可知，

又因为，

所以，

故

17.设、和均是可逆矩阵，试证：也可逆，并

求其逆矩阵.

解：A-1+=A-'+A1AB]

=A-\E+AB-')

=AT(M+AM)

=+

由于、和均是可逆矩阵，它们的乘积也可逆，所以有

⑷+BT)7+

18.设为三阶矩阵，是矩阵的伴随矩阵，已知，求

(3A『-2A*.

解：因为，所以有可逆，且有.而

,于是，

因此有|(3A)T—2A*|=-A-1-A-'

19.用分块矩阵的乘法计算.

」00024

0100-22

10

01

⑵

解：(1)设

-24、

-212CD、

'T'o""iE-

o1-L

(EO\(CD、，CD、

则5”石F,

J(AC+6A0+S

(20Y2-2r-ii3-3、

而AC+B=4-

U-'A-2、()-i-4>

「20丫公-11、2、(5]

AD+BFAS^BF=+

J-12J0一1人一

1000、2-24、'2-24、

0100-212-212

于是

T~~~Q-i1-o-'-2"3"--35~

J-1o<01-I、4-43,

⑵设，

4月A公

AB2

则4（用的B)儿也，

4Bi4层A3B3,

而，，

,2、

A层=0o=-2,4用=(i1)2=0,

。O

,P2

A2B2=(1-114,A2B3=(1-11)2-4,

2

」0-n(2:0;-2>[2-2-21

于是i2i2—04-4

0-7oJI。：210J3-22；

20.求分块矩阵的逆矩阵.

⑴(2).

解：⑴记，则

31

网=；忸|=

13-4

所以都可逆，且有

rz2/1

AT=8T=

1I3

2ooo

1ooo

于是

0™一-

4-

l()03-4J00!3-1J

⑵记，，，

因为，，所以、i是可逆矩阵，且有

，，

根据例2.17的结论有

、。8广［。/

所以.

21.设为三阶矩阵，，1按列分块为，

其中为的第列,求

(1);(2)

解：⑴

=NA,4,41

=2|A

二4

⑵|4-34,2A2,4|=|A3,2A2，A|

=2|43,24,4

=2|A4,4|

=2|A|

二4

22.设为阶矩阵，把按列分块为，为的第歹1试

用表示.

8T

解:A7A="2邛血…，凡)

母片…似仇:

二B；B\优生…6X

♦♦・

•••

/人…照心

23.设为三阶可逆矩阵，若按行分块为，按列分块为，试判

断下列分块矩阵是否可逆.

(1);(2).

解：(1)利用行列式的性质计算分块矩阵的行列式

00,

从而可逆.

(2),

从而不可逆.

24.设矩阵

aaaa

\2\32\。2223

aaa,B=a

2\2223\2《3

a

。32。33,II〃32+i2“33+013,

,,则下列各式中哪一个必定成立?简述理由.

⑴；⑵；(3)；(4).

解：因为的第一行加到第三行，再交换的第一行和第二行，从而得得

到，故用左乘，再左乘，即，(3)式必定成立.

25.求下列矩阵的等价标准形.

(1);(2)(3).

解：⑴

1111、小1111、

20-3210-2-50-1

⑶

1361202501

、42643,<0-220-1,

-1()000、’1()000、

0-2-50--10-2-50--1

—>—>

0250100000

-220-,0070°，

。0000、

01000

->

00100

ko0000,

26.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.

‘1111

r-10、」35、

(1)223；(2)024；(3)

1-11-1

21,<003)

J-1-11

(4).

解：(1)

所以

1-10Y1<-41-3、

22-3

2V16-1

135100、135100

02401002400

I

100300100100

737

13010

35100

11

02000100

22

11

0010000100

3)37

3一

loOl一

23

1

oOo2

1

2一

oIo3!1

oo

所

以

3

--

52

2

o24o---

23

oo1

oo

3-

ooooo-

ooooo22oo

⑶

ooorlo2o2oo

oooo22ooo

/1

/1oooooo

o2o2ooo2o2oo

oo22oo♦oo22oo

oo22ooooo

311111I

o----ooo------

444444I41

1111

oooooo--

--_4---

22414

11111

2

ooo--ooo_----

2224441

1<1

1111

--

ooo----ooo_-

—4

4444744/

所以

/1111

------

44，4-4

--

1111

---

---一

-44144

1+11

-1-

--一

4-44

41

-1111

--

---

14444I

/

0%000100••00、

**

00a20001000

⑷*•••••**•

*•■*■****•*•；0

0000an-l000••10

**

VC匕00000000•>

*0000000•*0P

0%000100**00

00生0001000

■*••*■****

•*•*•*•*••**•*•***••

0000000*•1

\0>

/

100••00000••*0%

下

010••0000•••00

001••0000**•00

**•••****•

*•*••*****•*

**••*•****

-1

♦••••7

00001000an-\0

所

以

T

oOoo、oooo

4••••••-

〃

OO/OO-oooo

•••iL•••

•:…•:OTOOO

:••-C%•••

•

Oooo•…•::

♦•♦••••

OOO/JO-OOOTO

•••/•••

/J-

27.解下列矩阵方程.

1、（2

⑴X=

、34JU

(\04、

13、

⑵X1

2b

J

7

⑷设，且，求.

解：（1）因为，所以矩阵可逆，在方程的两边左乘该矩阵

的逆矩阵，得

(\ir'por

一〔3J〔123,

「4-1Y20r

=、-31小23,

，7-2n

=-520/

（2）因为，所以矩阵可逆，在方程的两边右乘该矩阵的逆矩阵,

得

/oor

「2-35,

⑶设，，则，，

故矩阵都可逆，在方程的两边左乘，右乘，得

(1-3丫731Y2-1Y1

X=

U2乂0一1人一11,

1-2-3V31Yir

、一1-i]o-山2)

_'-5-4、

「3-3?

⑷由得，

(A-2E)X=Af

而

「1-101"10O'W-1-10

A-2E=01-1-2010=0-1-1

001J0-1

且，所以可逆，在两边左乘得,

X=(A-21

又

1_1、

~22-2

111

(A-2E)-*=--,

2--2---2

_1__]_

、2-2一工

故

__L1

~22~2(1-1()、

XV---1---1101-1

222

o'J

<2-22)

<01-p

=-101

-•o;

28.求下列矩阵的秩.

(1);(2).

解：⑴

p-12一n(\-12-T

-04-65704-65

4-65<0000,

所以该矩阵的秩是2.

<1-121P-121()、

2-242000000

⑵—>

306-11030-41

1,03001°300b

(\-1210、

03001

-4

000-40

(()0000J

所以该矩阵的秩是3.

29.已知阶矩阵满足，证明:为可逆矩阵；并求

解：由得，

2

A-2A-3E=Ef

(A-3E)(A+E)=Ef

所以为可逆矩阵，.

30.已知阶矩阵，满足，

(1)证明：为可逆矩阵;

(2)已知，求矩阵.

证明：(1)由得，

即

整理的

因此可逆，且

解：（2）由（1）得,

即

B=E+{A-EY[

1

o0、，0-30Y

=010+200

0J1°01,

]_

0

2

]_

10

3

002

7

(B)

1.若、是阶方阵，且可逆，则也可逆，且

（E+BA『=E—B（E+AByiA.

证明：(E+BA)[E—B(E+A5)-1]

=E+BA—B(E+AB)-A-BAB(E+AB)-1A

=E-kBA-B(E+AB)-1A-B(E-hAB-E)(E+AB)-lA

=E,

所以也可逆，且.

2.设为可逆矩阵，、是同阶方阵，且，证明：和

都为可逆矩阵.

证明：由得，

22

A+AB=-Bf

即

由于为可逆矩阵，所以，因而有

于是

网工0|A+B|wO,

所以和都为可逆矩阵.

己知实矩阵满足(1),其中是的代数余子式；(2)，计

算.

解：由得，

AA*=AA，=|山石，

于是，从而

或，

但由于得，

因此

4.设、为同阶可逆矩阵，证明：.

证明：因为、为同阶可逆矩阵，所以有

3q=阿恸wO,

即也可逆，而，

于是

(AB)*=(A3)T|M

=一”川目

=(B-1|4)(A'，|A|)

5.设矩阵3的伴随矩阵

且，求.

解：由题有

3*4=恸石，8*网=附，

所以，即.又

BAB"=AB]+3£

从而，，即

(E-B")A=3E

于是

，，，

故

「6000、

A=6(2七一夕)7=:600

060

30f

6.已知