2023-2024学年云南省昆明市五华区云南师大附中高二(上)开学数学试卷

2023-2024学年云南省昆明市五华区云南师大附中高二（上）开学数学试卷一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3，4}，∁RB＝{x|x＜0或x＞3}，则A∩B＝（）A．∅ B．{﹣3，﹣1，0，4} C．{2，3} D．{0，1，2，3}2．（5分）设m∈R，命题“若m≤0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2+x﹣m＝0没有实根，则m＞0 C．若方程x2+x﹣m＝0有实根，则m≤0 D．若方程x2+x﹣m＝0没有实根，则m≤03．（5分）设a＝log827，b＝log0.50.2，c＝log424，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a4．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件5．（5分）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（）A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是1100π C．圆台的高是 D．圆台的体积是6．（5分）如图所示，为了测量湖中A、B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于北偏西15°，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于北偏西60°方向，则A，B两亭子间的距离为（）A．米 B．米 C．米 D．米7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知P（3，﹣4，1），且平面OAB的法向量为，则P到平面OAB的距离等于（）A． B．4 C． D．8．（5分）已知直线l过点P（1，3，1），且方向向量为，则点A（1，﹣1，﹣1）到l的距离为（）A． B．4 C． D．3二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则＝（）A． B． C． D．（多选）10．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1D1，AA1，CD的中点，则（）A． B．B1G⊥平面BEF C．EF⊥BF D．点B1到平面BEF的距离为（多选）11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（）A．BD1∥平面ACE B．BD1⊥AB1 C．若正方体的棱长为1，则点B到平面ACE的距离为 D．直线AD与平面ACE所成角的正弦值为（多选）12．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，sinB＝2sinC，有以下四个命题中正确的是（）A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC面积的最大值为 C．当A＝2C时，△ABC的周长为 D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知z1为复数，且|z1|＝2，则|z1+2i|的最大值为．14．（5分）已知tanα＝，则sin（2α+）﹣2sin（π﹣α）cos（π+α）＝．15．（5分）在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点．若AP∥平面BEF，则AP与平面A1B1C1D1成角的正弦值的取值范围是．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；x2x﹣f（x）（2）求f（﹣x+）的单调递增区间．18．（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布．（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值c＝99，从样本中该医学指标在[95，105]上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PA⊥面ABCD，PA＝，E，F分别为BC，PA的中点．（I）求证：BF∥面PDE；（Ⅱ）求二面角D﹣PE﹣A的大小的正弦值；（Ⅲ）求点C到面PDE的距离．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝2，2AD＝3CD．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）求△ABC的面积．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcosC＝2a+c．（1）求角B的大小；（2）若，D为AC边上的一点，BD＝1，且_____，求△ABC的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）22．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC＝3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．

2023-2024学年云南省昆明市五华区云南师大附中高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3，4}，∁RB＝{x|x＜0或x＞3}，则A∩B＝（）A．∅ B．{﹣3，﹣1，0，4} C．{2，3} D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【答案】D【分析】先由∁RB求出集合B，再利用集合的交集运算求解．【解答】解：∵∁RB＝{x|x＜0或x＞3}，∴B＝{x|0≤x≤3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，故选：D．2．（5分）设m∈R，命题“若m≤0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2+x﹣m＝0没有实根，则m＞0 C．若方程x2+x﹣m＝0有实根，则m≤0 D．若方程x2+x﹣m＝0没有实根，则m≤0【考点】四种命题的真假关系．【答案】B【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可．【解答】解：交换条件和结论，同时进行否定得命题的逆否命题为：若方程x2+x﹣m＝0没有实根，则m＞0，故选：B．3．（5分）设a＝log827，b＝log0.50.2，c＝log424，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【答案】C【分析】先利用对数的运算法则把a，b，c化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解．【解答】解：，b＝log0.50.2＝﹣log20.2＝log25，，因为y＝log2x在定义域上是增函数，且，故a＜c＜b．故选：C．4．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】正弦定理；充分条件与必要条件．【答案】A【分析】利用倍角公式、正弦定理即可判断出结论．【解答】解：A，B∈（0，π）．cos2A＜cos2B⇔1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B⇔sinA＞sinB，由，等价于a＞b⇔A＞B．∴“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的充要条件．故选：A．5．（5分）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（）A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是1100π C．圆台的高是 D．圆台的体积是【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】C【分析】圆台的母线长为l，根据×360°＝180°求得圆台的母线l＝20，再利用轴截面求得圆台的高，代入圆台的侧面积、表面积、体积公式计算可得答案．【解答】解：设圆台的母线长为l，则×360°＝180°，解得l＝20，所以A正确；∴圆台的侧面积S侧面＝π（10+20）×20＝600π（cm2）；圆台的表面积S＝π×102+π×202+600π＝1100π（cm2）；所以B正确；圆台的高为＝10，所以C不正确；∴圆台的体积V＝π（100+400+10×20）×10＝π（cm3）．所以D正确．故选：C．6．（5分）如图所示，为了测量湖中A、B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于北偏西15°，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于北偏西60°方向，则A，B两亭子间的距离为（）A．米 B．米 C．米 D．米【考点】解三角形．【答案】B【分析】由条件解△BCD求BD，在△ACD中利用正弦定理解求AD，在△ABD中利用余弦定理求AB，由此可得A，B两亭子间的距离．【解答】解：由题意，可得∠ACD＝30°，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∴∠DAC＝45°，∠ADB＝60°．在等腰直角△BCD中，CD＝100，∴．在△ACD中，由正弦定理得，解得．连接AB．在△ABD中，由余弦定理可得AB2＝AD2+BD2﹣2AD⋅BDcos60°＝15000，解得，即A、B两个亭子之间的距离为米．故选：B．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知P（3，﹣4，1），且平面OAB的法向量为，则P到平面OAB的距离等于（）A． B．4 C． D．【考点】点、线、面间的距离计算；平面的法向量．【答案】C【分析】根据向量法计算，可得求解．【解答】解：∵P（3，﹣4，1），O（0，0，0），∴，又易知平面OAB的法向量为，∴点P到平面OAB的距离．故选：C．8．（5分）已知直线l过点P（1，3，1），且方向向量为，则点A（1，﹣1，﹣1）到l的距离为（）A． B．4 C． D．3【考点】点、线、面间的距离计算；点到直线的距离公式．【答案】A【分析】根据直线l一个方向向量为，取直线1的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．【解答】解：∵直线l的一个方向向量为，取直线l一个单位方向向量为，又A（1，﹣1，﹣1）为直线外一点，且直线l过点P（1，3，1），∴，∴，，∴点A到直线l的距离为，故选：A．二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量的基本定理．【答案】CD【分析】由题意，选定和作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，将和用基底表示出来，比较系数即可求得．【解答】解：设，，因为F是线段EH的中点，则有＝，由，可得，设＝t（）＝t（）＝t+＝，则由平面向量基本定理可得，解得λ＝2μ，又E，G，H三点共线，故可设＝mλ+（1﹣m）μ，设，由C为AD中点可知，∴，将λ＝2μ代入可得m＝，即．又＝，＝，，设＝x+y，则有＝x（）+y，即，解得x＝，y＝，故＝．故选：CD．（多选）10．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1D1，AA1，CD的中点，则（）A． B．B1G⊥平面BEF C．EF⊥BF D．点B1到平面BEF的距离为【考点】点、线、面间的距离计算；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】ABD【分析】建系，根据向量的数量积的坐标运算，向量垂直垂线的性质，线面垂直的判定定理，向量法求解点面距，即可分别求解．【解答】解：建系如图，则根据题意可得：B（0，0，0），E（1，2，2），F（0，2，1），G（2，1，0），B1（0，0，2），∴，，，，对A选项，∵，∴A选项正确；对B选项，∵，，∴B1G⊥BE，B1G⊥BF，又BE∩BF＝B，∴B1G⊥平面BEF，∴B选项正确；对C选项，∵≠0，∴EF与BF不垂直，∴C选错误；对D选项，∵，又由B选项分析可得：平面BEF的法向量为，∴点B1到平面BEF的距离为：＝＝＝，∴D选项正确，故选：ABD．（多选）11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（）A．BD1∥平面ACE B．BD1⊥AB1 C．若正方体的棱长为1，则点B到平面ACE的距离为 D．直线AD与平面ACE所成角的正弦值为【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【答案】ABC【分析】根据正方体的性质，结合每个选项的已知条件分别判断即可．【解答】解：对于A：连接BD交AC于O，则O为BD的中点，∵E为DD1的中点，∴BD1∥OE，∵OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE，故A正确，对于B：连接A1B，AB1，易证A1D1⊥平面ABB1A1，∵AB1⊂平面ABB1A1，∴A1D1⊥AB1，由正方形ABB1A1，可得AB1⊥BA1，又BA1∩A1D1＝A1，∴BA1⊥平面CBA1D1，又B1D⊂平面CBA1D1，∴BD1⊥AB1，对于C：设点B到平面ACE的距离为d，由VB﹣ACE＝VE﹣ABC，得××AB×BC×DE＝××AC×OE×d，∴××1×1×＝××××d，解得d＝，故C正确；对于D：设正方体的棱长为1，因O是BD的中点，由C可知D到平面ACE的距离为，设直线AD与平面ACE所成角为θ，∴sinθ＝＝，故D错误．故选：ABC．（多选）12．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，sinB＝2sinC，有以下四个命题中正确的是（）A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC面积的最大值为 C．当A＝2C时，△ABC的周长为 D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为【考点】命题的真假判断与应用．【答案】BCD【分析】考虑勾股定理的逆定理，即可判断，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；运用正弦定理可得b＝2c，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积．【解答】解：A：∵a＝2，sinB＝2sinC即b＝2c，设b＝2t，c＝t，由4+t2＝4t2，可得t＝，满足条件的△ABC可能是直角三角形，故A错误；B：以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，可得B（﹣1，0），C（1，0），∵sinB＝2sinC，可得b＝2c，设A（m，n），可得＝2，化简得m2+n2+m+1＝0，化为（m+）2+n2＝（）2，则A的轨迹为以（﹣，0），半径为的圆，可得△ABC的面积的最大值为×2×＝，故B对；C：∵a＝2，sinB＝2sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，由正弦定理可得：b＝2c，由＝，可得：＝＝，由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝2，解得：cos2C＝，故cosC＝，sinC＝＝，可得sinA＝2sinCcosC＝2××＝，由＝可得：c＝，b＝，则a+b+c＝2+2，故C对；D：S△ABC＝bcsinA＝×××＝设△ABC的内切圆半径为R，则R＝＝＝，S△ABO＝cR＝××＝．故D对．故选：BCD．三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知z1为复数，且|z1|＝2，则|z1+2i|的最大值为4．【考点】复数的模．【答案】4．【分析】由题意，设z1＝a+bi（a，b∈R），得到a2+b2＝4，则，利用复数的模的几何意义，即可得解．【解答】解：由题意设z1＝a+bi（a，b∈R），则z1+2i＝a+bi+2i＝a+（b+2）i，∵|z1|＝2，∴，即a2+b2＝4，即|z1|的模的轨迹可理解为以（0，0）为圆心，半径为2的圆．则，可理解为求点（a，b）到点（0，﹣2）之间的距离，故|z1+2i|的最大值为4．故答案为：4．14．（5分）已知tanα＝，则sin（2α+）﹣2sin（π﹣α）cos（π+α）＝．【考点】运用诱导公式化简求值．【答案】．【分析】利用诱导公式化简sin（2α+）﹣2sin（π﹣α）cos（π+α）＝cos2α+2sinαcosα，再转化为关于tanα的式子，利用tanα＝计算可得答案．【解答】解：∵tanα＝，∴sin（2α+）﹣2sin（π﹣α）cos（π+α）＝cos2α+2sinαcosα＝＝＝＝，故答案为：．15．（5分）在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为．【考点】正弦定理；向量的概念与向量的模；向量的加法．【答案】见试题解答内容【分析】形如的向量是模等于1的单位向量．本题的向量等式的左边是两个单位向量的和，右边是和平行四边形ABCD对角线BD共线且长度等于的向量，根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，由余弦定理可求得∠DAB，从而可得四边形ABCD的面积．【解答】解：∵向量的模等于1，因而向量是单位向量，∴向量、和都是单位向量，∵，∴ABCD为平行四边形，∵，∴由向量，为邻边构成的四边形是菱形，BD在∠ABC的平分线上，又，∴||＝，对角线BD等于边长的倍，设向量、的夹角为θ，在△ABD中，所以cosθ＝＝﹣，故∠DAB＝，∴SABCD＝××××2＝．故答案为：．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点．若AP∥平面BEF，则AP与平面A1B1C1D1成角的正弦值的取值范围是[，]．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．【答案】[，]【分析】分别取A1D1的中点N，A1B1的中点M，连接AM，AN，MN，分别证明AN∥平面BEF，MN∥平面BEF，进而知平面AMN∥平面BEF，于是有点P∈MN，设AP与平面A1B1C1D1所成角为θ，由sinθ＝，求出线段AP的取值范围，即可得解．【解答】解：分别取A1D1的中点N，A1B1的中点M，连接AM，AN，MN，因为E，N分别为B1C1，A1D1的中点，所以AN∥BE，又AN⊄平面BEF，BE⊂平面BEF，所以AN∥平面BEF，因为E，F分别为B1C1，C1D1的中点，所以EF∥B1D1，同理可知MN∥B1D1，所以MN∥EF，又MN⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以MN∥平面BEF，因为AN∩MN＝N，AN，MN⊂平面AMN，所以平面AMN∥平面BEF，因为P是底面A1B1C1D1上一点，且AP∥平面BEF，所以点P∈MN，在等腰△AMN中，AP∈[]，设AP与平面A1B1C1D1所成角为θ，则sinθ＝＝∈[，]．故答案为：[，]．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；x2x﹣f（x）（2）求f（﹣x+）的单调递增区间．【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．【答案】（1）答案见解析：（2）[kπ+，kπ+]，k∈Z．【分析】（1）分别令，，π，，2π，列表可得函数图象；（2）先将f（﹣x+）表示出来，对应y＝cosx的单调性来求即可．【解答】解：（1）分别令，，π，，2π，可得：x0π2πf（x）010﹣10画出在一个周期的图像如图所示：（2）f（﹣x+）＝sin[2（﹣x+）﹣]＝sin（﹣2x+）＝﹣sin（2x﹣），若求单调递增区间，需满足2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，则f（﹣x+）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．18．（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布．（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值c＝99，从样本中该医学指标在[95，105]上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【答案】（1）c＝97.5，q（c）＝3.5%；（2）．【分析】（1）由图1，根据漏诊率p（c）＝0.5%列式求出c，再由图2求出误诊率q（c）；（2）根据图2求出100个未患病者中，该项医学指标在[95，105]中的人数以及被误诊者的人数，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果．【解答】解：（1）依题可知，图1第一个小矩形的面积为5×0.002＞0.5%，所以95＜c＜100，所以（c﹣95）×0.002＝0.5%，解得c＝97.5，q（c）＝0.01×（100﹣97.5）+5×0.002＝0.035＝3.5%．（2）由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在[95，105]中的有100×（0.010+0.002）×5＝6人，其中被误诊者有100×（100﹣99）×0.01+100×5×0.002＝2人，记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A．分别用a，b，c，d，E，F表示这6人，E，F代表被误诊的2人，样本空间Ω＝{ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF}，事件A＝{aE，aF，bE，bF，cE，cF，dE，dF}，故n（Ω）＝15，n（A）＝8，，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PA⊥面ABCD，PA＝，E，F分别为BC，PA的中点．（I）求证：BF∥面PDE；（Ⅱ）求二面角D﹣PE﹣A的大小的正弦值；（Ⅲ）求点C到面PDE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）取PD中点G，连结GF，由已知得四边形BEGF是平行四边形，从而BF∥EG，由此能证明BF∥面PDE．（Ⅱ）作DH⊥AE于H点，作HI⊥PE于I点，连DI，由三垂线定理得∠DIH是二面角D﹣PE﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣PE﹣A的大小的正弦值．（Ⅲ）以A为原点，AD为x轴，在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到面PDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取PD中点G，连结GF，∵E，F分别为BC，PA的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，∴GFBE，∴四边形BEGF是平行四边形，∴BF∥EG，∵BF⊄平面PDE，EG⊂平面PDE，∴BF∥面PDE．（Ⅱ）解：作DH⊥AE于H点，作HI⊥PE于I点，连DI．∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PA⊥面ABCD，PA＝，∴DH⊥平面PAE，∴由三垂线定理得∠DIH是二面角D﹣PE﹣A的平面角，AE＝＝＝，DE＝＝＝，∴cos∠AED＝＝，∴sin∠AED＝＝，∴S△AED＝＝，∴DH＝＝，PD＝＝＝，PE＝＝＝，cos∠PED＝＝，sin∠PED＝＝，S△PED＝＝，DI＝＝，∴，∴二面角D﹣PE﹣A的大小的正弦值为．（Ⅲ）解：以A为原点，AD为x轴，在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），D（2，0，0），E（2，，0），C（3，，0），＝（2，0，﹣），＝（2，，﹣），＝（3，，﹣），设平面PDE的法向量＝（x，y，z），则，取z＝2，得，∴点C到面PDE的距离：d＝＝＝．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝2，2AD＝3CD．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知等式可得cos＝，结合角的范围可求，进而可求B的值．（Ⅱ）利用三角形角平分线的性质可得3a＝2c，①，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinA的值，在△ABD中，由正弦定理得AD，可得b的值，在△ABC中，由余弦定理得（）2＝a2+c2+ac，②，由①②解得a，c的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴acos＝asin＝bsinA，∴由正弦定理可得sinAsin＝sinBsinA＝2sincossinA，∵A，B∈（0，π），可得∈（0，），sinA＞0，∴cos＝，可得＝，∴可得B＝．（Ⅱ）∵BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝2，2AD＝3CD，即＝，即3a＝2c，①∴＝＝，可得tanA＝，可得sinA＝，∴在△ABD中，由正弦定理，可得AD＝＝＝，可得CD＝，∴可得b＝AD+CD＝，∴在△ABC中，由余弦定理可b2＝a2+c2﹣2accosB，得（）2＝a2+c2+ac，②∴由①②解得a＝，c＝5，∴S△ABC＝acsinB＝＝．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcosC＝2a+c．（1）求角B的大小；（2）若，D为AC边上的一点，BD＝1，且_____，求△ABC的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．【答案】（1）B＝π；（2）△ABC的面积为．【分析】（1）由题意和正弦定理及三角形中角的关系可得B角的余弦值，进而求出B角的大小；（2）若选①由角平分线及BD的值，可得S△ABC＝S△ABD+S△BCD，两边整理可得a，c的关系，再由△ABC中余弦定理可得a，c的关系，两式联立，进而求出ac的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积；若选②由题意可得向量的关系，两边平方可得a，c的关系，再由余弦定理a，c的关系，两式联立求出ac的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积．【解答】解：（1）因为2bcosC＝2a+c，由正弦定理知，2sinBcosC＝2sinA+sinC，在三角形中，∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC