2023-2024学年云南省昆明市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年云南省昆明市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）样本数据12，12，13，17，19，23，30，34，40，64的75%分位数是（）A．12 B．13 C．30 D．342．（5分）已知α为锐角，，则＝（）A． B． C．﹣7 D．73．（5分）已知向量，满足||＝2，＝（1，2），且•＝3，则，的夹角为（）A． B． C． D．4．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，m⊥α，则m∥β5．（5分）“函数y＝f（x）为奇函数”是“函数y＝|f（x）|为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（）A．7π B．21π C．63π D．7．（5分）点P是以AB为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则x+y+xy的最大值为（）A． B． C． D．8．（5分）某班同学身高的平均数为，方差为s2，其中女生身高x1，x2，…，xm的平均数为，方差为，男生身高y1，y2，…，yn的平均数为，方差为，下列说法错误的是（）A．若，则 B．若＜，则＜s2＜ C．若m＝n，则 D．若，则s2＝二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）在复数范围内，方程x2+x+2＝0的两个根分别为x1，x2，则（）A．x1+x2＝﹣i B．x1+x2＝﹣1 C．|x1|＝|x2|＝2 D．|x1|＝|x2|＝（多选）10．（6分）掷一枚质地均匀的骰子两次，设A＝“第一次骰子点数为奇数”，B＝“第二次骰子点数为偶数”，C＝“两次骰子点数之和为奇数”，D＝“两次骰子点数之和为偶数”，则（）A．C与D互为对立事件 B．A与D相互独立 C． D．（多选）11．（6分）函数，则下列说法正确的是（）A．∃t∈R，使得f（x）为单调函数 B．∃t∈R，使得f（x）有三个零点 C．∃t∈R，使得f（x）有最大值 D．∃t∈R，使得f（x）的值域为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4＜0}，则A∩B＝．13．（5分）设函数f（x）＝ln（|x|+1），g（x）＝﹣x2+a，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）有两个交点，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知绕点A逆时针旋转得到，则点P的坐标为；一般地，绕A逆时针旋转θ得到，则的坐标为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2asinB．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．16．（15分）为了解某地区1000家中小型企业2023年的净利润（单位：万元）情况，从中随机抽取80家企业的净利润数据，画出频率分布直方图，如图所示．（1）估计该地区中小型企业2023年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）已知这80家企业2023年净利润的标准差为10，估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．17．（15分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，AB＝BC＝4，AA1＝2．（1）证明：BD1∥平面EDC1；（2）设平面α∥平面EDC1，且B∈α，在图中作出α与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线围成图形的面积．18．（17分）已知函数（a＞0且a≠1）．（1）讨论f（x）的单调性（不需证明）；（2）若a＝2，（i）解不等式f（x）≤；（ii）若g（x）＝22x+1﹣f（2x）+2tf（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣，求t的值．19．（17分）平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则P（A）＝．大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）．（1）为了估算曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴围成的区域M的面积，记点集{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤1}表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（π≈3.14，结果保留一位小数）（2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为x（0＜x＜π），如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，x＝0．（i）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；（ii）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点（x，y），利用（1）的结论，求圆周率π的近似值（用m，n表示）．

2023-2024学年云南省昆明市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）样本数据12，12，13，17，19，23，30，34，40，64的75%分位数是（）A．12 B．13 C．30 D．34【考点】百分位数．【答案】D【分析】根据百分位数的定义求解．【解答】解：因为10×75%＝7.5，所以75%分位数是第8个数字，即为34．故选：D．2．（5分）已知α为锐角，，则＝（）A． B． C．﹣7 D．7【考点】两角和与差的三角函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系求出cosα＝，tanα＝＝．再利用两角和的正切公式求出的值．【解答】解：∵已知α为锐角，，∴cosα＝，∴tanα＝＝．∴＝＝﹣7，故选：C．3．（5分）已知向量，满足||＝2，＝（1，2），且•＝3，则，的夹角为（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】A【分析】利用cos＜，＞＝，求解即可．【解答】解：由＝（1，2），知||＝3，所以cos＜，＞＝＝＝，因为＜，＞∈[0，π]，所以＜，＞＝．故选：A．4．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，m⊥α，则m∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】C【分析】由空间中线线，线面，面面间的位置关系判断即可．【解答】解：对于A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可以平行，可以相交，还可以异面，选项A错误；对于B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可以平行，也可以异面，选项B错误；对于C，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，选项C正确；对于D，若α⊥β，m⊥α，则m可以平行于β，也可以在β内，选项D错误．故选：C．5．（5分）“函数y＝f（x）为奇函数”是“函数y＝|f（x）|为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】奇函数偶函数的性质；充分条件的判断．【答案】A【分析】根据充分而不必要条件的定义判断可得答案．【解答】解：若函数y＝f（x）为奇函数，则其定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），所以|f（﹣x）|＝|﹣f（x）|＝|f（x）|，所以y＝|f（x）|是偶函数；设函数y＝f（x）＝x2，则|f（x）|＝|x2|，x∈R，|f（﹣x）|＝|f（x）|，所以y＝|f（x）|＝|x2|是偶函数，但y＝f（x）＝x2不是奇函数，故函数y＝f（x）为奇函数是函数y＝|f（x）|为偶函数的充分而不必要条件．故选：A．6．（5分）已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（）A．7π B．21π C．63π D．【考点】圆台的体积．【答案】B【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再利用勾股定理求出圆台的高，再结合圆台的体积公式求解即可．【解答】解：设圆台的母线长为l，高为h，上底面半径为r1，下底面半径为r2，则r1＝1，r2＝4，又因为π（r1+r2）l＝15，即π×（1+4）×l＝15，解得l＝3，则h＝＝＝3，所以该圆台的体积等于（）×3＝21π．故选：B．7．（5分）点P是以AB为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则x+y+xy的最大值为（）A． B． C． D．【考点】运用基本不等式求最值．【答案】C【分析】由题意可得，x2+y2＝4，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为点P是以AB为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则x2+y2＝4，则x+y+xy≤2×+＝2，当且仅当x＝y＝时取等号．所以x+y+xy的最大值为2+2．故选：C．8．（5分）某班同学身高的平均数为，方差为s2，其中女生身高x1，x2，…，xm的平均数为，方差为，男生身高y1，y2，…，yn的平均数为，方差为，下列说法错误的是（）A．若，则 B．若＜，则＜s2＜ C．若m＝n，则 D．若，则s2＝【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．【答案】B【分析】利用分层随机抽样的均值和方差公式判断各个选项即可．【解答】解：对于A，因为＝，若则，＜＝＜，即，故A正确；对于B，若＜，当，都比较接近于0时，而与相差较大时，此时s2，故B错误；对于C，若m＝n，则＝＝＝（），故C正确；对于D，若，则＝＝，所以s2＝[]+＝＝，故D正确．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）在复数范围内，方程x2+x+2＝0的两个根分别为x1，x2，则（）A．x1+x2＝﹣i B．x1+x2＝﹣1 C．|x1|＝|x2|＝2 D．|x1|＝|x2|＝【考点】实系数多项式虚根成对定理．【答案】BD【分析】结合配方法，求出两个根，再结合复数模公式，即可求解．【解答】解：x2+x+2＝0，则，解得i，不妨令，，故x1+x2＝﹣1，，故D正确．故选：BD．（多选）10．（6分）掷一枚质地均匀的骰子两次，设A＝“第一次骰子点数为奇数”，B＝“第二次骰子点数为偶数”，C＝“两次骰子点数之和为奇数”，D＝“两次骰子点数之和为偶数”，则（）A．C与D互为对立事件 B．A与D相互独立 C． D．【考点】事件的互为对立及对立事件；相互独立事件的概率乘法公式．【答案】BC【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可．【解答】解：对于A，两次骰子点数之和为奇数或偶数，即C与D互为对立事件，故A正确；对于B，P（A）＝，P（D）＝，P（AD）＝，P（AD）＝P（A）P（D），故B正确；对于C，P（AC）＝，故C正确；对于D，P（B）＝，P（D）＝，P（BD）＝，P（B∪D）＝P（B）+P（D）﹣P（BD）＝，故D错误．故选：BC．（多选）11．（6分）函数，则下列说法正确的是（）A．∃t∈R，使得f（x）为单调函数 B．∃t∈R，使得f（x）有三个零点 C．∃t∈R，使得f（x）有最大值 D．∃t∈R，使得f（x）的值域为【考点】余弦函数的单调性；余弦函数的定义域和值域．【答案】AC【分析】根据题意得，区间长度为π，对于A，采用赋值法验证可；对于B，根据余弦函数图象知，若y＝cosα在区间（x1，x2）上有3个零点，则区间长度最小值为2π，与题干中的区间长度矛盾，即可判断；对于C，当时，可得f（x）有最大值，即可判断；对于D，根据，得，解三角函数不等式即可判断．【解答】解：，，所以，对于A，不防令，则，此时f（x）单调递减，故A正确；对于B，根据余弦函数图象知，若y＝cosα在区间（x1，x2）有3个零点，则区间长度最小值为2π，而，区间长度为，故不存在t使上述区间长度为2π，故B错误；对于C，当时，f（x）取得最大值，所以∃t∈R，使得f（x）有最大值，故C正确；对于D，由，得，所以，又，故不存在t∈R，使得f（x）的值域为，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4＜0}，则A∩B＝{0，1}．【考点】求集合的交集．【答案】{0，1}．【分析】先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4＜0}＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝{0，1}．故答案为：{0，1}．13．（5分）设函数f（x）＝ln（|x|+1），g（x）＝﹣x2+a，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）有两个交点，则实数a的取值范围是{a|a＞0}．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【答案】{a|a＞0}．【分析】由已知可判断出f（x）与g（x）都为偶函数，结合偶函数的对称性即可求解．【解答】解：因为f（x）＝ln（|x|+1），g（x）＝﹣x2+a都为偶函数，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）有两个交点，则曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＞0时有1个交点，即ln（x+1）＝a﹣x2在x＞0时有一个交点，所以a＝x2+ln（x+1），令g（x）＝x2+ln（x+1），x＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（0）＝0，故a＞0．故答案为：{a|a＞0}．14．（5分）已知绕点A逆时针旋转得到，则点P的坐标为（2，2+）；一般地，绕A逆时针旋转θ得到，则的坐标为（，）．【考点】平面向量数乘和线性运算的坐标运算．【答案】（2，2+），（，）．【分析】利用向量逆时针旋转的角度，得到对应向量的坐标，结合三角函数的和差公式即可求解．【解答】解：绕点A逆时针旋转得到，∴＝（，1），设与x轴的正方向的夹角为α，∴cosα＝，sinα＝，α∈（0，2π），∴α＝，∴＝（2cos，2sin），将向量绕点A逆时针旋转θ得到，则＝（2cos（），2sin（））＝（），∵绕点A逆时针旋转得到，∴＝（﹣sin，+cos）＝（1，），∵A（1，2），∴P（2，2+）．故答案为：（2，2+），（，）．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2asinB．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【答案】（1）；（2）6．【分析】（1）由正弦定理可得sinA的值，在锐角三角形中，可得角A的值；（2）由三角形的面积公式，可得bc的值，再由余弦定理可得b+c的值，进而求出△ABC的周长．【解答】解；（1）因为b＝2asinB，由正弦定理可得：sinB＝2sinAsinB，在△ABC中，sinB＞0，可得sinA＝，在锐角△ABC中，A∈（0，），解得A＝；（2）因为a＝2，A＝，S△ABC＝bcsinA＝，即bc•＝，可得bc＝4，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣bc，即4＝（b+c）2﹣3×4，解得b+c＝4，所以△ABC的周长为a+b+c＝2+4＝6．16．（15分）为了解某地区1000家中小型企业2023年的净利润（单位：万元）情况，从中随机抽取80家企业的净利润数据，画出频率分布直方图，如图所示．（1）估计该地区中小型企业2023年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）已知这80家企业2023年净利润的标准差为10，估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）估计该地区中小型企业2023年净利润的众数为85、平均数85；（2）925家．【分析】（1）根据众数和平均数的定义求解；（2）由题意可知，以平均数为中心，2倍标准差的范围为65～105之间，再结合频率分布直方图求解．【解答】解：（1）记这80家企业2023年销售额的众数、平均数分别为m、，由频率分布直方图可得m＝＝85，＝65×0.1+75×0.15+85×0.45+95×0.25+105×0.05＝85，所以估计该地区中小型企业2023年净利润的众数为85、平均数85；（2）由题意可知，以平均数为中心，2倍标准差的范围为65～105之间，估计该地区企业净利润在65～105之间的概率为1﹣0.01×5﹣0.005×5＝0.925，所以0.925×1000＝925（家），估计该地区有925家企业在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．17．（15分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，AB＝BC＝4，AA1＝2．（1）证明：BD1∥平面EDC1；（2）设平面α∥平面EDC1，且B∈α，在图中作出α与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线围成图形的面积．【考点】直线与平面平行．【答案】（1）证明过程见详解；（2）BM，D1M，D1F，BF为截面长方体表面的交线，且截面的面积为12．【分析】（1）连接DC1交CD1于O，连接OE，由题意OE∥BD1，进而可证得结论；（2）取B1C1的中点M，AD的中点F，可得平面α与长方体的表面的交线．【解答】（1）证明：连接DC1交CD1于O，连接OE，由题意可得O为D1C的中点，E为BC的中点，所以EO为△BD1C1的中位线，所以OE∥BD1，又因为OE⊂平面DEC1，BD1⊄平面DEC1，所以BD1∥平面DEC1；（2）解：取B1C1的中点M，AD的中点F，连接BM，D1M，D1F，BF，则BM，D1M，D1F，BF为截面长方体表面的交线，交线围成平行四边形BMD1F，因为AB＝BC＝4，AA1＝2，可得BM＝2，D1M＝2，，所以，，所以四边形BMD1F的面积为．18．（17分）已知函数（a＞0且a≠1）．（1）讨论f（x）的单调性（不需证明）；（2）若a＝2，（i）解不等式f（x）≤；（ii）若g（x）＝22x+1﹣f（2x）+2tf（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣，求t的值．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值．【答案】（1）若a＞1，则在R上单调递增；若0＜a＜1，则在R上单调递减；（2）（i）（﹣∞，﹣1]∪（0，1]；（ii）t＝﹣2或t＝2．【分析】（1）结合指数函数的单调性对a进行分类讨论即可求；（2）（i）当a＝2时，可化为，结合不等式特点构造函数，判断g（x）的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解；（ii）求出g（x），结合g（x）的特点进行换元，转化为求解二次函数闭区间上的最值，结合二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）若a＞1，则在R上单调递增；若0＜a＜1，则在R上单调递减；（2）（i）当a＝2时，，即，设，则g（1）＝0，g（﹣x）＝﹣g（x），所以g（x）为奇函数，当x＞0时，g（x）单调递增，由g（x）≤g（1），解得0＜x≤1，根据奇函数的性质，当x＜0时，g（x）≤g（1）的解为x≤﹣1，综上所述，的解集为（﹣∞，﹣1]∪（0，1]；（ii）g（x）＝22x+1﹣f（2x）+2tf（x）＝22x+2﹣2x+2t（2x﹣2﹣x），令2x﹣2﹣x＝m，因为x∈[﹣1，1]，则，所以g（x）＝h（m）＝m2+2tm+2，其图象为开口向上，对称轴为m＝﹣t的抛物线，当，即时，，解得t＝2．当，即时，，解得，矛盾．当，即时，，解得t＝﹣2．综上所述，t＝﹣2或t＝2．19．（17分）平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则P（A）＝．大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）逐渐稳定于事件A发生的