2023-2024学年云南省大理民族中学高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年云南省大理民族中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目的要求1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{1，2，3，4}，则（∁RA）∩B＝（）A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}2．（5分）已知命题p：∀x＞0，ex+3x⩽2，则¬p为（）A．∃x⩽0，ex+3x＞2 B．∃x＞0，ex+3x＞2 C．∃x＞0，ex+3x⩽2 D．∀x＞0，ex+3x＞23．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…log3a10＝（）A．12 B．10 C．8 D．2+log354．（5分）已知空间向量a→=(2，−2，1)，b→=(3，0，4)，则向量A．109b→ B．25b→5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，A＝135°，则b+csinB+sinCA．24 B．22 C．2 6．（5分）春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力．它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想．甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（）A．192 B．240 C．96 D．487．（5分）已知函数f(x)=ex(2x−1)x−1，则A． B． C． D．8．（5分）已知a，b为正实数，直线y＝x﹣2a与曲线y＝ln（x+b）相切，则1aA．8 B．42 C．6 D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）(x+2A．展开式共6项 B．常数项为64 C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64（多选）10．（6分）设直线l：y＝kx+1（k∈R）与圆C：x2+y2＝5，则下列结论正确的为（）A．l与C可能相离 B．l不可能将C的周长平分 C．当k＝1时，l被C截得的弦长为32D．l被C截得的最短弦长为4（多选）11．（6分）已知椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为AA．椭圆C的离心率为32B．满足条件PF1⊥PF2的点P有两个 C．以A1，A2为焦点，以F1，F2为顶点的双曲线的渐近线方程为y=±3D．△PF1F2的内切圆面积的最大值为(21−12三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）某快餐厅推出一种双人组合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯饮料，主食有5种可供选择，饮料有4种可供选择，且每份套餐中主食和饮料均不能重复，则这种双人套餐的不同搭配有种．（用数字作答）13．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an+2=an+1−an(n∈N∗)14．（5分）函数f(x)=lnxx−k2四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣3x．（1）求曲线f（x）在x＝0处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．16．（15分）设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．17．（15分）某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．18．（17分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC=5，AC＝AA1（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．19．（17分）已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），记点M的坐标为（5，0）．（1）若点A和B到抛物线准线的距离分别为32和3，求|AB（2）若斜率k＝1，求△AMB的面积；（3）若△AMB是等腰三角形且|MA|＝|MB|，求实数k．

2023-2024学年云南省大理民族中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目的要求1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{1，2，3，4}，则（∁RA）∩B＝（）A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】A【分析】求出集合的等价条件，根据补集，交集的定义进行求解即可．【解答】解：A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，则∁RA＝{x|0≤x≤2}，则（∁RA）∩B＝{1，2}，故选：A．2．（5分）已知命题p：∀x＞0，ex+3x⩽2，则¬p为（）A．∃x⩽0，ex+3x＞2 B．∃x＞0，ex+3x＞2 C．∃x＞0，ex+3x⩽2 D．∀x＞0，ex+3x＞2【考点】全称量词命题的否定；全称量词和全称量词命题．【答案】B【分析】根据题意，由全称量词命题与特称量词命题的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，命题p：∀x＞0，ex+3x⩽2是全称量词命题，所以¬p为“∃x＞0，ex+3x＞2”，故选：B．3．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…log3a10＝（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的性质．【答案】B【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6＝a4a7，进而根据a5a6+a4a7＝18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10＝log3（a5a6）5答案可得．【解答】解：∵a5a6＝a4a7，∴a5a6+a4a7＝2a5a6＝18∴a5a6＝9∴log3a1+log3a2+…log3a10＝log3（a5a6）5＝5log39＝10故选：B．4．（5分）已知空间向量a→=(2，−2，1)，b→=(3，0，4)，则向量A．109b→ B．25b→【考点】空间向量的投影向量与投影．【答案】C【分析】根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可．【解答】解：因为空间向量a→=(2，−2，1)，所以a→⋅b所以向量b→在向量a→上的投影向量为故选：C．5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，A＝135°，则b+csinB+sinCA．24 B．22 C．2 【考点】正弦定理．【答案】C【分析】由已知利用正弦定理即可求解．【解答】解：因为a＝1，A＝135°，由正弦定理bsinB=csinC=asinA=1sin135°=则b+csinB+sinC故选：C．6．（5分）春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力．它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想．甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（）A．192 B．240 C．96 D．48【考点】排列组合的综合应用．【答案】A【分析】丙坐在七人的正中间，则需列举出甲、乙两人相邻的情况，安排甲乙的顺序，再用排列法计算其他人即可．【解答】解：甲、乙、丙等七人恰好买到了七张连号的电影票，若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，若丙在正中间（4号位），甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，考虑到甲、乙的顺序有A22种情况，剩下的4个位置其余4人坐，有故不同的坐法的种数为C4故选：A．7．（5分）已知函数f(x)=ex(2x−1)x−1，则A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】利用导数判定单调性即可得出选项．【解答】解：f(x)=ex(2x−1)x−1，定义域为{∴f′(x)=e令f'（x）＞0⇒x∈（﹣∞，0）∪（3，+∞），所以f（x）在（﹣∞，0）和（3，+∞）上单调递增，排除AD，当x＜0时，2x﹣1＜0，x﹣1＜0，所以f（x）＞0，排除B．故选：C．8．（5分）已知a，b为正实数，直线y＝x﹣2a与曲线y＝ln（x+b）相切，则1aA．8 B．42 C．6 D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式及其应用．【答案】A【分析】设切点为（m，n），求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得n＝0，进而得到2a+b＝1，利用“乘1”法及基本不等式的应用即可得到所求最小值．【解答】解：设切点为（m，n），y＝ln（x+b）的导数为y′=1由题意可得1m+b又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n＝0，m＝2a，即有2a+b＝1，则1a+2b=（1a+2b当且仅当ba=4ab，即b=所以1a故选：A．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）(x+2A．展开式共6项 B．常数项为64 C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64【考点】二项式定理．【答案】CD【分析】选项A：根据二项式定理的性质即可判断，选项B：求出展开式的常数项即可判断，选项C：令x＝1即可判断，选项D：根据二项式系数和公式即可判断．【解答】解：选项A：因为n＝6，所以展开式共有7项，故A错误，选项B：展开式的常数项为C63x选项C：令x＝1，则所有项的系数和为（1+2）6＝729，故C正确，选项D：所有项的二项式系数和为26＝64，故D正确，故选：CD．（多选）10．（6分）设直线l：y＝kx+1（k∈R）与圆C：x2+y2＝5，则下列结论正确的为（）A．l与C可能相离 B．l不可能将C的周长平分 C．当k＝1时，l被C截得的弦长为32D．l被C截得的最短弦长为4【考点】直线与圆的位置关系．【答案】BD【分析】判断直线经过的定点与圆的位置关系，然后判断选项的正误即可．【解答】解：直线l：y＝kx+1（k∈R）恒过（0，1），定点在圆的内部．圆的圆心（0，0），半径为5，所以直线不可能与圆相离，所以A不正确；直线可能经过圆的圆心，此时直线的倾斜角为90°，所以直线不可能平分圆的周长，所以B正确；当k＝1时，l化为x﹣y+1＝0，圆心到直线的距离为：d=12，弦长为：25−12=定点与圆心的距离为：1，最短弦长为：25−1=4，所以D故选：BD．（多选）11．（6分）已知椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为AA．椭圆C的离心率为32B．满足条件PF1⊥PF2的点P有两个 C．以A1，A2为焦点，以F1，F2为顶点的双曲线的渐近线方程为y=±3D．△PF1F2的内切圆面积的最大值为(21−12【考点】椭圆的几何特征．【答案】ACD【分析】对于A，根据椭圆方程，结合离心率公式，可得答案；对于B，设动点坐标，利用垂直直线斜率关系，建立方程，解得答案；对于C，根据A和双曲线的性质，结合双曲线的渐近线方程，可得答案；对于D，根据内切圆半径与三角形面积和周长的关系，求得半径最大值，可得答案．【解答】解：对于A，由方程x24+y2=1，得离心率e=ca=对于B，由A可知F1(−3，0)，F2(直线PF1的斜率k1=yx+3，直线由PF1⊥PF2，得k1k2＝﹣1，可得y2因为P在椭圆x24+y2由y2=1−x24=1对于C，由A可知：A1（﹣2，0），A2（2，0），F1(−3则双曲线的a1=3，c1该双曲线的渐近线方程为y=±b1a1x对于D，设△PF1F2内切圆的半径为r，易知S△P其中S△PF1F2为△PF1F2的面积，C△PF1易知当P为椭圆x24+y2=1的上顶点，则r的最大值为2S△PF故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）某快餐厅推出一种双人组合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯饮料，主食有5种可供选择，饮料有4种可供选择，且每份套餐中主食和饮料均不能重复，则这种双人套餐的不同搭配有60种．（用数字作答）【考点】排列组合的综合应用．【答案】60．【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合知识求解．【解答】解：先从5种主食中选2种，有C52=所以共有10×6＝60种不同的搭配．故答案为：60．13．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an+2=an+1−an(n∈N∗)【考点】数列递推式．【答案】﹣1；3．【分析】根据递推关系式求出数列的前几项，得到数列的规律，进而求解结论．【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an+2∴a3＝a2﹣a1＝1，a4＝a3﹣a2＝﹣1，a5＝a4﹣a3＝﹣2，a6＝a5﹣a4＝﹣1，a7＝a6﹣a5＝1，a8＝a7﹣a6＝2，....．即数列{an}是周期为6的数列，且前六项为1，2，1，﹣1，﹣2，﹣1，∴a4＝﹣1；又2022＝337×6+2，S2024＝337（1+2+1﹣1﹣2﹣1）+1+2＝3．故答案为：﹣1；3．14．（5分）函数f(x)=lnxx−k2有两个零点，则k【考点】利用导数研究函数的最值；函数零点的判定定理．【答案】见试题解答内容【分析】函数f(x)=lnxx−k2有两个零点，即方程lnxx=【解答】解：∵函数f(x)=lnx∴方程lnxx即方程lnxx设g(x)=lnxx(x＞0)，则函数g（x）与y=当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，∴函数g（x）在x＝e时，取得最大值g(e)=1又∵当x→0时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）＞0且g（x）→0，∴函数g（x）的大致图像，如图所示，由图像可知，0＜k∴k的取值范围是(0，2故答案为：(0，2四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣3x．（1）求曲线f（x）在x＝0处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）结合导数与单调性关系可求函数的单调区间，进而可求极值．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣3，则f′（0）＝﹣3，f（0）＝0，故曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程y＝﹣3x，（2）由3x2﹣3＞0可得x＞1或x＜﹣1，由3x2﹣3＜0可得﹣1＜x＜1，故函数的增区间：（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间（﹣1，1），故当x＝﹣1时，函数取得极大值f（﹣1）＝2，当x＝1时函数取得极小值f（1）＝﹣2．16．（15分）设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【考点】错位相减法．【答案】（1）a2＝5，a3＝7，an＝2n+1；（2）Sn【分析】（1）根据递推关系计算，并结合等差数列猜想求解即可；（2）结合（1）得an【解答】解：（1）因为数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，所以，a2＝3a1﹣4＝9﹣4＝5，a3＝3a2﹣8＝15﹣8＝7，所以，由数列{an}的前三项可猜想数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，即an＝2n+1．（2）由（1）知an＝2n+1，代入an+1＝3an﹣4n检验知其满足，所以，an＝2n+1，an所以，Sn=3×2+5×2Sn由①﹣②得，−=6+2×22×(1−2n−1)所以，Sn17．（15分）某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）119，133；（2）127；（3）35【分析】（1）根据中位数和百分位数的定义计算即可；（2）根据平均数的定义计算即可；（3）根据古典概型公式计算即可．【解答】解析：（1）甲组20名同学成绩的中位数是117+1212∵20×80%＝16，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为132+1342（2）由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为：（105×0.010+115×0.020+125×0.025+135×0.030+145×0.015）×10＝127分，（3）甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个，乙组20名同学的成绩不低于140分的有0.015×10×20＝3个，记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点共C52=∴P（A）=618．（17分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC=5，AC＝AA1（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直；直线与平面所成的角．【答案】见试题解答内容【分析】（I）证明AC⊥BE，AC⊥EF即可得出AC⊥平面BEF；（II）建立坐标系，求出平面BCD的法向量n→，通过计算n→与（III）计算FG→与n【解答】（I）证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1，∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，∵AB＝BC，E是AC的中点，∴BE⊥AC，又BE∩EF＝E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，∴AC⊥平面BEF．（II）解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），∴