开放式基金投资最优决策

开放式基金投资最优决策

一、问题

某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可

供管理人选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能

太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目

所得利润也可估算出来，如表1所示。

表1单位：万元

项目编号44小444644

投资额67006600485055005800420046004500

年利润11391056727.51265116071418401575

上限3400027000300002200030000230002500023000

请帮该公司解决以下问题:

（1）就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？

（2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况，公

司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目Ai,A3,它们的年利润

分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目4,4,它们的年利润分别是1045

万元，1276万元；同时投资项目4,4,击，4,它们的年利润分别是1353万

元，84（）万元，1610万元，135（）万元，该基金应如何投资？

（3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能

小。投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项

目的风险率，如表2所示。

表2

项目编号

4A344447AB

风险率（%）3215.52331356.54235

（4）开放式基金一般要保留适当的现金，降低客户无法兑现的风险。在这

种情况下，将专家的信息都考虑进来，基金该如何决策，使得尽可能降低风险,

而一年后所得利润尽可能多？

（5）这个项目投资，是必须资金全部到位才有利润，还是只要第一期资金

到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算?

二、模型的建立及求解

1.模型1（线性整数规划）

（1）假设

1）不考虑其他因素，单纯追求利润最大；

2）预计利润能正确反映各项投资的利润；

3）若对某项目投资，则该项目的总投资额必须是该项目投资额的整数倍；

4）投资过程中交易费为0；

5）该基金中无“庄家”或“金融大鳄”之类恶意操纵。

（2）建模

设H为对项目Ai的投资股数，”表示基金总额，加表示项目4的投资上限，

岳表示项目4每股的预计年利润，。表示项目4每股的投资额，则一年后总投资

利润爪=力伉占,基金总额约束:<H,各项目投资额上限约束：GX工叫

/=iz=i

（/=1,2,…，8）,从而建立如下模型。

8

maxR=2瓦片

i=l

8

与心wH

i=\

s.t.]qa《m（,i=1,2,…,8

F£Mi=1,2,…,8

（3）求解

应用Lindo软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表3所示。

表3

项目编号AiA2A344从6A?A8

投资股数（股）51145255

投资额3350066004850220002900084002300022500

总投资149850

年利润56951056727.550605800142892007875

利润率（%）1716152320174035

总利润36841.5

从表3可以看出，基本上利润率较高的投资项目对应较强的投资势头，但有

的投资项目虽然利润率较高，却未得到相应的投资势头，这说明利润率并不是影

响投资的唯一因素，还有另外的因素尚未考虑到，需要继续深入讨论。

2.模型2（非线性整数规划）

考虑到专家的信息，投资项目之间相互影响，修正模型1。

（1）假设

1）专家的信息有较高的可信度，单纯追求利润最大。

2）满足模型1的假设2）〜5）。

（2）建模

由于不知道是否各相互影响的项目同时投资时，利润较大，引入0—1变量

1,4,4同时投资[I，4，4同时投资[h4，'，4,4同时发资

0,否则[0,否则Io,否则

设〃表示受同时投资影响时项目4每股的预计年利润，可建立如下模型。

maxR=y(b{xx+byX3)+(1—y)(b\x]+b3x3)+z(b^x4+b^x5)+(1-z\b4x4+b5x5)

X

+H(Z72^2+^66++Z?gX8)+(1-u)(b2x2+b6x6+/77x7+bsxs)

3

»=i

CjXj4"L，i=1,2,…,8

y<X1X3<30v

S.t.Jz<X4X5<20z

u<X2X6A-7X8<500”

Xf€=1,2,…,8

y,z,”=0或I

其中中的3°表示4,即各最多投资5股，6股;

”中的20表示4,4各最多投资4股，5股：“八

z<x4x5<20zu<x2xbx1x^<500w

中的500表示4,4,4,A8各最多投资4股,5股,5股,5股。当4,对同

时投资时，xiX3>0,）=1；当4,小不同时投资时，xixs=O,y=0,故得Ai,A3

是否相互影响的约束可表示为：。同理可得其他两个是否相互影响

y<上吊-30〉

的约束。

（3）求解

应用Ling。软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表4所示。

表4

项目编号AiAs

A2A344A7As

投资股数10645455

投资额67000291002200029000168002300022500

总投资额149100

年利润10050611141806380285692007875

利润率（%）1516211922174035

总利润37607

从表4可以看出，随着利润率的提高，投资势头也相应增强，利润率下降,

投资势头也相应减弱，这又一次反映了利润率对友资势头的强大影响。

3.模型3（多目标规划&非线性整数规划）

考虑到专家提供的风险损失率方面的约束，进一步修正模型2。

（1）假设

1）考虑专家预测出的各项目风险率，总体风险用投资项目中最大的一个风

险来度量，追求利润尽可能大、风险尽可能小；

2）满足模型2的假设2）。

（2）建模

设4表示项目Ai的风险率，则总体风险Q=max{%qx},投资总利润R同

1业8

模型2,从而可建立如下模型。

maxR

minQ

s.t.同模型2

利用a-法构造评价函数P=aR-（\-a）Q,其中权系数

a二⑼。「邛~R/,Q"分别为R,Q的最优值，心）,°。）分别为Q,

R_R+Q_Q

R取最优值时R,。的取值，可以把上述双目标规划化为如下单目标规划。

maxP=aR-（\-a）Q

s.t.同模型2

不过确定权系数的常用方法是根据专家意见和经验给出。

(3)求解

引入变量s=Q,目标函数化为P=aR-(l-a)s,在满足上述约束条件的基

础上，还要对s加以约束:i=l,2,…，8。应用Lingo软件包，以

题中所给的数据为例，编程求得结果，如表5所示，即在考虑利润和风险的基础

上，均衡两者的权，得出的最佳折中方案。

表5

项目编号4A344A644

投资股数54040055

投资额3350026400022000002300022500

总投资额127400

利润率(％)1716152320174035

风险率(%)3215.52331356.54235

年利润59654224050600092007875

总利润32054

总体风险10720（Ai的风险）

从表5可以看出，利润率和风险率对投资的影响都很大，对利润率和风险率

都大的项目应谨慎投资，对风险大，利润过小的项目应少投资，甚至不投资。但

对风险较大而利润较小的项目4投资最多，说明权系数的选择不适当。

4.模型4(多目标规划&非线性整数规划)

模型3中未考虑保留适当的现金，从开放式基金具有由投资者随时赎回的特

性来理解，相比交易所挂牌上市的证券，开放式基金以其单位基金净值作为赎回

标准，可以在有效规避二级市场的股价波动风险的同时保证其流动性。对于突发

性的赎回请示，基金管理人往往会通过保留一定的资金来应付。基于此，我们在

模型3的基础上追加考虑保留适当的现金，用以降低客户无法兑付的风险，进一

步修正模型3。

(1)假设

1)考虑保留部分资金，追求利润最大、风险最小；

2)不考虑原始投资人1%的认购费率、0.5%的赎回费率；

3)考虑保留资金的存储利润；

4)满足模型3中的假设。

(2)建模

模型3中未考虑投资者的风险偏好，向这个因素直接涉及投资方向和势头,

对模型结果的影响很大。

在实际中，对于不同风险偏好的投资者，其最佳投资方案有所不同。为了反

映实际情况，我们把投资者偏好合并分类,各自对应的权值为:高度冒险:W*0.8,

WQ=02比较冒险：WR=0.6,WQ=0.4；中性冒险：WR=0.5,他二0.5；比较保守:

WQ0.4,WQ=0.6；高度保守：WQ0.2,VVC=0.8OWR,WQ在满足皿+WQ=1的条

件下，具体取值可适当调整，这并不影响算法的实现。

1)风险偏好与效用函数。投资的目的是为了将来更大的消费，即财富的增

加。不同的财富水平投资者获得的效用是不同的，同样的财富增加量对不同的投

资者，其带来的效用增加也有所不同。财富不与效用U之间的数量关系通常称

为财富的效用函数，记为U(x)。U(x)一般是增函数，即U'。)20,但对于不同的

投资者其增长的形态不同。以下是三种典型效用函数形态。

风险回避型这种人对财富的增加不很敏感,或财富增加的边际效用是递减

的，通常不愿意为增加财富而冒大风险，如图1所示。

风险中性型这种人对财富增加的态度始终是相同的，边际效用是一常数,

如图2所示。

风险偏差型这种人对财富具有强烈的渴望，越富越想富，财富增加的边际

效用是递增的，因而愿意为增加财富而承担较大的风险，如图3所示。

图1图2图3

以上三种基本形态均可用下列二次效用函数表示：

r/7>0：风险回避型

==风险中性型

<0：风险偏爱型

虽然实际的效用函数有可能不是二次的，但二次效用函数具有更好的概率特

性。

2)投资心理曲线。一般来说，人们的心理变化是一个模糊的概念，在比，

对一个投资方案的看法(即对投资者的吸引力)的变化就是一个典型的模糊概念。

通过查找心理学的相关资料，我们定义投资者的心理曲线为〃=

(4>0),其中4表示投资者平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。

实力因子是反映不同投资者的平均收入和消费水平的标准。确定一个投资方案应

该尽力考虑所有不同投资者的实力因子,而在我国不同地区的收入和消费水平是

不同的，因此不同地区的实力因子也不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性,

就应该对同一实力因子进行研究。为此我们以中等地区的收入水平为例，根据相

关网站的统计数据，不妨取人均年收入为1.5万元，按我国的现行制度，平均工

作年限为35年,则人均收入为52.5万元。取以52.5)=1-1(525/"=05(即吸引

力的中位数)，则”6.30589。

3)保留现金比例。设保留现金比例为g，不同投资者所占人群比例为外,

又得知他们的风险偏好不同，主观风险权系数为伍人户1,2,3,4,5,则

55

&=£4(卬。/£卬@)

J=11=1

根据投资心理曲线，参照风险偏好和效用函数，并根据网上调查，得知投资

者基本上划分为5种类型，通过代入模型计算，得到相关信息如表6所示。

表6

风险偏好高度冒险比较冒险中度冒险比较保守高度度守

所占人群比例(％)8.524.53326.57.5

风险权系数归一化0.080.160.200.240.32

保留现金比例(％)19.96

保留的资金存入银行比闲置更有.利，这笔资金是用来应对突发性的赎回请求

的，随时都可能用到它，因此采用活期存款的方式，存款年利润按0.72%计。将

8

此代入模型3,并把基金总额约束修正为：ZqHH,得模型4。

i=i

(3)求解

应用Ling。软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表7所示。

表7

项目编号4424444

投资股数50040455

投资额3350000220000168002300022500

总投资额117800

年利润56950050600285692007875

保留资金29940

存款利润215.568

总利润30901.568

总体风险10720

以上是在假设这一年中未发生突发性的赎回请求，保留资金未被动用的情况

下的总利润。考虑到最不好的情况，即保留资金还未存入银行就被动用，无存款

利润可言。综上所述，我们认为用于保留的资金为29940万元比较合适，总利润

应该在（30686,30901.568）范围内。

5.模型5（非线性整数规划）

（1）假设

1）不考虑风险因素，单纯追求利润最大；

2）投资额是连续的；

3）第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投

资之比来计算。

（2）建模

设r为对项目4•的投资金额，2,…，8。考虑到假设2）、3）,项目之间有

无影响时的利润率分别为％%,4=邑。引入o—1变量匕.二1'擎7，Q，

Gq[0,否则

2,…，8,则4的投资金额的上下限约束为:q匕（看《”匕，可建立如下模型。

r

maxR=y（a[x{+可8）+。一V）（。内+ayx3）+z（a'Ax^+a5x5）-z）（a4x4+a5x5）

+〃（4大2+a6X6+alXl+a»xS）+（1一〃）（〃2工2+a6X6+alX7+〃8工8）

（力Xi"

CjVj<Xj<叫匕,i=1,2,…,8

<102xl07y

7

s.t./z<x4x5<66xl（）z

I2

u<x2x6x1xs<357075x10M

Xi>0,i=l,2,--,8

y,z,u,v；=0或1.i=1,2,•••.8

其中中的102X107表示4,a各最多投资34000

l（）2xl（）7y

万元，30000万元。当Ai,万同时投资时,xxx3>0,y=1；当4,4不同时投

资时，x/3=0，），=0。同理可得其他两个是否相互影响的约束。

（3）求解

应用Ling。软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表8所示。

表8

项目编号4

A2小44444

投资金额27000030000220000230002500023000

总投资额I50C00

年利润405006300506003910100008050

总利润37370

从表8可以看出，这种投资方案将资金全部抛出，未留“适当”现金，不符

合开放式基金的特点，欠妥。比较模型5和模型2的结果，可知模型5的方案中

总投资额、总利润与利润率分别为150000万元、37370万元、24.9%,而模型2

的方案中总投资额、总利润与利润率分别为149100万元、37607万元、25.2%,

显然模型2的投资方案比模型5的更好。这说明在投资时，只有投资以单位投资

额的整数倍投入，利润才会以相应倍数增大。如果投资不是以单位投资额的整数

倍投入，利润的增长见明显滞后，利润率明显偏低，是不合算的方案。同时模型

2的方案中留下了一部分资金备用，符合开放式基金客户投资、撤资自由的特点,

而模型5的方案中未留下任何备用资金，一旦客户要求撤资，开放式基金就有失

信的风险，不利于其长久发展。

三、灵敏度分析

决策变量M•相应的影子价格称为缩减成本RG,1=1,2,…，8,RG•的值表

示当方增加一个单位（其他变量保持不变）时，目标函数增加的量，如表9所示。

表9

股份XiX2X3X4xsX6X7X8

模型1RCi11391056727.51265116071418401575

模型2RC,100510561018.50127671418401575

模型3RCi1930224.4400246.540391.1334.7

模型4RCi1930000246.54151.7391.1333.7

从表9可以发现，川的变化对各目标函数最优值的影响最大，X7次之。

四、模型的进一步分析

实际上，投资的收益和风险都是随机的，考虑如下问题。

某投资公司经理欲将50万元基金用于股票投资，股票的收益是随机的。经

过慎重考虑，他从所有上市交易的股票中选择了3种股票作为候选的投资对象，

从统计数据的分析得到；股票A每股的年期望收益为5元，标准差（均方差）

为2元；股票3每股的年期望收益为8元，标准差为6元；股票。每股的年期

望收益为1（）元，标准差也为1（）元；股票A,B收益的相关系数为5/24,股票A,

C收益的相关系数为-0.5,股票8,C收益的相关系数为-0.25。目前股票A,B,

C的市价分别为20元，25元，30元。

（1）如果该投资人期望今年得到至少20%的投资回报，应如何投资可使风

险最小（这里用收益的方差或标准差衡量风险）？

（2）投资回报率与风险的关系如何？

1.建模

设为，X2,X3分别表示投资股票A,B,。的数量。国内股票通常以“一手”

（100股）为最小单位出售，故此处设股票数量以100股为单位。相应地，期望

收益和标准差以百元为单位。

记股票A,B,C一手的收益分别为si,%S3（百元），根据题意，Si（Q,

2,3）是随机变量，投资的总收益$=工向+&$2+与53也是随机变量。用E和。

分别表示随机变量的数学期望和方差（标准差的平方），厂和COV表示两个随机变

量的相关系数和协方差，则

=5,£52=8,E53=10,Dsl=4,Ds2=36,D53=100,/-12=5/24,r（3=-0.5,

r23=-（）.25,cov（n,与）=①JDiJDs?=2.5,cov（51,53）=入京Ds,JD%=-10,

cov（s2,S3）=/Ds、qDS3——15o

故投资的总期望收益为Z]=Es=+X2ES2+X3ES3=5Xj+8x2+10x3,投

资总收益的方差为z2=Ds=x：Ds、+DS2+X3DS3+2X1x2cov（51,“）+

2x}x3cov（y）,*）+2X2X3COV（52,力）=+36x|+1OOxf+5x}x2-20x1x3-30A,2%3。

实际上投资者可能面临许多约束条件，如是否需要将资金全部用来购买股票,

没有购买股票的资金是否可以存入银行或做其他受资。此处假设不一定需要将资

金全部用来购买股票，没有购买股票的资金也闲置不用，而只考虑可用于投资的

资金总额的限制,即20项+25々+30巧工5000。

问题（1）的模型为二次规划:

minZ2

20%1+25.r24-30x3<5000

s.t.,5%]+8X