吉林省长春市二道区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

吉林省长春市二道区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列式子中是分式的是（）A．23 B．2π C．2x+42．“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”是清代袁枚的诗．“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，其直径约为0.0000086米，将数据0.0000086用科学记数法表示为8.6×10A．6 B．5 C．−5 D．−63．如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A．(−4,2) B．0,3 C．1,−2 4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A．AB=AD B．OB=OD C．AC⊥BD D．∠ABD=∠CBD5．点Pa,b在函数y=3x−2的图象上，则代数式6a−2b+1A．−1 B．−3 C．3 D．56．一组数据：0，1，2，2，5，若添加一个数据2，则下列刻画数据的指标发生变化的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差7．如图，延长正方形ABCD边BA至点E，使AE=BD，则∠E为（）A．22.5° B．25° C．30° D．40°8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kxx>0的图象经过对角线OBA．12 B．10 C．8 D．6二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．9．计算：−11710．若分式1x+6有意义，则x的取值范围是11．已知函数y=m−3x−212．如图，一次函数y1=kx+bk≠0与y2=−x+2的图象交于点P13．E、F为▱ABCD边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF、CE相交于点Q，若S△APD=3cm14．如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE交AB于点E，DE=DC，CH⊥DE于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结①AB=2②∠CEB=∠67.5°；③△DAE的面积是矩形ABCD面积的13④AH=CH；⑤△CBE≌△CHE其中正确的有．三、计算题：本大题共1小题，共6分．15．解方程：2x−3四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．先化简，再求值：1−2x+117．某公司现要装配30台机器，在装配好6台以后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，问原来每天装配机器有多少台？18．已知：在四边形ABCD中，M是边BC的中点，AM、BD互相平分并交于点O，求证：四边形AMCD是平行四边形．19．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：（1）在图①中以AB为对角线作一个面积为4的平行四边形；（2）在图②中以AB为对角线作一个面积为6的矩形；（3）在图③中以AB为对角线作正方形．20．某校为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从七、八两个年级各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七年级40名学生成绩的频数分布统计表如下．成绩x50≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x⩽100学生人数31213111b．七年级成绩在70≤x<80这一组的是：70717172737474757677787979c．七、八两个年级成绩的平均分、中位数、众数和方差如下．年级平均分中位数众数方差七73.8n88127八73.8758499.4根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属年级排在前20名，由表中数据可知该学生是年级的学生．（填“七”或“八”）（3）根据以上信息，你认为七、八两个年级中，哪个年级学生了解垃圾分类知识的情况较好，请说明理由．21．某电动汽车搭载了一个由两块不同容量的电池组成的电池包，其中A型号电池容量小，充电速度快，每小时充电20千瓦⋅时；B型号电池容量大，充电速度慢．该电动汽车在充电过程中始终先充A型号电池，当A型号电池充满后再充B型号电池．该电动汽车电池包的电量y（千瓦⋅时）与充电的时间x（小时（1）A型号电池的容量为___________千瓦⋅时；（2）当1≤x≤9时，求y与x之间的函数关系式；（3）求该电动汽车充电过程中，电池包整体容量从5千瓦⋅时到45千瓦⋅时所需时间．22．【问题原型】如图①，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=2．点E是边BC上一点，点F是对角线BD上一点，CE=DF【问题探究】如图②，小明首先过点C作，使CM∥BD，CM=AD=2，利用平行线的性质可得到∠MCB=∠CBD=∠ADF，进而可利用△ADF≌△MCE，将AE+AF转化为AE+ME，这样就将问题转化为寻找点E位置的问题．以下是小明证明AF=ME的部分过程：证明：过点C作CM，使CM∥BD，CM=AD=2，连结ME∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC,∴∠ADF=∠CBD证明过程缺失∴AF=ME请你补全缺失的证明过程．【解决问题】结合上述探究过程，用无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点E的位置，使AE+AF的值最小，此时AE+AF的最小值是___________．（保留作图痕迹）23．如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=4，点M为边AB中点，动点P从点A开始，在折线AD−DC上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接PM，以PM为直角边，在PM右侧作等腰直角△PQM，使∠PMQ=90°，设点P的运动时间为t秒．（1）当点P在边DC上运动（不与点D重合）时，则DP的长度为___________；（用含t的代数式表示）（2）当点P在边AD上运动时，求证：点Q到直线DC的距离始终不变；（3）当点Q到直线DC的距离是点Q到直线AB距离的3倍时，求t的值；（4）连接CQ，当CQ=524．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=x+b经过点−2,0，点P在直线y=x+b上，横坐标为m；点M的坐标为2−m,m−1，当点P和点M的横坐标不相同时，以PM为对角线构造矩形PQMN，其中PQ⊥y轴．（1）求该直线的函数表达式；（2）证明：矩形PQMN的边PN的长恒为3；（3）当矩形PQMN为正方形时，求点P的坐标；（4）当直线y=x+b将矩形PQMN的面积分成1:3两部分时，直接写出m的值．

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】110．【答案】x≠−611．【答案】m>312．【答案】x=−113．【答案】814．【答案】①②⑤15．【答案】解：2原方程去分母，得2(x−2)−3(x−3)=0，去括号得：2x−4−3x+9=0，移项，合并同类项得：−x=−5，系数化为1得：x=5，经检验，x=5是原方程的解；​​​​​​​16．【答案】解：1−===x−1当x=−2时，原式=−2−117．【答案】解：设原来每天装配机器x台，依题意得：解这个方程得：经检验：是原方程的解答：原来每天装配机器6台．18．【答案】证明：连接DM，

∵AM、BD互相平分并交于点O，

∴四边形ABMD是平行四边形，

∴AD=BM，BC∥AD，

∵M是边BC的中点，

∴BM=CM，

∴CM=AD，

又∵BC∥AD，

∴四边形AMCD是平行四边形．19．【答案】（1）解：如图所示：平行四边形ABCD即为所求；（2）解：如图所示：矩形ABCD即为所求；（3）解：如图所示：矩形ABCD即为所求；20．【答案】解：（1）因为七年级共有40名学生，处于中间位置的成绩为第20和21个数，由频数分布图及70≤x<80这一组的成绩可知第20和21个成绩分别为73和74，所以中位数n=73+74（2）因为七年级的中位数为73.5分，八年级的中位数为75分，且该学生的成绩是74分，所属年级排在前20名，即该学生的成绩大于中位数，所以该学生是七年级的学生；（3）从平均分来看，七、八年级的平均分相同；从中位数来看，八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级成绩高的人数多于七年级；从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，八年级的成绩比七年级稳定，综上可知，八年级学生了解垃圾分类知识的情况较好.21．【答案】（1）20（2）解：由题意，当1≤x≤9时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，又∵图象过1,20，9,60，∴k+b=20解得k=5b=15∴当1≤x≤9时，y与x之间的函数关系式为y=5x+15​​​​​​​（3）解：由题意，结合（2）得，当1≤x≤9时，y与x之间的函数关系式为y=5x+15，∴令y=45，则5x+15=45，∴x=6，又∵当0<x<1时，每小时充电20千瓦⋅时，∴充电5千瓦⋅时的时间=5÷20=0.25，∵6−0.25=5.75，∴该电动汽车充电过程中，电池包整体容量从5千瓦⋅时到45千瓦⋅时所需时间为5.75小时22．【答案】【问题探究】证明过程补全如下：∵CM∥BD，∴∠MCE=∠CBD，∴∠MCE=∠ADF，∵CM=AD，∴△ADF≌△MCE【解决问题】作图如下：

此时AE+AF的最小值是2223．【答案】（1）2t−4（2）解：如图1，∵M是AB的中点，AB=6，∴AM=BM=3，作QE⊥AB于E，∴∠QEM=90°，∴∠EQM+∠QME=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠A=∠QEM，∵△PQM是等腰直角三角形，∴∠PMQ=90°,PQ=PM，∴∠AMP+∠QME=90°，∴∠AMP=∠MQE，∴△AMP≌△EQMAAS∴EQ=AM=3；∴当点P在边AD上运动时，点Q到直线DC的距离为，4−3=1，始终不变；（3）解：如图2，由（2）知，当点P在AD时，Q到AB的距离是3，到CD的距离是1，不符合题意，∴点P在CD上，点Q在AB上方，作PF⊥AB于F，作QE⊥AB于E，∵点Q到直线DC的距离是点Q到直线AB距离的3倍，∴EQ=1，由（2）知，△PFM≌△MEQ，∴FM=EQ=1，∴PD=AF=AM−FM=2，∴P点运动的路程是4+2=6，∴t=6如图，点Q在AB下方，作MG⊥CD于G，作QE⊥AB于E，交DC延长线于点F，∵点Q到直线DC的距离是点Q到直线AB距离的3倍，∴EQ=2，同理△PGM≌△QEM，∴PG=EQ=2，∴PD=3