培优专题 相交线与平行线三角板相关-浙教版数学七（下）核心素养评估作业

培优专题相交线与平行线三角板相关—浙教版数学七（下）核心素养评估作业一、选择题1．已知直线a∥b，将含有30°角的三角板按如图所示的方式摆放，若∠1=44°20'，则∠2=()A．44°20' B．46°40' C．45°20' D．45°40'2．（2025·浙江模拟）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=65°，则∠2=（）

A．20° B．25° C．30° D．35°3．（2024·拱墅模拟）已知直线a∥b，将含有60°的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若∠1=44°20'，则∠2=A．44°20' B．46°40' C．45°20' D．45°40'4．（2024七下·诸暨期末）如图，直线AB//CD，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内：步骤1：将一块含30°(∠GFE=30°)的直角三角尺(△EFG)如图放置，使得点E，F落于直线CD上，直角顶点G位于两平行线之间；步骤2：将另一块含45°(∠MPN=∠MNP=45°)的直角三角尺(△PMN)进行放置，使得点P落于直线AB上(点P在点A的右边)，边MN经过点G，满足∠EGN=40°；根据以上步骤，∠APM的度数可以是①～⑥选项中的哪三项()①10°；②20°；③70°；④80°；⑤160°；⑥170°．A．①③⑥ B．①④⑥ C．②④⑤ D．②③⑤二、填空题5．（2025七下·上城期末）如图，AC∥DF，将一个含30°角的直角三角板如图放置，使点E落在直线DF上，若∠ABE=72°，则∠PEF的度数为°．6．（2025七下·宁波期末）一副三角板如图所示摆放，a∥b，∠3=65°，∠2=30°，则∠1的度数为．7．（2025七下·上城期中）如图，已知a//b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°，则∠2=.

8．（2025七下·余姚期中）将一副三角板按如图的方式摆放，已知AB∥CD，则∠CGB的度数为9．（2025七下·杭州月考）一副直角三角尺叠放如图所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角度不超过180°）的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当∠CAE=15°时BC∥DE．则∠CAE(0°<∠CAE<180°)其他可能符合条件的度数为10．如图，有一块含45∘角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=6011．已知一副三角板按如图所示的方式摆放，∠A=30∘，∠EDF=12．（2024七下·义乌期末）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB、CD之间，其中点E、F在直线AB上，点H、N在直线CD上，∠EGH=∠FMN=90°，∠GEH=45°，∠MFN=30°．记∠AEG=∠1，∠GHC=∠2，∠MND=∠3，∠BFM=∠4．（1）比较大小：∠1+∠2∠3+∠4．（填“>”或“<”或“=”）（2）如图2，∠EFN的平分线FP交直线CD于点P，记∠EHD=α0°<α<90°，∠FPN=β．现保持三角板EGH不动，将三角板FMN从如图位置向左平移，若在运动过程中MN与EH始终平行，α与β满足的数量关系为13．（2025七下·北仑期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2：当∠BAD=15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°<∠BAD<180°）其它所有可能符合条件的度数为．三、解答题14．（2025七下·莲都期末）如图，将两个直角三角尺作如下摆放，∠EGF=∠MPN=90°, ∠GFE=∠PNM=30°，直线AB过点E，MN在直线CD上，EG平分（1）求∠BEF的度数．（2）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（3）将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，当△PMN旋转一周时，整个运动停止．当EF与△MPN的任意一边平行时，求出所有满足条件的t的值．15．（2025七下·奉化期末）小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究：素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图2所示摆放，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠BAC=∠FDE=60°，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点D动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．问题解决：小宁将三角板ABC向右平移．（1）如图1，当点F落在线段BC上时，求∠BFE的度数．（2）如图2，在三角板ABC向右平移过程中，连结BF（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记∠BFE=α,①当点F在BC右侧时，试探究α与β的数量关系．②小宁发现，当点F在BC左侧时，α与β的数量关系将发生改变，那么此时α与β的数量关系是．（3）思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小波将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度逆时针旋转，设时间为t秒，∠1=t°,∠2=2t°，且0≤t≤60，若边AC与三角板DEF的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的16．（2025七下·安吉期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动.（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关系；（3）小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上。若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？（直接写出答案，用含α，β的式子表示.）

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：如图，∵∠ACB=90∴∠3=45∵allb，∴∠2=∠3=45故选：D.【分析】根据互余得出∠3,进而利用两直线平行，同位角相等解答即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：如图，

∵直尺的对边平行，∠1=65°，

∴∠3=∠1=65°，

又∵∠3+90°+∠2=180°，

∴65°+90°+∠2=180°，解得：∠2=25°.故答案为：B.【分析】先利用平行线的性质求出∠3，再利用平角的意义求出∠2.3．【答案】D【解析】【解答】解：如图：

∵∠ACB=90°，∠1=44°20'，

∴∠3=45°40'，

∵a∥b，

∴∠2=∠3=45°40'，

故答案为：D.

【分析】先求出∠3的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求解.4．【答案】A【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示，

∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，∴∠FGH=∠EFG=30°，∠AKG=∠HGN，∵∠EGN=40°，∠EGF=90°，∴∠FGN=50°，∴∠AKG=∠HGN=80°，∴∠BKM=∠AKG=80°，∵∠M=90°，∴∠APM=90°−∠PKM=10°；过点G作GH∥AB，过点M作MK∥AB，如图所示，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH∥KM，∴∠FGH=∠EFG=30°，∠KMG=∠HGM,∵∠EGN=40°，∠EGF=90°，∴∠KMG=∠HGM=180°−90°−40°−30°=20°，∵∠PMN=90°，∴∠APM=∠PMK=90°−20°=70°；过点G作GK∥AB交PN于点K，如图所示，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GK，∴∠FGK=∠EFG=30°，∠APK=∠PKG，∵∠EGN=40°，∠EGF=90°，∴∠FGN=50°，∴∠KGN=80°，∴∠NKG=180°−∠PNM−∠KGN=55°，∴∠APK=∠PKG=180°−∠GKN=125°，∴∠APM=∠APN+∠MPN=170°；故答案为：A【分析】分三种情况讨论，结合平行线的性质，三角形内角和定理，即可求解．5．【答案】12【解析】【解答】解：∵AC‖DF,∴∠ABE=∠BEF=7∴∠PEF=7故答案为：12.【分析】利用平行线的性质得到∠ABE=∠BEF=726．【答案】20°​​​​​​​【解析】【解答】解：如图，

∵a∥b，

∴∠1+90°=45°+∠3，

又∵∠3=65°，

∴∠1=45°+65°-90°=20°.

故答案为：20°.

【分析】利用两直线平行内错角相等、三角尺各角的度数可得∠1和∠3的关系式，再代入∠3的值求解即可.7．【答案】50°【解析】【解答】解：如图：∵∠1=40∴∠3=18∵a‖b,∴∠2=∠3=5故答案为：50°.【分析】由直角三角板的性质可知，∠3=1808．【答案】105°【解析】【解答】解：∵AB∥CD,∠CDF=90°，

∴∠ABF=∠CDF=90°，

∵∠ABE=30°，

∴∠GBF=90°−30°=60°，

∴∠CGB=∠F+∠GBF=45°+60°=105°.故答案为：105°.【分析】已知AB平行于CD，根据平行线的性质和三角板的特殊角度，得∠GBF=90°−30°=60°，再由∠CGB是两角的补角，有∠CGB=∠F+∠GBF=45°+60°=105°.9．【答案】60°或105°或135°【解析】【解答】解：①如图所示：如图所示：

当∠BAE+∠B=180°时，BC∥AE

∴∠CAE=90°−∠BAC=90°−30°=60°

②如图所示：

当∠BAD+∠B=180°时，BC∥AD

∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=60°+45°=105°

③如图所示：

当∠BAD=∠D时，DE∥AB

∴∠BAE=180°−∠E=180°−45°=135°

∴∠CAE=∠BAE−∠BAC=135°−30°=105°

④如图所示：

当∠CAE+∠E=180°时，AC∥DE

∴∠CAE=180°−∠E=180°−45°=135°故答案为：60°或105°或135°.【分析】当△ABC绕点A顺时针旋转过程中，依次出现BC∥AE、BC∥AD、DE∥AB、AC∥DE四种平行情况，因此需要分类讨论，并利用平行线的性质进行计算即可.10．【答案】15°【解析】【解答】解：如图

∵AC∥BD，且∠2=60°

∴∠BAC=∠2=60°，

∵∠BAD=45°，

∴∠1=∠BAC-∠BAD=15°.

故答案为：15°.

【分析】本题考查平行线性质与平时用的直尺及三角板特征；直尺对边平行可得∠BAC=60°，由三角板可知∠BAD=45°，两角差为所求.11．【答案】60【解析】【解答】解：∵AB∥DE，且∠A=30°，

∴∠ADE=∠A=30°，

∵∠EDF=90°

∴∠CDF=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°.

故答案为：60.

【分析】本题考查平行线性质”两直线平行，内错角相等“，先运用”两直线平行，内错角相等“求得∠ADE=30°，再由∠ADE=30°，∠EDF=90°求得∠CDF的度数.

12．【答案】=；2β−α=60°或2β+α=120°【解析】【解答】解：（1）如图，过点G作GP∥AB，过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴GP∥AB∥CD，MQ∥AB∥CD，∴∠1=∠EGP，∠2=∠HGP，∠3=∠FMQ，∠4=∠NMQ，∵∠EGH=∠EGP+∠HGP=90°，∠FMN=∠FMQ+∠NMQ=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=∠3+∠4，故答案为：=（2）在三角板FMN中，∠FMN=90°，∠MFN=30°，∴∠FNM=60°，如图，当三角板FMN平移至三角板EGH右侧时，∵MN∥EH，∴∠MND=∠EHD=α，∴∠FND=∠FNM+∠MND=60°+α，∵AB∥CD，∴∠EFN=∠FND=60°+α，∠EFP=∠FPN，∵FP平分∠EFN，∴∠EFN=2∠EFP=2∠FPN，∴2β=60°+α，即2β−α=60°；如图，当三角板FMN平移至三角板EGH左侧时，∵MN∥EH，∴∠MND=∠EHD=α，∴∠FND=∠FNM+∠MND=60°+α，∵AB∥CD，∴∠EFN=180°−∠FND=120°−α，∠EFP=∠FPN，∵FP平分∠EFN，∴∠EFN=2∠EFP=2∠FPN，∴2β=120°−α，即2β+α=120°，故答案为：2β−α=60°或2β+α=120°【分析】（1）过点G作GP∥AB，过点M作MQ∥AB，根据两直线平行，内错角相等，得到∠1=∠EGP，∠2=∠HGP，∠3=∠FMQ，∠4=∠NMQ，再结合∠EGP+∠HGP=90°，∠FMQ+∠NMQ=90°，即可比较大小；（2）分两种情况讨论：当三角板FMN平移至三角板EGH右侧时，由两直线平行同位角相等可得∠FND=60°+α，由两直线平行内错角相等可得∠EFN=∠FND，由角平分线的概念可得∠EFP=12∠EFN，再由两直线平行内错角相等可得β=∠EFP=12α+60°

当三角板FMN平移至三角板EGH左侧时，此时∠EFN与13．【答案】45°或60°或105°或135°【解析】【解答】解：解：当AC∥DE时，

∠BAD=∠DAE=45°；

当BC∥AD时，

∠DAB=∠B=60°；

当BC∥AE时，

则：∠EAB=∠B=60°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；

当AB∥DE时，

则∠E=∠EAB=90°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°．

故答案为：45°或60°或105°或135°．

【分析】由平行线的判定与性质知，当∠BAD从15°向180°逐渐增大时，存在AC∥DE、BC∥DA、BC∥EA、AB∥DE等四种情况，分别予以计算即可．14．【答案】（1）解：根据题意得：∠GEF=60°，∵EG平分∠AEF，∴∠AEF=2∠GEF=120°，∴∠BEF=180°-∠AEF=60°；（2）解：过点G作GL∥AB，如图所示：根据题意得：∠AEG=60°，∠PNM=30°，∠EGF=90°，∴∠EGL=∠AEG=60°，∴∠LGP=30°，∴∠LGP=∠PNM=30°，∴GL∥CD，∴GL∥CD∥AB，∴CD∥AB；（3）解：如图所示，当EF‖PM时，延长EF交CD于点H，延长PN交EF于点O，交AB于点G，∵∠NPM=9∴∠NOH=9由(1)得∠BEF=60∘,∠PNM=30∘;

∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒∴∠HEG=60°﹣4t，∠CNP=10t﹣30°，∵CD∥AB，∴∠EHN=60°-4t，∠CNP=∠HNO=10t-30°，∴∠EHN+∠CNP=90°，即60°-4t+10t-30°=90°，解得：t=10；如图所示，当EF∥NM时，延长NM交AB于点G，∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，∴∠FEG=4t-60°，∠MND=10t-180°，∵CD∥AB，∴∠DNM=∠BGM=10t-180°，∵EF∥NM，∴∠FEB=∠BGM，即10t-180°=4t-60°，解得：t=20；如图所示，当EF∥NP时，延长NP交AB于点G，

∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，∴∠FEG=4t-60°，∠GND=10t-180°-30°，∵CD∥AB，∴∠DNG=∠AGN=10t-180°-30°，∵EF∥NM，∴∠FEG=∠EGN，即10t-180°-30°=4t-60°，解得：t=25；综上可得：t的值为10或20或25.【解析】【分析】(1)根据角平分线及邻补角计算即可；(2)过点G作GL∥AB，根据平行线的判定和性质即可得出结果；(3)根据题意，分三种情况分析：当EF∥PM时，当EF∥NM时，当EF∥NP时，然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可.15．【答案】（1）解：如图，连接BE，

∵∠ACB=∠DFE=90°，∠BAC=∠FDE=60°，

∴∠ABC=∠DEF=30°，

∵l1∥l2，

∴∠ABE+∠BED=180°，

∴∠FBE+∠BEF=120°（2）解：①如图，连接BE，

∵∠ACB=∠DFE=90°，∠BAC=∠FDE=60°，

∴∠ABC=∠DEF=30°，

∵l1∥l2，

∴∠ABE+∠BED=180°，

∵∠CBF=β，

∴∠FBE+∠BEF=120°−β，EFEF

∴∠BFE=180°−∠FBE+∠BEF=60°+β，

∵∠BFE=α，（3）解：30或40或20【解析】【解答】解：(2)②如图，连接BE，

∵l1∥l2，

∴∠ABE+∠BED=180°，

∵∠CBF=β，∠ABC=∠DEF=30°，

∴∠FBE+∠BEF=120°+β，

∴∠BFE=180°−∠FBE+∠BEF=60°−β，

∵∠BFE=α，

∴α+β=60°.

故答案为：α+β=60°.

(3)如图3-1，当AC∥DF时，延长AC，

∵∠BAC=∠FDE=60°，∠1=t°,∠2=2t°，

∴∠MAG=∠1+∠BAC=60°+t°，∠FDN=∠2+∠FDE=60°+2t°，

∵l1∥l2，AC∥D