【数学】2026届高考考前预测卷·全国二卷

【数学】2026届高考考前预测卷·全国二卷一、选择题1．已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，10，m，16，18，19，20，若该组数据的分位数是14，则(

)A.11 B.12 C.13 D.14答案：B解析：因为，所以该组数据的分位数是，则，解得，故选B.2．已知，则(

).A. B. C. D.答案：B解析：由，得，故选B.3．已知全集，集合，，则(

)A. B. C. D.答案：A解析：易知，所以，又，所以，故选A.4．一名职业篮球运动员在某8场比赛中，三分球命中率分别为0.34，0.27，0.36，0.42，0.23，0.39，0.43，0.38，若这组数据的分位数为p，且随机变量，则(

)A.7.6 B.7.4 C.7.2 D.7答案：A解析：将这组数据按从小到大的顺序排列为0.23，0.27，0.34，0.36，0.38，0.39，0.42，0.43，由于，所以这组数据的分位数，所以，所以，故选A。5．若函数在上单调递减，则a的最小值为(

)A. B.1 C. D.2答案：B解析：解法一，其中，由，，得，，所以的单调递减区间为，。由题意知，，所以，，所以，，又，所以，故a的最小值为1。解法二由题意知在上恒成立，即在上恒成立。当时，，从而，故a的最小值为1。6．已知等比数列中，，则“”是“为，的等差中项”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：C解析：充分性：由，，得，则，充分性成立.必要性：设的公比为q，由，得，若为，的等差中项，则，得，得，得，必要性成立.故“”是“为，的等差中项”的充要条件，故选C.7．已知，，则(

)A. B. C. D.答案：C解析：解法一，故选C。解法二，，所以，，所以，故选C。8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，的垂心为H，且，则C的离心率为(

).A. B. C. D.答案：C解析：解法一由题可得，，，设，则，，，.因为，所以，得，.由点H为的垂心得，则，即，所以，所以，所以C的离心率，故选C.解法二由题意可知为等腰三角形，且，因为点H为的垂心，所以点H在线段上（O为坐标原点），又，所以，所以.如图，连接，则，所以，又，，，，所以，，则.，得，所以，所以C的离心率，故选C.二、多项选择题9．已知数列的前n项和为，且，数列满足，则下列说法中正确的是(

)A.B.C.数列的前n项和D.若，则数列的前n项和答案：AC解析：A（√）由，得当时，，两式相减得，则。因为，所以，满足，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，故。B（×）由，得。C（√）数列的前n项和。D（×）易知，所以数列的前n项和，又，所以。故选AC。10．已知O为坐标原点，双曲线，的一个焦点为F，过F的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为P，直线交C的另一条渐近线于点Q，且P，Q位于y轴同一侧，若C的两条渐近线的夹角为，则下列结论正确的是(

)A.C的渐近线方程为 B.C的离心率为C. D.答案：BC解析：A（×）不妨设F为C的左焦点，过F的直线与渐近线垂直，如图，由题意知，，所以，故C的渐近线方程为。B（√）由A得，故，则C的离心率。C（√）易知，所以，在中，，所以。D（×）在中，，，所以，在中，，所以。故选BC。11．在锐角三角形中，，，则下列说法正确的是(

)A.B.C.D.面积的取值范围为答案：AC解析：解法一A（√）由于为锐角三角形，所以，所以，则。B（×）由正弦定理得，由选项A知，故。C（√），由于，所以，所以，所以。D（×）的面积为。由正弦定理得，由于，所以，，所以面积的取值范围为。故选AC。解法二由题意作出符合，的两个直角三角形，分别记为和，如图所示，其中，故，又是锐角三角形，所以点B在线段上（两端点除外）。A（√）由图知，则。B（×）易知，，故。C（√）同解法一选项C。D（×）设的面积为S，易知，又，故，即。故选AC。三、填空题12．已知等差数列满足，则_____________。答案：8解析：解法一设数列的公差为d，则，所以，所以。解法二由题可得，所以，所以。13．已知非零向量，，且a与b共线，则_______________.答案：16解析：由，可得，解得或.又因为向量a为非零向量，所以不合题意，故，即，，于是.14．已知函数，若在上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为__________________________。答案：解析：因为，所以，因为在上存在唯一的极值点，所以在上有唯一的变号零点，令，得，即。令,，则，令0，得。当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增。因为时，，时，，，故的值域为，故实数a的取值范围为。四、解答题15．[2026届·江西景德镇·一模]足球赛事“赣超”是江西省于2025年推出的省级男子业余足球赛事，现收集了其中6场比赛的场次顺序和对应球迷人数（千）数据如表所示.场次x123456球迷人数y/千151723232931（1）求球迷人数y关于场次x的经验回归方程，数据保留小数点后两位.（2）某公司组织城市知识问答活动，活动共有5个问题，其中3个为城市历史知识问题，2个为陶瓷制作工艺问题，答对4个问题可获得球赛门票一张.甲答对每个城市历史知识问题的概率为，答对每个陶瓷制作工艺问题的概率为，且每个问题答对与否互不影响，求甲赢得门票的概率.附：，，.，.答案：（1）（2）解析：（1）因为，，所以，，所以经验回归方程为.（2）①甲答对5个问题的概率.②甲答对3个城市历史知识问题，且只答对1个陶瓷制作工艺问题的概率.③甲只答对2个城市历史知识问题，且2个陶瓷制作工艺问题都答对的概率.所以甲赢得门票的概率.16．[2025秋·高三·广西南宁·月考校考]已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且.(1)求A;(2)若,且的面积为,求b的值.答案：(1)(2)4解析：(1)由正弦定理可得,又,所以,又,则,所以,即,即,又,所以,所以,解得.(2)因为,所以,因为,所以,所以,,所以.又的面积,其中R为外接圆的半径,解得,所以.17．折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.“菱角”折纸教程：如图①，将一张长方形的纸条用虚线分成6个全等的等腰直角三角形，沿着虚线折叠便可得到一个如图②所示的“菱角”.（1）试判断该“菱角”所有的顶点是否在同一个球面上，并说明理由；（2）求二面角的余弦值.答案：（1）不在同一个球面上（2）解析：（1）由题可知，该“菱角”由两个正三棱锥，组成，且.根据对称性，可知P，Q在平面内的射影为的中心O.假设该“菱角”所有的顶点在同一个球面上，则O为球心，连接.不妨令，则，，.因为，所以该“菱角”所有的顶点不在同一个球面上.（2）由（1）知的中心为O，过O作的平行线，易得该直线与，两两垂直.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.令，得，，，，则，，.设平面的法向量为，由可得令，得.设平面的法向量为，由可得令得.则.由图可知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.18．[2026春·高二·山东实验中学·月考]已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有且仅有一个零点,求a的值.答案：(1)(2)9解析：(1)当时,,,得,所以曲线在点处的切线方程为,即.(2)方法一：,,,令,,得,故在内单调递增,又,则当,,得,单调递减,当,,得,单调递增,从而在处取得极小值,同时也是最小值,最小值为.又当且时,,当时,,由函数有且仅有一个零点,可得,则a的值为9.方法二：,,令得,令,,则,令,,得,故在内单调递增,又,则当,,得,单调递减,当,,得,单调递增,从而在处取得极小值,同时也是最小值,最小值为.又当且时,,当时,,由函数有且仅有一个零点,可得,则a的值为9.19．无论是经济数据的波动、人口增长的模式，还是物理过程中的数值变化，差分数列都能够帮助我们分析和预测各种数据序列的变化趋势.对于数列：一阶差分数列：；二阶差分数列：；......n阶差分数列：.（1）若，求的值.（2）《四元玉鉴》下卷“果垛垒藏”中有提到圆锥垛，如图1，把圆形果实堆垒成圆锥形，下一层果实之间的缝隙所构成的行数等于上一层果实的行数，使得上一层的果实恰好放到下一层果实的缝隙上.如图2，从上到下，第一层有1个，第二层有3个，第三层有7个，如此类推可以得到一个数列，3，7，12，19，27，37，48，….若已知数列的奇数项和偶数项构成的二阶差分数列均为常数列，求该数列的通项公式.（3）从集合中任取4个不同整数，按从小到大排列构成一个数列，求该数列的一阶差分数列是等差数列的概率.答案：（1）（2）（或）（3）解析：（1）因为，根据差分数列的定义，得，则，所以.（2）解法一：观察得知，奇数层（第1，3，5，7，…层）构成数列，7，1，9，37，…，.一阶差分数列：6，12，18，…，故二阶差分数列均为6.若，则，于是是一个等差数列，设，则，可知，即，，…，.对上式累加，可设，其中，则设奇数项，且.将代入，得，即；将代入，得，即.联立①②解得，，故.偶数层（第2，4，6，8，…层）构成数列，12，27，48，…，.一阶差分数列：9，15，21，…，故二阶差分数列均为6.同理可得偶数项