浙江省绍兴市新昌县2025-2026学年九年级下学期数学素养测试卷

浙江省绍兴市新昌县2025-2026学年九年级下学期数学素养测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．2026的相反数是（）A．2026 B．−2026 C．12026 D．2．如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（）A． B． C． D．3．新昌县位于浙江省东部，是全国医药强县、中国轴承之乡，2025年新昌的GDP为711.66亿元.将数711.66亿用科学记数法（单位：元）表示为（）A．711.66 B．711.66×1C．71.166×109 4．对于反比例函数y=−A．点（2，1）在该函数的图象上B．该函数的图象分别位于第二、第四象限C．y随x的增大而增大D．y随x的增大而减小5．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，AC与BD交于点M，则∠ABM的度数为（）A．120° B．110° C．112.5° D．135°6．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“文”“明”“新”“昌”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“新”和“昌”两个字的概率是（）A．112 B．16 C．147．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形，若点A（-3，1）的对应点A'（-6，2），则点B（-2，4）的对应点B'的坐标为（）A．（-4，8） B．（8，-4） C．（-8，4） D．（4，-8）8．在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，则∠B的度数不可能为（）A．10° B．40° C．80° D．100°9．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯.阶梯电费计价方式如下：阶梯档次年用电量电价（单位：元/度）第一阶梯2760度及以下部分0.538第二阶梯2761度至4800度部分0.588第三阶梯4801度及以上部分0.838小聪家去年12月份用电量为500度，电费为274元，则小聪家去年全年用电量为（）A．2810度 B．2860度 C．3060度 D．3210度10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为BC上中点，连结AE.点F在以AE为直径的半圆上，且EF=EB.延长AF，EF分别交CD于点G，H，连结GE，则下列结论错误的是（）A．EA平分∠BEF B．GE⊥AE C．AE=3GE D．GH二、填空题（每题3分，共18分）11．因式分解：a3−a=12．如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45°方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直线距离）约为米（精确到1米，参考数据213．某科技公司研发了一批AI机器人，计划分配给甲、乙、丙、丁四家经销商点进行销售.当一家分配到n台机器人全部售出后，科技公司从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：n=1n=2n=3n=4n=5n=6…甲46/////乙35.57.591010.5/丙246789…丁1.43.86.28.61113.4…如果科技公司将5台机器人分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么5台机器人都售出后，该科技公司可获得的总利润的最大值为万元.14．类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2，l3，…，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为12l1r+15．已知x轴的上方有一条直线平行于x轴，点A在这条直线上运动，其横坐标为a，另有一点B，坐标为（0，10.5），在x轴上取点P使得P到A，B两点的距离和最小，记S=PA+16．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为.三、解答题（第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明、计算过程或推演步骤。）17．在解分式方程2x第一步：通分2第二步：去分母得2x（x+2）+3（x-2）=8，第三步：化简得2第四步：因式分解得（（x-2）（2x+7）=0，所以x第五步：检验当x=2时，x-2=0.第六步：所以原分式方程的解为x判断豆包的解答过程是否正确.若不正确，请指出哪一步开始出现错误，并写出你的解答过程.18．春节期间，小摊在商场门口售卖糖葫芦，每串糖葫芦的成本为6元.经连续一周的统计，当每串糖葫芦的售价在8元到14元之间（含8元，14元）浮动时，每涨价1元，每天则少卖20串.若售价为每串10元时，每天可卖200串.设售价为每串x元，每天利润为y元.问：（1）求y关于x的函数表达式.（2）当售价定为多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少元?19．我们在函数的学习过程中，都是通过列表描点的方法来研究函数图象，请用类似方法探究y=4x−1（1）观察函数表达式，填写下表：x…-4-2-1124…y-2-310…在平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象：（2）观察图象，回答下列问题：①当x>-1时，求y的取值范围；②函数y=4x（3）类比探索函数y=6220．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC，点E是线段OB上一点，且OE=OD.（1）若△ABC是等边三角形，求证：OE=EB.（2）当∠ABC<∠ACB时，探究∠ABC，∠ACB，∠OED之间的关系.21．小新和昌昌两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”展开了探究。【情境再现】已知：如图1，在△ABC和△A'B'C'中，C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.下面是用“构造法”证明两个三角形全等的部分过程.证明：如图1，延长BC至点D，使CD=B'C'，连结AD.因为AC=A'C'（已知），∠ACD=90°=∠C'，所以△ADC≌△A'B'C'（SAS）.所以AD=A'B'（全等三角形的对应边相等）.……所以△ABC≌△ADC（SSS）.所以△ABC≌△A'B'C'.（1）【实践解决】请结合“情境再现”的证明过程，把“……”的部分补充完整.（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D是直角边AC上一动点（不与点C重合），连结BD，以BD为边向左侧作等边△BDE，连结EA，在点D运动的过程中，始终有EA=ED，试证之.22．（1）【探究发现】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：AB（2）【拓展运用】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB，E为斜边AB上的中点，连结CE交AD于点F.利用（1）的结论，求EF的值.（3）【综合提升】如图3，四边形ABCD为圆内接四边形，其中AB=CB，AD=12，CD=8，AC=10，对角线AC，BD交于点E，求DE的长.23．定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.请根据以上信息，解答以下问题：（1）如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试求出该一次函数的表达式.（2）若二次函数.y=24．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，AC=8，以点A为旋转中心，逆时针旋转△ABC（1）求菱形的边长.（2）当EF∥AC时，求FC的长.（3）若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P，连结BP，求BP-CP的取值范围.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：2026是一个正数，根据相反数的定义，正数的相反数是在其前面添加负号的负数。因此，2026的相反数就是-2026。

故答案为：B。

【分析】首先明确题目考查的是相反数的定义，即只有符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数。

对给定的正数2026，只需改变其符号，即可得到它的相反数-2026。最后对照选项，选择正确答案。2．【答案】A【解析】【解答】解：∵俯视是从上往下看得到的正投影，从上往下看，两圆都能看到，

∴生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是大圆内套了一个实线小圆.

故答案为：A.

【分析】俯视是从上往下看得到的正投影，由俯视的特点去观察卷纸，能看到的用实线表示据此判断得出答案.3．【答案】D【解析】【解答】结合题意可知将数711.66亿用科学记数法表示为a×10n的形式，

因为1亿=108，

所以711.66亿元=711.66×108元，

因为a的取值范围为：1≤故答案为：D.【分析】本题主要考查用科学记数法表示大于10的数，根据a×104．【答案】B【解析】【解答】选项A：将x=2代入函数，计算对应的y值：y=−14≠1，等式不成立，因此点(2，1)不在函数图象上，A错误；

选项B：因为k=−12故答案为：B.【分析】利用反比例函数的图象与性质，对每个选项进行逐一分析，即可确定正确答案.5．【答案】C【解析】【解答】根据多边形内角和公式(n−2)×180°（n=8），计算得正八边形每个内角为(8−2)×180°÷8​=135°，即∠ABC=∠BCD=135°，由正八边形边长相等，可知AB=BC=CD，因此△ABC、△BCD均为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，计算得∠CBD=(180°−135°)÷2​=22.5°，所以∠ABM=∠ABC−∠CBD=135°−22.5°=112.5°。故答案为：C【分析】首先根据多边形的内角和公式求出正八边形每个内角的度数，然后根据题意可知△ABC、△BCD均为等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质求出底角的度数，最后利用角的和差即可求出∠ABM的度数。6．【答案】B【解析】【解答】我们把4张卡片分别记为：A（文）、B（明）、C（新）、D（昌）。从4张中随机抽2张，所有等可能的组合为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种等可能的结果。

其中恰好抽到“新”和“昌”两个字的结果只有(C，D)这1种，

根据概率公式P=符合条件的结果数所有等可能的结果数=【分析】这是一个不放回的古典概型问题，从4张不同的卡片中随机抽取2张，求抽到指定2张（“新”和“昌”）的概率。首先计算所有等可能的抽取结果总数（总基本事件数）；然后计算符合条件的结果数（抽到“新”和“昌”的情况数）；最后根据概率公式P=符合条件的结果数7．【答案】A【解析】【解答】已知点A(−3，1)的对应点A'(−6，2)，

横坐标的倍数为2，

纵坐标的倍数为2，

因此位似比k=2，即位似图形与原图形在原点同侧，坐标放大为原来的2倍。

点B(−2，4)，根据位似坐标变换规则(kx，ky)，代入k=2：

横坐标：−2×2=−4，

纵坐标：4×2=8，

因此B'的坐标为(−4，8)。故答案为：A.【分析】本题主要考查了以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足位似比关系：若位似比为k，则原图形上点(x，y)的对应点坐标为(kx，ky)（位似图形与原图形在原点同侧时，k>0）。8．【答案】C【解析】【解答】选项A：如图，∠B=10°，∠ACB=160°−10°=150°，当AC=CD时，则∠A=∠ADC=20°，则∠BCD=∠B=10°，满足△ACD和△BCD为等腰三角形，故A可能；

选项B：如图，∠B=40°，当BC=CD时，∠B=∠BDC=40°，因为∠A=20°，所以∠ACD=∠A=20°，所以△BCD和△BCD为等腰三角形，故B可能；

选项C：如图，∠B=80°，∠ACB=160°−80°=80°，分△ACD的3种等腰情况：AD=CD：∠ACD=20°，∠ADC=140°，∠BCD=80°−20°=60°，∠BDC=40°，△BCD内角为80°，40°，60°，无相等角，非等腰三角形；AC=AD：∠ACD=∠ADC=(180°−20°)÷2=80°，∠BCD=80°−80°=0°，D与C重合，不成立；AC=CD：∠ADC=∠A=20°，∠ACD=140°>80°，超出∠ACB，不可能；所有情况均无法使△BCD为等腰三角形，不存在分割线，故C不可能；

选项D：如图，∠B=100°，∠ACB=160°−100°=60∘，当BC=BD时，△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC=40°，因为∠A=20°，则∠ACD=∠A，△ACD为等腰三角形，故D可能。

故答案为：C.

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角，对每个选项的∠B度数，先求出∠ACB，再分情况讨论△ACD和△BCD的等腰可能性，验证是否存在符合条件的分割线即可.9．【答案】B【解析】【解答】根据题意，首先计算各阶梯累计电费上限第一阶梯（2760度及以下）：总电费2760×0.538=1484.88元第二阶梯（2761~4800度，共4800−2760=2040度）：总电费2040×0.588=1199.52元第三阶梯（4801度及以上）：电价0.838元/度然后判断12月用电的计费档位12月用电500度，电费274元，平均电价274÷500=0.548元/度，介于第一阶梯0.538和第二阶梯0.588之间，说明：12月用电时，全年累计电量跨越了第一阶梯和第二阶梯（即1~11月累计用电量在2760度以内，12月用电后，全年累计进入第二阶梯）。步骤3：列方程求解全年总用电量设全年总用电量为x度，则：1~11月累计用电量为x−500度，且x−500<2760（第一阶梯剩余电量为2760−(x−500)=3260−x度），12月的500度电中，3260−x度按第一阶梯0.538元计费，剩余500−(3260−x)=x−2760度按第二阶梯0.588元计费，根据12月电费274元列方程：(3260−x)×0.538+(x−2760)×0.588=274解得：x=2860故答案为：B.【分析】根据题意，先计算各阶梯的累计电费上限，判断12月500度电的计费档位；设全年总用电量为x度，根据12月电费列方程求解；验证结果是否符合档位假设，匹配选项得出答案。10．【答案】D【解析】【解答】由矩形的性质可知在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=AB2+BE2=62+22=210，

∵AE是直径，∴∠AFE=90°。

在Rt△AFE中：已知：矩形ABCD，AB‖CD，

∴∠BAG=∠AGD，

又由△ABE≌△AFE，

∴∠BAE=∠EAG，

∴∠AGE=∠EAG

∵AE是直径，

∴∠AEG=∠AFE=90°

即GE⊥AE，故B正确；

在△ABE和△GEA中：∠B=∠AEG=90，∠BAE=∠EGA，

∴△ABE∽△GEA，

∴ABGE=AEBE，

∴AEGE=ABBE=3，

即AE=3GE，故C正确；

由前面我们可知△CEG∽△BAE，

可得CG=23，则DG=163故答案为：D。【分析】本题是矩形与圆的综合题，先在Rt△ABE中用勾股定理求出AE；然后由直径所对圆周角为直角，得∠AFE=90°，再用勾股定理求出AF=6=AB；接着用SSS证明△ABE≌△AFE，得出EA平分∠BEF(判断A)：然后利用相以三角形求出GE长度，并证明GE⊥AE(判断B、C)；最后利用平行线分线段成比例求出GH、GC的长度比，判断D是否正确。11．【答案】a(a-1)(a+1)【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）

故答案为：a（a+1）（a-1）

【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。12．【答案】85【解析】【解答】由题意可知，小明走了60步，步距0.6米，因此：AB=60×0.6=36米，

如图，过M作MC⊥AB，交AB的延长线于C，设MC=x米（即河流宽度）。

在Rt△ACM中，∠MAC=45°，因此AC=MC=x米

在Rt△BCM中，∠MBC=90°-30°-60°，由tan60°=MCBC，得：

BC=MCtan60°=x3，

由AC-BC=AB，代入得：

故答案为：85【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，首先过点M向AB作垂线，垂足为C，然后分别在Rt△ACM与Rt△BCM中设未知数列方程即可求出。13．【答案】13.5【解析】【解答】首先整理各经销商的利润数据：

甲：最多分配2台，1台利润4万，2台利润6万：

乙：分配1~5台的利润依次为3、5.5、7.5、9、10万；

丙：分配1~5台的利润依次为2、4、6、7、8万；

丁：分配台的利润为1.4+2.4(m-1)=2.4n-1万，即1台1.4万，2台3.8万，3台6.2万，4台8.6万，5台11万。

枚举所有合法分配方案，计算总利润：

1.全部分配给一家：乙5台10万，丁5台11万，均小于13.5万：

2.分配给两家：甲2台(6万)+乙3台(7.5万)：总利润6+7.5=13.5万；

甲2台(6万)+丁3台(6.2万)：总利润6+6.2=12.2万：

甲1台(4万)+丁4台(8.6万)：总利润4+8.6=12.6万：

乙4台(9万)+甲1台(4万)：总利润9十4=13万：

3.分配给三家及以上：

甲2台(6万)+乙2台(5.5万)+丙1台(2万)：总利润6+5.5+2=13.5万；

甲1台+乙1台+丁3台：总利润4+3十6.2=13.2万，均不超过13.5万。

对北比所有方案，总利润的最大值为13.5万元。故答案为：13.5【分析】要使总利润最大，需先明确各经销商的利润上限与分配限制，枚举5台机器人的所有合法分配方案，计算总利润后取最大值，同时注意甲最多分配2台的限制。14．【答案】1【解析】【解答】由题中扇形面积公式S=12lr，设小扇形ODG的半径为r，则大扇形OEF的半径为r+h。

阴影部分面积等于大扇形面积减法小扇形面积，即S阴影−S大扇形−S小扇形=12b(r+h)−12ar。

因为两个扇形圆心角相同，设圆心角为θ，弧长a=θr180,b=故答案为：12【分析】类比题目中扇形面积公式的推导方法，将阴影部分（扇环）分割成无数个近似小三角形，利用小三角形面积和推导阴影部分面积，也可直接用大扇形面积减小扇形面积，结合弧长公式得到结果。15．【答案】6≤AB≤10【解析】【解答】设平行于x轴的直线为y=h(h>0)，则点A的坐标为(a，h)。

作点B(0，10.5)关于x轴的对称点B'(0，-10.5)，

由轴对称性质可知PB=PB'，因此PA+PB=PA+PB，当A、P、B三点共线时，PA+PB取得最小值，即PA+PB=AB=a2+(h+10.5)2，

因此S=(PA+PB)2=a2+(h+10.5)2。

已知S的最小值为225，因为a2≥0，当a=0时S取得最小值，即(h+10.5)2=225，

又h>0，故h+10.5=15，解得h=4.5，因此故答案为：6≤AB≤10.【分析】先利用轴对称求最短路径，得到S=(PA+PB)的表达式，再根据S的最小值求出平行于x轴的直线的纵坐标，最后结合S≤289的条件，求出a的范围，进而得到AB的取值范围。16．【答案】3【解析】【解答】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∠C=90°，由勾股定理得对角线BD=5。

因为BE=BC=3，所以DE=BD-BE=2。

由∠FBD=∠ECD，∠BEF=∠DEC，可得△FBE∽△CDE，

因此FEDE=BECE=FBCD，

因为AD‖BC，

所以△FAM∽△FBC，△FAN∽△FBC，

根据平行线分线段成比例，分别得到AMBC=FECE，ANBC=故答案为：311【分析】先在矩形中利用已知条件得出线段长度与角相等关系，证明两组三角形相似，再根据相似得到对应线段成比例，分别求出直线FB、FC截AD所得线段AM、AN的长度，最后作差得到MN。17．【答案】解：不正确，第四步错误正确解答过程如下：原方程可化为2解得：x经检验原分式方程的解为x【解析】【分析】首先根据解分式方程的步骤对豆包的解答过程进行检查，重点关注最简公分母是否正确，是否漏乘，然后正确解答即可。18．【答案】（1）解：由题意可列：y=(x-6)[200-20(x-10)]

=-20x2+520x-2400.（2）解：由（1）配方得：y=−20x−132+980,8≤x答：当售价定为13元时，每天的利润最大，最大利润是980元.【解析】【分析】（1）先根据"每张价1元少卖20串”和售价10元时卖200串，求出销量关于售价x的表达式，再用“总利润=每串利润×销量”得到y关于x的函数；

（2）将二次函数配方成顶点式，结合x的取值范围8<x<14，求出利润的最大值及对应售价。19．【答案】（1）解：当x=-1时，y=-5，当x=1时，y=3；

用依次连接各点，用平滑曲线连接，图象如图：

（2）解：观察图象可知：

①y<-5或y>-1；②向下平移1个单位长度（3）解：由y=62x−3=3x−32，

根据函数平移规律“左加右减”

【解析】【解答】（1）将对应的x值代入函数解析式得：

当x=-1时，y=4−1−1=−5；

当x=1时，y=41−1=3.

在平面直角坐标系中描出(-4，-2)、（-2，-3)、（一1，-5)、(1，3)、(2，1)、(4，0)等点，用平滑曲线连接，图象如图：

【分析】（1）将对应的值代入解析式，得到对应的y的值填入表格，然后在平面直角坐标系中描出图象即可；

（2）观察图象即可确定，当x>-1时，y的取值范围，以及对照y=20．【答案】（1）证明：连结OC.∵OC=OB，OD⊥BC，

∴∠BOC=2∠BOD.又∵∠BOC=2∠BAC，∠BOD=∠BAC∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠BOD=∠BAC=60°.∵OE=OD，

∴△OED是等边三角形.∴OE=ED，∠ODE=60°.∵OD⊥BC，

∴∠ODB=90°.∴∠OBD=90°-∠BOD=90°-60°=30°，∠BDE=∠ODB∠ODE=90°-60°=30°.∴∠OBD=∠BDE.∴EB=ED.∴OE=EB​​​​​​​（2）解∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，

∴∠BOD=180°-2∠OED，由（1）知，∠BAC=∠BOD，∴∠BAC=180°-2∠OED，分在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°；∴180°-2∠OED+∠ABC+∠ACB=180°∴∠ABC+∠ACB=2∠OED【解析】【分析】(1)利用等边三角形性质、圆周角定理、垂径定理，结合等边三角形判定与等角对等边，证明OE=EB：

(2)利用圆周角定理、垂径定理、等腰三角形性质与三角形内角和，推导∠ABC、∠ACB、∠OED的数量关系。21．【答案】（1）解∵A'B'=AB，

∴AD=AB，

∵∠ACB=90°，

∴BC=CD（2）解：如图2，延长BC至B'，使CB'=CB，连结B'A，B'D，

则△ABC≌△AB'C△DBC≌△DB'C，∴AB=AB'，DB=DB'.∵∠BAC=30°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABB'是正三角形，∴BA=BB'，∠ABB'=60°.∵△EBD是正三角形，

∴BE=BD=DE，∠EBD=60°，∴∠EBA=∠DBB'，∴△EBA≌△DBB'（SAS）；∴EA=DB'，

∴EA=ED【解析】【分析】（1）利用构造法补全证明，先由AD=AB结合AC⊥BC，用等腰三角形三线合一证BC=CD，再用SSS证△ABC≌△ADC，结合已证的△ADC≌△A'BC，完成△ABC≌△A'B'C的证明；

（2）延长BC至B'，使CB'=CB，连结B'A，B'D，利用30°直角三角形性质、等边三角形性质，证明则△ABC≌△AB'C△DBC≌△DB'C，从而证EA=DB'，进行证明EA=ED。22．【答案】（1）解：方法1：如图1-1，过点A作AE⊥BC于点E，再过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为点M，N.

∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN.∵S∴AB方法2：如图1-2，过点C作CE//AB交AD延长线于点E.∵AB∥CE，

∴∠BAD=∠E.又∵∠ADB=∠CDE，

∴△ABD∽△ECD，

∴ABCE∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE.∴∠E=∠CAE，

∴CE=AC.∴​​​​​​​（2）解：在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6∴AB=∵CE为斜边AB上的中线，

∴设EF=x，则CF=5-x.∵AD平分∠CAB，

∴AE即58=x经检验，x=∴​​​​​​​（3）解：如图3，作EP⊥AD，CQ⊥AD，∵四边形ABCD为圆内接四边形，且AB=CB，∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分∠ADC，

∴∵DA=12,∵AC=10，

∴AE=6，CE=4∵CQ⊥AD，

∴△CDQ和△ACQ是直角三角形，设DQ=x，AQ=12-x，有82−x2=102∵EP⟂AD,CQ⟂AD,∴AP=【解析】【分析】（1）本题是角平分线定理的证明，核心思路为面积法或平行线构造相似法。面积法利用角平分线上的点到角两边距离相等，结合两三角形同高，面积比等于底之比；平行线法通过作平行线，将比例线段转化为等腰三角形的边，再利用相似三角形求解；

（2）本题属于拓展运用，需先利用勾股定理求出AB，再结合(1)的角平分线定理求出CD的长度，接着利用直角三角形斜边中线性质和相似三角形或线段比例关系，最终求出EF的长度。23．【答案】（1）解：设y=kx+b（k≠0），由题