2023-2024学年天津市河东区高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（）A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U2．（5分）对于任意实数a，b，“a2＝b2”是“2a＝2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）若f（x）＝（x3+a）ln为偶函数，则a＝（）A．﹣1 B．0 C． D．14．（5分）设，，，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y35．（5分）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.46．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位厘米）和身高y（单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知＝225，＝1600，＝4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．1707．（5分）若，则x+2y的值是（）A．3 B． C．log23 D．﹣38．（5分）空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β C．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n D．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β9．（5分）设函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）10．（5分）某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立．通过计算统计量χ2，得χ2≈7.468，根据χ2分布概率表：P（χ2≥6.635）≈0.01，P（χ2≥5.024）≈0.025，P（χ2≥3.841）≈0.05，P（χ2≥2.706）≈0.1．给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%②有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关③χ2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（）A． B．该圆锥的侧面积为 C．△PAC的面积为 D．该圆锥的体积为2π二.填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分12．（5分）计算（i为虚数单位）的值为．13．（5分）二项式展开式中的常数项是．14．（5分）某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70、97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的第75%分位数是．15．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D（X）＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），则p＝．16．（5分）已知正数x，y满足x+y＝1，则的取值范围为．17．（5分）在平行四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，若，设，，则可用，表示为；若点F为AD的中点，点P为线段BC上的动点，则的最小值为．18．（5分）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为．三.解答题：本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19．（15分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2．（1）若A+C＝120°，a＝2c，求边长c；（2）若A﹣C＝15°，a＝csinA，求△ABC的面积．20．（15分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝1，CB＝CD＝CE＝3．（1）若F在侧棱DE上，且DF＝2FE，求证：AF∥平面BCE；（2）求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值．21．（15分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若函数y＝f（x）﹣a在存在零点，求实数a的取值范围．22．（15分）已知函数f（x）＝（+a）ln（1+x）．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求a的取值范围．

2023-2024学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（）A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】A【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．【解答】解：由于∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．故选：A．2．（5分）对于任意实数a，b，“a2＝b2”是“2a＝2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件必要条件的判断．【答案】B【分析】依次判断充分性，必要性，即可求解．【解答】解：当a＝2，b＝﹣2，满足a2＝b2，但2a≠2b，故充分性不成立，当2a＝2b时，则a＝b，故a2＝b2，必要性成立，综上所述，“a2＝b2”是“2a＝2b”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）若f（x）＝（x3+a）ln为偶函数，则a＝（）A．﹣1 B．0 C． D．1【考点】函数的奇偶性．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性性质即可确定a．【解答】解：函数f（x）定义域为：，∴x＞2或x＜﹣2，若f（x）为偶函数，则f（﹣3）＝f（3），则（﹣27+a）ln5＝（27+a）ln＝﹣（27+a）ln5，则a＝0，经检验，满足题意．故选：B．4．（5分）设，，，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3【考点】不等式比较大小．【答案】C【分析】由已知结合指数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：因为＝32.7，＝﹣0.48log327＝﹣3×0.48＝﹣1.44，＝31.5＜32.7＝y1，故y2＜y3＜y1．故选：C．5．（5分）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【考点】概率的应用；全概率公式；古典概型及其概率计算公式．【答案】A【分析】根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设该同学爱好滑冰为事件A，爱好滑雪为事件B，分析P（B）和P（AB），由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设该同学爱好滑冰为事件A，爱好滑雪为事件B，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，P（A∪B）＝0.7，则P（AB）＝P（A）+P（B）﹣P（A∪B）＝0.4，若选出的同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率P（A|B）＝＝＝0.8．故选：A．6．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位厘米）和身高y（单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知＝225，＝1600，＝4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】C【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，再取x＝24求得y值即可．【解答】解：∵＝225＝22.5，＝1600＝160，∴，则，取x＝24，得．故选：C．7．（5分）若，则x+2y的值是（）A．3 B． C．log23 D．﹣3【考点】对数的运算性质；指数式与对数式的互化．【答案】A【分析】根据已知条件，结合对数、指数的运算性质，即可求解．【解答】解：∵2x＝6，log4＝y，∴x+2y＝log26+2＝＝＝＝3．故选：A．8．（5分）空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β C．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n D．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】A【分析】根据题意，由直线与平面平行、垂直的性质分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，又n⊥β，所以m⊥n，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，由m⊥n，则n与β斜交、垂直、平行均有可能，故B错误；对于C，若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，由n∥β，则m与n相交、平行、异面均有可能，故C错误；对于D，若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，又m∥n，则n∥β或n⊂β，故D错误．故选：A．9．（5分）设函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）【考点】由指数函数的单调性求解参数．【答案】D【分析】由已知结合复合函数的单调性即可求解．【解答】解：函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，所以g（x）＝（x﹣a）x在（0，1）上单调递减，所以≥1，即a≥2．故选：D．10．（5分）某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立．通过计算统计量χ2，得χ2≈7.468，根据χ2分布概率表：P（χ2≥6.635）≈0.01，P（χ2≥5.024）≈0.025，P（χ2≥3.841）≈0.05，P（χ2≥2.706）≈0.1．给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%②有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关③χ2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】独立性检验．【答案】D【分析】根据χ2≈7.468与临界值比较即可得出结论．【解答】解：因为χ2≈7.468＞6.635，所以有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于1%，故①②正确，χ2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生，故③正确．故选：D．11．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（）A． B．该圆锥的侧面积为 C．△PAC的面积为 D．该圆锥的体积为2π【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角．【答案】A【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性．【解答】解：依题意，∠APB＝120°，PA＝2，所以，圆锥的体积为，故D错误；圆锥的侧面积为，故B选项错误，设D是AC的中点，连接OD，PD，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P﹣AC﹣O的平面角，则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，故，则，故A选项正确；，所以，故C错误；故选：A．二.填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分12．（5分）计算（i为虚数单位）的值为﹣2﹣2i．【考点】复数的混合运算．【答案】﹣2﹣2i．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简求值．【解答】解：＝1﹣2i+（﹣）2＝﹣2﹣2i．故答案为：﹣2﹣2i．13．（5分）二项式展开式中的常数项是7．【考点】二项式定理的应用．【答案】7．【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．【解答】解：根据二项式的展开式＝（r＝0，1，2，3，4，5，6，7，8），当r＝2时，常数项为．故答案为：7．14．（5分）某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70、97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的第75%分位数是97．【考点】百分位数．【答案】97．【分析】利用百分位数的求解公式即可求解．【解答】解：7人的比赛成绩从小到大排列为：70，73，85，90，95，97，98，因为7×75%＝5.25，所以这7人成绩的第75%分位数是第6个，即为97．故答案为：97．15．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D（X）＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），则p＝0.6．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】见试题解答内容【分析】说明使用移动支付的人数X服从二项分布，利用D（X）＝2.4，求出概率，通过P（X＝4）＜P（X＝6），列出不等式，判断概率即可．【解答】解：由题意，使用移动支付的人数X服从二项分布，则D（X）＝10p（1﹣p）＝2.4，解得p＝0.4或p＝0.6，又P（X＝4）＜P（X＝6），即，化简得（1﹣p）2＜p2，解得，所以p＝0.6．故答案为：0.6．16．（5分）已知正数x，y满足x+y＝1，则的取值范围为（1，+∞）．【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．【答案】（1，+∞）．【分析】根据已知条件，对原式变形，再结合函数的单调性，即可求解．【解答】解：正数x，y满足x+y＝1，则y＝1﹣x，故＝，设函数g（x）＝，x∈（0，1），故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）＝1，所以则的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．17．（5分）在平行四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，若，设，，则可用，表示为；若点F为AD的中点，点P为线段BC上的动点，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】；．【分析】第一空直接由向量的线性运算即可求解；第二空，建立平面直角坐标系，利用二次函数的性质求解．【解答】解：如图，因为平行四边形ABCD中，AB⊥BC，所以四边形ABCD是矩形，则以B为原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，因为AB＝3，BC＝6，若，F为AD的中点，所以，，．因为，，所以；设P（x，0），其中0≤x≤6，则，，所以＝，所以当时，的值最小，最小值为．故答案为：；．18．（5分）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为（﹣2，1）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】见试题解答内容【分析】问题转化为a＝x3﹣3x+（x﹣1）2有两个不同的零点，构造函数φ（x）＝x3﹣3x+（x﹣1）2，对其求导，结合导数分析函数的性质，即可求解．【解答】解：令x3﹣3x＝﹣（x﹣1）2+a，则a＝x3﹣3x+（x﹣1）2，令φ（x）＝x3﹣3x+（x﹣1）2，则φ′（x）＝3x2﹣3+2（x﹣1）＝（x﹣1）（3x+5），因为x＞0，故当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，因为φ（0）＝1，φ（1）＝﹣2，x→+∞时，φ（x）→+∞，若使得a＝x3﹣3x+（x﹣1）2有两个不同零点，则a的范围为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．三.解答题：本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19．（15分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2．（1）若A+C＝120°，a＝2c，求边长c；（2）若A﹣C＝15°，a＝csinA，求△ABC的面积．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A，B，C，然后结合锐角三角函数即可求解；（2）由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a，结合三角形面积公式可求．【解答】解：（1）∵A+C＝120°，且a＝2c，∴sinA＝2sinC＝2sin（120°﹣A）＝cosA+sinA，∴cosA＝0，∴A＝90°，C＝30°，B＝60°，∵b＝2，∴c＝；（2）a＝csinA，则sinA＝sinCsinA，sinA＞0，∴sinC＝，∵A﹣C＝15°，∴C为锐角，∴C＝45°，A＝60°，B＝75°，∴＝，∴a＝＝3，∴S△ABC＝absinC＝＝3﹣．20．（15分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝1，CB＝CD＝CE＝3．（1）若F在侧棱DE上，且DF＝2FE，求证：AF∥平面BCE；（2）求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】见试题解答内容【分析】由已知可得CB，CE，CD两两垂直，可以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），D（3，0，0），B（0，3，0），E（0，0，3），F（1，0，2）．A（1，3，0），利用向量法求解．【解答】解：∵EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，∴CB，CE，CD两两垂直，故以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），D（3，0，0），B（0，3，0），E（0，0，3），F（1，0，2）．A（1，3，0），（1）证明：易得平面BCE的法向量为，∵，∴，又AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE；（2），设平面ADE的法向量为由，可取cos＝＝＝∴平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值为．21．（15分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若函数y＝f（x）﹣a在存在零点，求实数a的取值范围．【考点】三角函数的周期性．【答案】（1）π；f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．（2）∈[0，3]．【分析】（1）由题意利用查三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论．（2）由题意，方程sin（2x﹣）＝，在[，]上有解，根据正弦函数的定义域和值域，求得sin（2x﹣）的范围，可得a的范围．【解答】解：（1）对于函数＝6cosx（sinx﹣cosx）+＝sin2x﹣3×+＝3（sin2x•﹣cos2x）＝3sin（2x﹣），故它的最小正周期为＝π．令2x﹣＝kπ+，求得x＝+，k∈Z，故f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．（2）∵函数y＝f（x）﹣a在存在零点，即sin（2x﹣）＝，在[，]上有解．当x∈[，]，2x﹣∈[0，]，