2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的

1-COSA/X

-G-'“>。在工=0处连续，则

(1)若函数/*)=

b,x<0

Wab=-(B)ab=--(C)ab=0(D)"=2

22

(2)设函数/(x)可导，且>0则

(A)/(I)>/(-1)(B)/(l)</(-l)

(Q|/(i)|>|/(-i)|(D)|/(I)|<|/(-I)|

(3)函数/(尤乂2)二犬〉+22在点(1,2,0)处沿向量入(1,2,2)的方向导数为()

(A)12(B)6(C)4(D)2

(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)处，如下图中，实线表示甲的

速度曲线v=v.(r)(单位:m/s)虚线表示乙的速度曲线v=v2(z),三块阴影部分面积的数

值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为乙)(单位:s)，则

(A)r0=10(B)15</0<20(C)/o=25(D)r0>25

(5)设。为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则

(A)后一不可逆(B)E+a"不可逆

(C)E+2aa「不可逆(D)E-2a"不可逆

'200-'210-10o-

(6)已知矩阵4=021B=020c=020，则

_()01001002

(A)A与C相似，B与C相似

(B)A与C相似，B与C不相似

(C)A与C不相似，B与C相似

(D)A与C不相似，B与C不相似

(7)设4,8为随机事件，若0</4)<1,0</8)<1厕P(4忸)>尸卜同的充分必要

条件是()

A.P(同力>咿mBP(B|A)<P(5|A)

c.P(B|A)>P(B|A)D.P(B|A)<P(B|A)

1n

(8)设％,X、......Xn(n>2)来自总体N(〃,1)的简单随机样本，记G=-£Xj

则下列结论中不正确的是：

(A)］乂「以尸服从二分布

(B)2(X,「X1)2服从/分布

(C)t(X,「又产服从/分布

/=1

(D)〃(又一〃)2服从二分布

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

(9)已知函数+/，贝!J，⑶(0)"

(10)微分方程)，〃+2y'+3y=0的通解为)，=

(11)若曲线积分J装詈当在区域□={(%)，)—+y2内与路径无关，则〃=_

(12)幕级数£(-1广|在区间(-1,1)内的和函数S(x)=

W=1

-i()r

(13)设矩阵A=112,%,%,%为线性无关的3维列向量组，则向量组

01I

AT"%4%的秩为

(14)设随机变量X的分布函数为F(x)=0.5①(力+0.5①学，其中①⑴为标准正

态分布函数，则EX=

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(15)(本题满分10分)

d2y

设函数具有2阶连续偏导数,＞，=/(",CQSX),求dy

心产。dx2

x=O

(16)(本题满分10分)

求！哺例

+—

n

(17)(本题满分10分)

已知函数)，(x)由方程/+)，3—3x+3)，-2二0确定，求)，(X)得极值

(18)(本题满分10分)

/(x)在[0,1]上具有2阶导数，/(l)>0Jhn^<0

证(1)方程/。)=0在区间(0,1)至少存在一个根

(2)方程/*)+/〃(工)+[/'*)『=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根

(19)(本题满分10分)

设薄片型物体S是圆锥面z3+j被柱面z?=2元割下的有限部分，其上任一点

瞰为〃(x,y,z)=9&+y2+z2.记圆锥与柱面的交线为C

(1)求。在xOy平面上的投影曲线的方程

(2)求S的质量M

(20)(本题满分11分)

三阶行列式A=(%%，%)有3个不同的特征值，且%=e+2%

(1)证明*A)=2

(2)如果A=%+%+%求方程组=b的通解

(21)(本题满分11分)

设/(%,0毛)=2x：-上+公：+2%.-8%玉+2%不在正交变换x=Qy下的标准型为

4弁+4)片求。的值及一个正交矩阵Q.

(22)(本题满分11分)

设随机变量XY互独立，且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=g,Y概率密度为

f(y)J2y^<y<]

J{))10,其他

⑴求P{Y<EY}(2)求Z=X+Y的概率密度

(23)(本题满分11分)

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量〃是

已知的,设