考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷28

考研数学一(概率与数理统计)模拟试

卷28

一、选择题(本题共〃题，每题1.0分，共〃分。)

1、设随机事件A,B,C两两独立，且P(A),P(B),P(C)G(O,1),则必有()

A、C与A-B独立.

B、C与A—B不独立.

C、AUC与BU^独立.

D、AUC与BU5不独立.

标准答案：D

知识点解析：对于选项A、B：P(C(A—B)尸P(4BC)=p(AC)—P(ABC尸P(A)P(C)

P(ABC),P(C)P(A—B)-P(C)|P(A)P(AB)]-P(A)P(C)P(A)P(B)P(C).尽力

A,B,C两两独立，但未知A,B,C是否相互独立，从而不能判定

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故选项A、B均不正

确.

如果4UC与BUE独立，-4UC、而与8U。=BC独立.即P((AC)(BC))=

P(点)P(就)，由于

P((4C)(fiC))=OtP(AC)P(BC)=P(A)P(B)P(C)P(C)t

进而得

P(A)P(B)P(C)P(C)=0.

与题设P(A),P(B),P(C)€(0,1)矛盾，故排除C选项，应选D.

2、随机事件A与B互不相容，OVP(A)V1,则下列结论中一定成立的是()

A、AUB=Q

B、AUB=〃

C、A=B.

D、AB=0.

标准答案：B

知识点解析：因=0,所以彳U5=丽:〃，故选B.

3、已知OVP(B)V1,且P[(AfA2)|B]=P(a|B)+P(A2|B),则下列选项成立的是()

A、+&)|同=P(4|万)+P(4旧).

B、P(AiB+A2B)=P(AiB)+P(A2B).

C、P(A।+A2)=P(Ai|B)+P(A2|B).

D、P(B)=P(Ai)P(B|AI)+P(A2)P(B|A2).

标准答案：B

知识点解析：将题设条件两边乘以P(B),得P[(AI+A2)B]=P(AIB)+P(A2B),

P(A।B+A2B)=P(A।B)+P(A2B),由乘法公式可知，上式即为选项B,故选项B正

确.

4-.设随机变量X在［0,1］上服从均匀分布，记事件

，={""W抒8则（）

A、A与B互不相容.

B、B包含A.

C、A与B对立.

D、A与B相互独立.

标准答案：D

知识点解析：如图2—1可立即得到正确选项为D,事实上，由题设可知

Y、1，0=W1,

X-/（X）=<

lo.其他，

所以P(A)=W。《XW}}=£/(')七='2f

P(8)•卜p(x)dx=y.

P(48)=P{+WXW}}=^f(x)dx=y

所以P(AB)=P(A)P(E)=A与8相互独立.

AB

°i1i

图2-1

5、设随机变量X的密度函数为fx（x）,Y=—2X+3,则Y的密度函数为（）

⑷-3（田⑺/（号>

（d3（-用

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：y=-2x+3是x的单调可导函数，其反函数

x=A(y)='宁，•=L.±

7=5’根据随机变量函数的公式:

一、f/dMy)]IV(y)|,<y<6,一

/r(y)={故选项B正确.

I0,其他，

6.设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为Fx(x)与FY(y)，则

Z=max{X,Y}的分布函数Fz⑵是()

A^max{Fx(z),Fy(z)}.

B、FX(Z)+FY(Z)—Fx⑵FY(Z).

C、FX(Z)FY(Z).

L)\/

标准答案：c

知识点解析：Fz(z)=P{max(X,Y)<z}=P{X<X,Y<z}

=P{X<z}.P{Ygz}=Fx⑵.FY(z),故选项C止确.

7、设相互独立的随机变量X和Y均服从P(l)分布,则P{X=1|X+Y=2}的值为()

(A)/・(B)+

(C)|.(D)(

Oo

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析:

Pix=i|x+y=2|=%/:忱

P|X+y=2|=SP\X=A,r=2-=k\P\Y=2-^|

*7offo

yL_._«_______jy!

=一aA!(2-A)!"h6!(2-k)!

=2-e

PH=+r=2|=PU=i,r=n=P|A=n/^ir=n

=e'1,e'1=e'2.

所以P{>=1|X+y=21=”工=4••故选项A正确.

2•e/

8、已知随机变量X与Y的相关系数为「且「翔，Z=aX+b,则Y与Z的相关系数

仍为p的充要条件是()

A、a=l,b为任意实数.

B、a>0,b为任意实数.

C、a<0,b为任意实数.

D、a/0,b为任意实数.

标准答案：B

知识点解析：直接计算Y与Z的相关系数来确定正确选项.由于Coy(Y,

Z)=Coy(Y,aX+b)=aCov(X,Y),D(Z)=D(aX+b)=a2(X),所以

Cov(y,z)=aCov(x,r)

=片

J。")/O(Z)~/D(Y)VaD(X)ITT"m=>0,故选B.

9、设随机变量X],X2,…，Xn相互独立，Sn=X]+X2+…+Xn则根据列维―林德伯

格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要Xi，X2,…，X„()

A、有相同的数学期望.

B、有相同的方差.

C、服从同一指数分布.

D、服从同一离散型分布.

标准答案：C

知识点解析：本题考查中心极限定理的应用条件，列维―林德伯格中心极限定理成

立的条件是随机变量X],X2,…，Xn独立同分布，且具有有限的数学期望和非零

方差.而选项A、R不能保证随机变量X],X2Xn同分布，故均不入选；选

项D不能保证其期望、方差存在及方差非零，故也不人选，因此选C.

10、假设总体X服从？数为入的泊松分布，；“2:次自总体X的简单

XA=aX+(2-3a)5F

随机样本，其均值为，方差为S?.已知为为入的无偏估计，

则a等于()

A、一1.

B、0.

1

c、万

D、1.

标准答案：C

知识点解析：根据题意有成=3由此计算出a值，从而确定正确选

项._

由于总体X~P(A),所以£X=DX==EX=A,ES2=DX=*，又或=A=>«A+(2

-3Q)入=A.a+2-3a=l=>a=；，选择C.

11、设亍是从总体X中取出的简单随机样本X],X2,…，Xn的样本均值，则亍是

口的矩估计，如果()

A、X〜NQi,『).

B、X服从参数为p的指数分布.

C、P{X=m}=g(l一以严Im=l,2........

D、X服从[0,田上均匀分布.

标准答案：A_

知识点解析：若X〜NQt,『)，则E(X)=R,N的矩估计为2:2应选A.若X服

从参数为V的指数分布，贝卢=两’"的矩估计对于选项C,

X服从参数为N的几何分布，E(X)

=；志，〃的矩估计&=对于选项D,£(X)吟，世=2E(X)，〃的矩估计0=2元

二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

12、设A,B,C是两两相互独立的随机事件，且这三个事件不能同时发生，它们

的概率相等，则P(AUBUC)的最大值为.

3_

标准答案：4

知识点解析：

P(AUBUC)

=P(A)+P(8)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

=P(4)+P(8)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-尸⑷/(C)+P(0)

=3P(4)-3[P(Q『

=--3(P(4)-当P(4);"I•时,P(4UBUC)为最大值.

WP(AUBUC)的最大值为》

13、设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件

是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为.

1

标准答案：§

知识点解析：设事件A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品.事件B：所

取的两件都是不合格

品.

因为P(A)=1-P(4)=1-(C：/CJO)=告,P(B)=C：/C：Q，且P(4)>P(编所以

〃(_P(4)_P(4)—5.

y=y,当IXIW1,

14、已知随机变量X服从参数为入的指数分布，〔-X，当।XI>1.则

J_

P{X+Y=0}=；P{Y<2}=.

标准答案：e~；l_e+

知识点解析：

已知X~外)=所求的概率为

I0,xC0,

p|x+y=o|==-x|

=P|lXI>1|=P|X>1|^P\X<-1|=/人e"(k=e\

根据全概率公式，可得

p|r<yl=Pircy,Ixi1|+p|r^y.ixi>u

=P|Xy,IXIcl|+P|-X<y,lXI>1|

=P\-1,P|X>1|

r+r-

=(AeA4dx.(Ae'X1dx

=1-©++e'\

15、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P[X=E(X2))=.

1

标准答案：2e

知识点解析：因为X服从参数为1的泊松分布，所以E(X)=D(X)=1.从而由

1

D(X尸E(X2)—[E(X)-得E(X?)=2.故P{X=E(X2)}=P{X=2)=2e*

标准答案：0.3

知识点解析:由于0.1+0.2+a+P+O.1+0.2=0.6+a+p=l>即a+0=O.4,又

0.5=P{X2+Y2=l)=P{X2=0,Y2=1}+P{X2=1,Y2=0}=P{X=0,Y=l}+P{X=0,Y=

-1)+P{X=1,Y=0}=a+0.1+0.1.故a=0.3,0=0.1.那么

P{X2Y2=1)=P{X2=1,Y2=1}=P{X=1,Y=1)+P{X=1,丫=一1}=0.2+0=0.3.

6x,0WxWyW1.

f(xty)=

17、设二维随机变量(X.Y)的概率密度为0,其他，则

P(X+Y<1}=.

标准答案：了

知识点解析：已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概

率P{g(X,Y)<zob一般可转化为二重积分图3-2

进行计算.根据题设可得，如图3—2所示,

PIX+yw1|=(4=)心心

£

((64-12x2)dx=不

0

00.10.20.2

10.20.20.1

18、设随机变量X和Y的联合分布为则X

和Y的协方差C0v(X,Y)=___________.

标准答案：一0.1

X

-101

00.10.20.20.5

10.20.20.10.5

知识点解析：根据题意可知0.30.40.3显然,

E(X)=0.5,E(l,)=(-*1)x0.3+1x0.3=0.E(XY)=-P{XY=-1}+P{XY=l}=-

0.2+0.1=-0.1.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.1-0=-0.1.

19、设随机变量X的密度函数为五'―8<zV+8.则E(X)：

D(x)=.

标准答案：2

因为/(“)=>7川1—!~e-百即局.

取E(X)=\,D(X)=y.

知识点解析:

20、设Xi，X2，X3,X4是来自正态总体N(0,2?)的简单随机样本，Y=a(Xi—

2X2)2+b(3X3—4X4)2,则当a=,b=时，统计量服从小分布，自

由度为.

标准答案：20*100*

知识点解析：根据题意置一N(0,22)且相互独立，所以Xi—2X2〜N(0,20),3X3

一4X4〜N(0,100),故

七£“~用(0」)，也高竺1~N(0,l)且它们相互独立，根据f分布典型模式及性质知

/20W

[(X-2苞)2+*(3汽-4Xj~/(2),

因此。=小=志,y4⑵,所以自由度为2.

21、设总体X服从(a,b)上的均匀分布，Xi，X2，…，Xn是取自总体X的简单随

机样本，则未知参数a,b的矩估计量为'=--------h=

标准答案:忌?5

知识点解析：

£(X)=京6+a)±“,O(X)=色削2。2,解方程组

6+a=2^t「一

=»a=〃一=〃+J3。.

6-a=2J3a

设A=京=十口,,/=2■£(>,-对G=-')'则a，b的矩估计量分别为

a=/x-Qcr-X--=&+=X+耳(X-X)二

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

22、随机变量X在「爹’2J上服从均匀分布，☆YusinX,求随机变量Y的概率密

度.

标准答案：根据分布函数法先求Y的分布函数FY(y).由于X在[T'了)上服从

均匀分布，因此X的概率密度fy(x)与分布函数Fx(x)分别为

Zr(x)=宣22

10,其他.

Fy⑺=P{yW”=P\sinAWy|.

当-1<%<I时,

Fr(y)=Warcsiny|=Fx(arcsiny)=；+—arcsiny；

2IT当y<—

1时，FY(y)=O；当)，K时,FY(x)=l.因此Y的概率密度为fY(x)为

J<T-]<y<],

{IT71-/

o,其他.

知识点解析：暂无解析

23、设q,n是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知自的分布率为

i

变量X的数学期望E(X).

标准答案：(I)根据X=max&T|),Y=min(On)的定义可知，P{X<Y)=O,即

P{X=1,Y=2}=P{X=1,Y=3)=P{X=2,Y=3}=0,同时有.，

p\x==11=P怔=1,可=1|=p1f=11-P|TJ=11=/,

P\X=2,y=2|=P\f=2,17=2|=P\i=2|•P\n=2|=，，

P|X=39Y=3|==3,r)-3|=P\f=3|•P\T)=3|=y,

P\X=2tY-11=Pif=l,1=21+Pif=2,"=l|=-

P{X=3,y=2|=〃怔=2,可=31=3E=2]=y+y=

P|X=3J=1|=|-*=/；

所以所求

的分布律为

123

122

1~99~~9

12

20

9-9

1

300-9~

(U)＞的边缘分布为

X123

115

P~9T~9

因此X的数学期望为E⑶=力1+jx24--j-x3=y.

知识点解析：暂无解析

24、将三封信随机地投入编号为1,2,3,4的四个邮筒.记X为1号邮筒内信的

数目，Y为有信的邮筒数目.求：(I)(X,Y)的联合概率分布；(n)Y的边缘分

布；(ID)在X=0条件下，关于Y的条件分布.

标准答案：(I)根据题意，(X,Y)的全部可能取值为(0,I),(0,2),(0,3),(I,

2),(1,3),(2,2),(3,1),再分别计算相应的概率.事件｛x=0,Y=l｝表示"三封

信均投入后3个邮筒中的某一个邮筒内”.根据古典概型公式，样本空间所含样本

点数为4，=64,有利于事件｛X=0,y=l｝的样本点数为C3和ui=3,于是

r1&

P|X=0X=11=」=三

"4?类似地可以计算出各有关概率值，列表如下：

7^^123

9

33

32

06432

9

107T9

64

32

20

9

0

3164

640

0

13

P|Y=ji=P.,1616T

—(II)从

表中看出，只取1,2,3三个可能值，相应概率分别是对表中pij的各列求和，所

以Y的边缘分布为表中最下行

值.

(ID)PIXNO}=强泻^0=1,2,3)

在X=O条件下，关于Y的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下：

Y123

Pni(力1*i)_LZ2

9TV

知识点解析：暂无解析

25、设随机变量X与Y相互独立，且都在［0,1］上眼从均匀分布，试求：

(I)U=XY的概率密度fuQ);(D)V=|X—Y|的概率密度fv(v).

标准答案：根据X与Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分右函

数法和公式法求出U、V的概率密度.(I)分布函数法.根据题设知(X,Y)联合概

率密度1°，其他所以U=XY的分布函数为

匕.(“)=P\XYW“I=|T/(*,y)(kdy.

(如图3—7所示)町。⑴当吆0时，Fu(u)=O；当

回时，Fu(u)=l；(2)当OVuVl时,

尸“(u)=[dx[dy+]dx/dy=〃+[~dz=u-ulnu.

综上得

0,uC1.

F“(u)=u-ulnu,0<u<1,

I,1;

-Inu,0<u<1

fuM=1

0,其他.

图3-7(1)公式法.记Z二X—

Y=X+(—Y).其中X与(一Y)独立，概率密度分别为

[1,0W*W1.rl,-1W”0,

fxM=1/.y(y)=I

其他；其他，根据积公式得Z的概率密度

/z(z)=j-y)f」(y)dy=。(工-八打

0,1w-1或z>1,

…一口⑴4==z+】,…….

[draJ-X,。这Z<1.

V=IX-rl=|z|的分布函数为FJb)=P||Z|w”|,易得

当cWO时,K(D)=0；当u>0时，匕(0)=P|-uWZWv|=/'(z)dz；

由此知，当0<v<I时，

2

Fr(v)=j(z+1)dx♦[(I-z)<lz=2v-v；

当。孑l时，

几(")=JOdz+，(z+1)dz+((1-z)山+1°山=匕

综上得

0,rWO,

,,、f2—2vt0<v<

/；(»)=2。-J,0<i»<1,=/J")=｛八廿〃

I0,冗他.

I,s含I,

知识点解析：暂无解析

26、设X],X2，…Xn(n>2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，4为样本均值，

记Yi=Xi—i=l,2,n.求:(I)Yi的方差D(Yi),i=l,2,n；(H)Yi

与Yn的协方差Cov(Yi，Yn).

标准答案：根据题设,如X1，X2，…，Xn(n>2)相互独立,且E(Xi)=O,

E(X)=0.

(I)DY.=D(Xt-X)=可(1-Jk

D（Xi）=1（i=1,2,…，n）,nnn

（11）因为已知乂1，X2，…，XMn>2）相互独立，

Cov（匕，匕）=Cov（M-冗工-X）

=Cov(XMXJ-Cov(M，X)-Cov(Xfl,X)+DXt

Cov(X1M)=Cov(X],：£xJ

=%ov(x,£x)

同理可知

Cov(工㈤=Cov(%,L£xj

ne

="o"工,”)

nTTi

=-D(XJ='

nn

且。⑴=、因此有c°v（y/）=->}=-：

知识点解析：暂无解析

/T（X）=1c）

V0Wx<2,

4

27、设随机变量X的概率密度为°*其他，令Y=X2,F（X,y）

为二维随机变量（X,Y）的分布函数.（I）求Y的概率密度fY（y）;（U）求

尸（斗4）,

标准答案：（I）设Y的分布函数为FY&），即FY（y）=P（YSy）=p（x2gy）,则①当yV

②当时，/式y）=P（X&y）=PJ后wXW后

③当】Wy<4时,F『(y)=P(X2Sy)=P(-1WXW6)

④当)N4，KG)=1.

所以

3

而，o<y<1,

4(y)=F；G)1

而1wyC4,

o,其他

(n)F(-%)=P(X这-:,y这4)=P(XW-/Kw4)

二P（x这弓，-2WXW2）=P（-2WX0-

根据题设的*的概率密度，上式=rT-Ur=T-

24

0时，FY（y）=0."

知识点解析：暂无解析

1.

F（孙6）

28、设总体X的分布函数为0，”WI,其中未知参数

X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求：（I）B的矩估计量；（口）0的

最大似然估计量.

标准答案：X的概率密度为

-^7,X>\.

，(盯6)=/

0,*WL

(I)因为

£(X)=1.次凡6)&=【一为左=养,

令昌=元解得6=卢;，所以参数S的矩估计量为0=#；,其中亍是随机样本的数学期望.

।A-1X-1

(n)似然函数为

c7-----W—rzrr»xi>](i=1,2,•••.〃)■

L(6)=耶西⑼=(/〃•・%)”“

0,其他.

当々〉l(i=1,2，…,n)时。㈤>0,取对数可得

«

ln/,(0)=nlr^-(3+1)£Inx,,

两边对夕求导，即得出叶!£)=:一£IM,，

,中PiTi.

令吗烂=0.可得B的最大似然估计量为百=1—.

£1必

|«|

知识点解析：暂无解析

29、设总体X在区间［0,0］上服从均匀分布，Xi，X2，…，Xn是取自总体X的简

—1JL

X=12%，儿)=max(M，…，兀).

单随机样本，nM_(I)求6的矩估计量和最大似然

估计量；(II)求常数a,b,使祝="元”=6X(。)的数学期望均为0,并求

。(0)与。值).

标准答案：直接根据定义求解.(I)根据题意总体X的密度函数、分布函数分别

为

0,x<0,

“、仁，ow*w夕,

)F(x)

f(x=e玄，OWxWO,

Io,其他，

1.XN仇

令#=£X=号,解得8=。,于是6的矩估计量为2=2X.

又样本…的似然函数为

1

K近。)

酒0W,(i=1,2,•••/1

乙(阳，…，％・；6)=

0,其他,

L(6)为6的单调减函数，且OWX,W仇即8要取大于工，的一切值，所以。的最小取值为max(即，…,

%)4的最大似然估计舐3=max(M，….工)=

(D)由于£(>)=号,MX)=若,所以£(4)=aE(X)=aE[X)=y==2,且

0也)=D(2X)=40(?)=4•=将=(，

为求得b,必须求X(n)的分布函数F⑺(x)及密度函数f(a(x),X(n)=max(Xi，

Xn)得