2023-2024学年天津市红桥区高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年天津市红桥区高一（下）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共9题，每小题4分，共36分。1．（4分）已知向量a→=(−2，3)，b→A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，5）2．（4分）设平面向量a→=(1，2)，b→=(x，−3)．若A．﹣6 B．−32 C．−3．（4分）已知复数z满足（3+4i）z＝5i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（4分）已知向量a→，b→的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则A．22 B．23 C．4 5．（4分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当z是纯虚数时，实数m值为（）A．﹣1或2 B．2或﹣3 C．2 D．﹣36．（4分）在△ABC中，已知角A=π4，B=π3，边A．2 B．3 C．1 D．67．（4分）把函数y=sin(x−π3)A．y＝sinx B．y＝cosx C．y=sin(x−2π3)8．（4分）在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos（2x+π6），④y＝tan（2x−πA．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③9．（4分）函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y＝2sin（2x−π6） B．y＝2sin（2x−C．y＝2sin（x+π6） D．y＝2sin（x二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．（4分）i是虚数单位，复数7+i3+4i=11．（4分）若a为实数，且2+ai1+i=3+i，则a＝12．（4分）若i为虚数单位，则复数3i−11+i的模是13．（4分）已知平面向量a→，b→，若|a→|=2，|14．（4分）设△ABC的内角，A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B．则a的值为．15．（4分）在△ABC中，OA→+OB→+OC→=0→，三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（10分）已知复数z=51+2i+1+i（1）求z；（2）若复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，求实数m，n的值．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝1，c=2，cosA=−（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求cos(2A−π18．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2＝b2﹣ac．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a=3，b＝3，求△ABC19．（10分）已知函数f(x)=2（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π

2023-2024学年天津市红桥区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共9题，每小题4分，共36分。1．（4分）已知向量a→=(−2，3)，b→A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，5）【考点】平面向量的坐标运算．【答案】C【分析】利用平面向量加法的坐标表示即可得解．【解答】解：因为a→=(−2，3)，所以a→故选：C．2．（4分）设平面向量a→=(1，2)，b→=(x，−3)．若A．﹣6 B．−32 C．−【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】B【分析】根据a→∥b→即可得出﹣3﹣2【解答】解：∵a→∴﹣3﹣2x＝0，解得x=−3故选：B．3．（4分）已知复数z满足（3+4i）z＝5i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】A【分析】根据复数的四则运算，对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：（3+4i）z＝5i，则z=5i故z在复平面内对应的点（45故选：A．4．（4分）已知向量a→，b→的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则A．22 B．23 C．4 【考点】平面向量的概念与平面向量的模；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】根据图建立直角坐标系可得a→【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，则a→=(1，1)，b→所以|a故选：D．5．（4分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当z是纯虚数时，实数m值为（）A．﹣1或2 B．2或﹣3 C．2 D．﹣3【考点】虚数单位i、复数；纯虚数．【答案】D【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i为纯虚数，则m2+m−6=0m故选：D．6．（4分）在△ABC中，已知角A=π4，B=π3，边A．2 B．3 C．1 D．6【考点】正弦定理．【答案】A【分析】由已知结合正弦定理即可直接求解．【解答】解：因为A=π4，B=π由正弦定理可得，BCsinA即BCsin则边BC=2故选：A．7．（4分）把函数y=sin(x−π3)A．y＝sinx B．y＝cosx C．y=sin(x−2π3)【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】C【分析】由已知结合三角函数图象的平移即可求解．【解答】解：把函数y=sin(x−π3)的图象向右平移π3个单位得到的函数解析式y故选：C．8．（4分）在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos（2x+π6），④y＝tan（2x−πA．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【考点】三角函数的周期性．【答案】A【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．【解答】解：∵函数①y＝cos|2x|＝cos2x，它的最小正周期为2π2=②y＝|cosx|的最小正周期为12⋅③y＝cos（2x+π6）的最小正周期为2π④y＝tan（2x−π4）的最小正周期为故选：A．9．（4分）函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y＝2sin（2x−π6） B．y＝2sin（2x−C．y＝2sin（x+π6） D．y＝2sin（x【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】A【分析】根据已知中的函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A＝2，T2=π3+π6故y＝2sin（2x+φ），将（π3，2）代入可得：2sin（2π3则φ=−π故y＝2sin（2x−π故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．（4分）i是虚数单位，复数7+i3+4i=1﹣i【考点】复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：7+i3+4i故答案为：1﹣i．11．（4分）若a为实数，且2+ai1+i=3+i，则a＝【考点】复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵2+ai1+i=3+i，∴2+ai＝（1+i）（3+i）＝2+4∴a＝4．故答案为：4．12．（4分）若i为虚数单位，则复数3i−11+i的模是5【考点】复数的模；复数的运算．【答案】5．【分析】根据复数的模长公式的性质求解．【解答】解：|3i−11+i|=故答案为：5．13．（4分）已知平面向量a→，b→，若|a→|=2，|【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】5．【分析】根据数量积的性质即可求得模长．【解答】解：由|a→|=2，|可得|2=4=4×4+9＝5．14．（4分）设△ABC的内角，A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B．则a的值为23．【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．【答案】见试题解答内容【分析】利用正弦定理，二倍角公式结合已知可得a2sinBcosB=3sinB=，整理得a【解答】解：在△ABC中，∵A＝2B，asinA=bsinB，可得a2sinBcosB=3sinB=，整理得a＝6cosB∴a＝23，故答案为：215．（4分）在△ABC中，OA→+OB→+OC→=0→，AE→【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】62【分析】由题意得O为△ABC的重心，根据重心性质及已知条件，将AO→，EC→用AB→【解答】解：因为OA→+OB→+所以AO→因为AE→=2EB所以EC→所以AB→化简得3AC→2故答案为：62三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（10分）已知复数z=51+2i+1+i（1）求z；（2）若复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，求实数m，n的值．【考点】复数的除法运算．【答案】（1）z=2+i（2）m＝﹣4，n＝5．【分析】（1）利用复数的除法运算法则可得z＝2﹣i，即可求得z=2+i（2）将z代入方程x2+mx+n＝0，利用复数相等的概念即可求得m＝﹣4，n＝5．【解答】解：（1）因为复数z=5所以z=2+i（2）因为复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，所以（2﹣i）2+m（2﹣i）+n＝0，可得4﹣4i+i2+2m﹣mi+n＝0，即（3+2m+n）﹣（m+4）i＝0，所以3+2m+n=0m+4=0，解得m＝﹣4，n17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝1，c=2，cosA=−（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求cos(2A−π【考点】两角和与差的三角函数；正弦定理．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）−3【分析】（Ⅰ）由题意利用余弦定理即可求得a的值；（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦公式即可求解cos(2A−π【解答】解：（Ⅰ）因为b＝1，c=2，cosA=−所以由余弦定理可得a=b（Ⅱ）由题意sinA=1−cos2A=144，sin2A＝2sinAcosA=−7所以cos(2A−π6)=cos2Acosπ6+sin2Asinπ6=（−18．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2＝b2﹣ac．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a=3，b＝3，求△ABC【考点】余弦定理；正弦定理．【答案】（Ⅰ）2π3（Ⅱ）33【分析】（Ⅰ）由已知可得a2+c2﹣b2＝﹣ac，利用余弦定理可求cosB=−12，结合范围B∈（0，π），可求（Ⅱ）由已知可得c2+3c﹣6＝0，解方程可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解△ABC【解答】解：（Ⅰ）因为a2+c2＝b2﹣ac，可得a2+c2﹣b2＝﹣ac，所以cosB=a因为B∈（0，π），所以B=2π（Ⅱ）因为a=3，b＝3，a2+c2＝b2﹣ac，可得3+c2＝9−3c，整理可得c2+解得c=3，或﹣23所以△ABC的面积S=12acsinB19．（10分）已知函数f(x)=2（Ⅰ）求f（x