2025-2026学年山西省晋中市榆次区现代双语学校集团高一（下）段考数学试卷（6月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省晋中市榆次区现代双语学校集团高一（下）6月段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=−i(9−8i)的虚部为(

)A.−8 B.8 C.−9 D.92.某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是(

)A.抽签法 B.随机数法 C.简单随机抽样 D.分层随机抽样3.已知向量a=(1,m),b=(2,−1)，若a//(a+2A.2 B.−2 C.−12 4.如图，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，B′C′//A′D′，A′B′=1，A′D′=2B′C′=2，则平面图形ABCD的周长为(

)A.4+2

B.4−2

C.5.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是(

)A.若m//n，m//α，则n//α B.若α⊥β，m⊥β，则m//α

C.若m//α，m//β，则α//β D.若m⊥α，n⊥α，则m//n6.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为母线SB的中点，C是AB的中点，SO=AB=2，则直线SA与CD所成角的余弦值为(

)A.22

B.32

C.7.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：AB=403cm，AC=28cm，BD=20cm，A=B=π6，则破裂的断点C，A.28cm B.143cm C.26cm8.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=BC=2DC=2，E为AC上一点，且满足AE=BE，则AE⋅BD=(

)A.1

B.54

C.32

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某城市连续7天的最低温度(单位： oC)为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的(

)A.极差为7 B.40%分位数为4 C.平均数为4 D.方差为510.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形

C.若A=30°，b=5，a=2，则△ABC有两解

D.11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是C1D1A.BD1⊥AB1

B.过点E、A、C的平面截该正方体所得的截面面积为42

C.点P到平面AB1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取

人.13.已知甲、乙两个圆台的上底面的半径均为r1，下底面的半径均为r2(r1<r2)，母线长分别为3(r2−r14.在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，PA⊥AC，PB⊥BC，PC=4，则点P到平面ABC的距离为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1(0,1)，Z2(2,−1)．

(1)若z=z1−z2，求16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C1=B1C1，点D是棱A1B117.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2c2=sinBsinC．

(1)求角A的大小；

(2)若a=18.(本小题17分)

某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩分成[40,50)、[50,60)、⋯、[90,100]六组，得到如图所示频率分布直方图．

(1)求图中a的值，并估计样本数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前20%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；

(3)若落在[50,60)中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在[60,70)中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数x−和方差s2．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，AB=BC=AP=2，AD=4．

(1)证明：CD⊥平面PAC；

(2)求二面角B−PC−D的大小；

(3)点T是棱PC上的动点(不包括端点)，求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围．

参考答案1.C

2.D

3.C

4.D

5.D

6.D

7.A

8.A

9.AC

10.AD

11.AC

12.12

13.314.2

15.(1)复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1(0,1)，Z2(2,−1)．

则z1=i，z2=2−i，则z=z1−z2=i−(2−i)=−2+2i，

所以|z|=(−2)2+22=22．

(2)由题意可知：z=z1+mz1z2=i+mi(2−i)=m+(2m+1)i，

因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则m<02m+1>0，解得−12<m<0，

故实数m的取值范围为(−12,0)．

16.(1)证明：连接A1C交AC1于点E，连接DE，

如图所示：

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，所以A1E=EC，

又点D是棱A1B1的中点，所以B1C//DE，

又DE⊂平面ADC1，B1C⊄平面ADC1，

所以B1C//平面ADC1；

(2)因为A1C1=B1C1，点D是棱A1B1的中点，所以C1D⊥A1B17.(1)因为b2+c2−a2c2=sinBsinC，由正弦定理得b2+c2−a2c2=bc，即b2+c2−a2=bc，

由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=12．

又0<A<π，所以A=π3．

(2)因为12bcsinA=34bc=332，解得bc=6．

由b2+c2−a2=bc，所以(b+c)2=a2+3bc=7+3×6=25，即b+c=5，

所以b+ca=57=577．

(3)由sinC+cosC=2sin(C+π4)=2，得19.解：(1)证明：AD//BC，AB⊥AD，AB=BC=2，

所以∠BAC=∠BCA=∠CAD=π4，AC=22，

所以在△ACD中，由余弦定理得：

CD=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cosπ4=8+16−42×4×22=22，

所以AC2+CD2=AD2，所以CD⊥AC，

因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以CD⊥PA，又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

所以CD⊥平面PAC；

(2)取BP的中点E，过点D作DF⊥平面PBC，DF交平面PBC于点F，连接CF，

因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD，因为平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，

所以BC⊥平面PAB，

因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC，

因为AB=AP=2，PE=BE，

所以AE⊥BP，AE=2，

又BP，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，

所以AE⊥平面PBC，

因为AD//BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，

所以AD//平面PBC，

所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，

所以DF=2，

由(1)知CD⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，

所以CD⊥PC，因为DF⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，

所以DF⊥PC，又DF，CD⊂平面CDF，DF∩CD=D，

所以PC⊥平面CDF，

因为CF⊂平面CDF，

所以PC⊥CF，由PC⊥CF，CD⊥PC，平面PBC∩平面PCD=PC，

知∠FCD是二面角B−PC−D的平面角的补角，

由