弧长和扇形面积课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.3弧长和扇形面积学习目标课时讲解1课时流程2弧长公式扇形及其面积公式圆锥的侧面积和全面积逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点弧长公式1弧长公式弧长公式推导过程l=

∵360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR.∴1°的圆心角所对的弧长是=.∴n°的圆心角所对的弧长是l=

公式中的n和180均表示1°的圆心角的倍数，没有单位感悟新知注意正确理解等弧、弧的度数和弧长的关系.比如：度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧.要特别注意，只有在同圆或等圆中，才有这三者的统一.知1－讲感悟新知知1－讲特别提醒1.题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长.2.在弧长公式中，已知l，n，r中任意两个量，都可求出第三个量.知1－练感悟新知

例1思路导引：⌒知1－练感悟新知答案：C

⌒知1－练感悟新知1-1.

[中考·淮安]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC

＝50°，⊙O半径为3，则BC的长为_____________.⌒知1－练感悟新知[母题中考·哈尔滨教材P138习题T1(1)]若90°的圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径的长是______．例2解题秘方：根据弧长公式将已知量代入，解方程即可求出半径.

6cm知1－练感悟新知

D感悟新知知2－讲知识点扇形及其面积公式21.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.感悟新知知2－讲2.扇形面积公式扇形面积公式扇形的面积公式推导过程∵360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR

2，∴1°的圆心角所对的扇形的面积就是，∴n°的圆心角所对扇形的面积是S扇形=.(需知n，R)n和360不带单位感悟新知知2－讲扇形面积公式扇形的面积公式推导过程标准公式：S扇形=变形公式：S扇形=lR

变形公式：S扇形==××R=lR.

(需知l，R)注意：S扇，l，n，R四个量中，知二求二.

感悟新知知2－讲3.弓形(1)定义：由弦及弦所对的弧组成的图形叫作弓形.(2)弓形的面积可以看成扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式：感悟新知知2－讲

知2－讲感悟新知特别提醒扇形面积公式中的“n”和弧长公式中的“n”一样，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.知2－讲感悟新知

感悟新知知2－练

例3

4π知2－练感悟新知思路导引：知2－练感悟新知

知2－练感悟新知3-1.如图，在正五边形ABCDE

内，以AB

为边作等边三角形ABF，再以点A

为圆心，AE长为半径画弧．若AB=3，则图中阴影部分的面积是________．

感悟新知知2－练[期末·汕头潮南区]如图29.3-4，点A，B，C是⊙O

上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为(

)A.2B.3C.4D.5例4知2－练感悟新知解题秘方：根据扇形面积公式列方程求解．

答案：B知2－练感悟新知4-1.已知一个扇形的面积是12π，弧长是2π，则这个扇形的半径为(

)A.24B.36C.12D.6C知2－练感悟新知

240感悟新知知2－练

例5知2－练感悟新知解题秘方：利用作差法求阴影部分(弓形)的面积，即用扇形OAB的面积减去△OAB的面积.

答案：D知2－练感悟新知5-1.如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每相邻两个刻度间的弧长均相等，过9时和11时的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为________

.

知3－讲感悟新知知识点圆锥的侧面积和全面积31.与圆锥有关的概念名称概念图示圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体(如图所示).圆锥可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形圆锥的母线连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线圆锥的高连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高

感悟新知2.圆锥的侧面积和全面积知3－讲内容图示圆锥的侧面积如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么圆锥侧面展开图(扇形)的半径为l，扇形的弧长为2πr，所以圆锥的侧面积S

侧=×2πr•l=πrl

感悟新知知3－讲内容图示圆锥的全面积圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，所以S

全

=S

侧

+S

底

=πrl+πr2=πr(l+r)

知3－讲感悟新知注意圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线长，要与底面半径区别开.知3－讲感悟新知特别提醒1.圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面.2.圆锥的母线有无数条，它们的长都相等.3.圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三角形，有l2=h2+r2，已知l，h

和r中任意两个量都可以求出第三个量.知3－讲感悟新知图示圆锥表面展开图如图29.3-6所示.知3－练感悟新知[母题教材P139习题T4]如图29.3-7，在△ABC

中，∠C=90°，AC=6，BC=8.(1)将△ABC以BC

所在直线为轴旋转一周，求所得旋转体的全面积；(2)将△ABC

以AC所在直线为轴旋转一周，求所得旋转体的全面积.例6知3－练感悟新知思路导引：知3－练感悟新知(2)S底=πBC2=64π，S

侧=π×8×10=80π，∴S全=S

底+S侧=144π.

知3－练感悟新知6-1.[中考·潍坊]如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l

长为4，母线l

与高AO

的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为__________．8π知3－练感悟新知[中考·徐州]将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ

为90°，圆锥的底面圆的半径为_______

.例7

1cm知3－练感悟新知

解题秘方：先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可．知3－练感悟新知7-1.[中考·盐城]已知圆锥的侧面积为15π，母线长为5，则圆锥的底面半径是_______．7-2.若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为_______cm.3弧长和扇形面积与圆有关的计算弧长公式

扇形面积公式S侧=πrl

圆锥侧面积全面积S全=S侧+S底=πr(l+r)题型将不规则图形转化为规则图形求阴影部分的面积1

例8类型1和差法思路导引：

答案：C思路点拨先分析图形，看能分解为哪些基本图形(如扇形、三角形等可以直接求面积的图形)，再分析各图形之间有何联系，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差.在不能直接转化的题目中，可以添加一些辅助线帮助解决.[中考·成都]如图29.3-9，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为_______．例9类型2等积变换法

思路导引：

技巧点拨等积变换法求图形面积：在等面积转化中可根据同底(等底)等高(同高)的三角形面积相等或图形全等进行转化，从而将不易直接求得的图形面积转化成与其面积相等的易求的图形面积.

例10类型3割补法解题秘方：将弓形CD“割”下来“补”到弓形BD处，即可求出阴影部分的面积.

答案：D方法总结不规则图形面积的求解思路:在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，可以采取割、补、移的方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式.与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式或弓形面积的计算公式.题型将求图形中某点运动的轨迹长转化为求弧长2如图29.3-11，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD

在直线l上，将矩形ABCD

沿直线l

作无滑动翻滚，当点A

第一次翻滚到点A1

位置时，点A经过的路线长为___________

.例116π思路导引：

特别提醒平面图形的滚动问题中：1.滚动前后图形的形状、大小不变，位置改变；2.滚动时不动的点是定点，移动的点是动点，滚动过程中动点经过的路线一般是一段圆弧，所形成的图形一般是扇形.解题通法求图形翻滚中路线长问题的方法：求此类翻滚中路线长的问题，可通过探究归纳出这个点一个周期经过的路线的情况，并以此推断整个运动路线，从而利用弧长公式求出运动的路线长.题型利用化曲为直求圆锥侧面两点间的最短距离3

例12思路导引：

答案：B解题技巧化曲为直法：“化曲为直”是把曲面(圆锥的侧面)展开成平面(扇形，即圆锥的侧面展开)，利用“两点之间线段最短”来解决距离最短问题.易错点误以为圆锥底面圆的半径就是侧面展开图的半径

例13

答案：A诊误区：圆锥的侧面展开图是扇形，它的半径就是圆锥的母线，与圆锥底面圆的半径是两个不同的概念，不能混淆.

考法利用弧长公式求圆中的弧长1例14⌒试题评析：本题考查了等腰三角形的性质和弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．解：如图29.3-15

，连接OD，OE.∵AB=AC，∠C=70°,∴∠ABC=∠C=70°．∵OE=OB，∴∠OEB=∠ABC=70°，∴∠OEB=∠C=70°，∴OE∥AC．答案：C⌒

考法利用扇形面积公式求不规则图形的面积2例15

试题评析：本题考查扇形面积公式，将阴影部分面积转化为规则图形面积的和差是解题关键．

[中考·云南]若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为()A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm考法与圆锥的侧面展开图有关的计算3例16试题评析：本题考查圆锥的侧面展开图，解题关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开后扇形的弧长．

答案：B

C⌒

A⌒⌒3.[模拟·晋中榆次区]如图，某公园计划修建一条以点O为圆心，半径OA=OB=30m，圆心角为120°的弧形观景步道，即AB.施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心O和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少3πm，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为()

A.21° B.99°C.102° D.138°C⌒

A

D6.

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