2023-2024学年浙江省强基联盟高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年浙江省强基联盟高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x∈N|x2＜11}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2}2．（5分）双曲线E：x2A．y=±14x B．y=±12x C．y＝±23．（5分）已知向量a→=（1，2），b→=（3，m），若a→A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．64．（5分）i为虚数单位，则1+i+i2+i3+⋯+i2024＝（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．15．（5分）已知正数x，y满足x+y＝2，则x2+y2﹣xy的取值范围是（）A．[1，4] B．[0，4] C．[1，4） D．[1，3）6．（5分）圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A．10π B．20π C．8π D．16π7．（5分）对于数列{an}，设甲：{an}为等差数列，乙：a1+（n﹣1）an+1＝nan，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（5分）袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为S，编号之积为T，则下列说法正确的是（）A．S是3的倍数的概率为0.4 B．S是3的倍数的概率为0.6 C．T是3的倍数的概率为0.2 D．T是3的倍数的概率为0.8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要（多选）9．（6分）若直线y＝kx与圆（x﹣2）2+（y+1）2＝9相交于A，B两点，则|AB|的长度可能等于（）A．3 B．4 C．5 D．6（多选）10．（6分）已知α，β∈R，则下列等式成立的是（）A．cos（α+β）•cos（α﹣β）＝cos2α﹣cos2β B．cos（α+β）•cos（α﹣β）＝cos2α﹣sin2β C．sin（α+β）•sin（α﹣β）＝cos2α﹣sin2β D．sin（α+β）•sin（α﹣β）＝sin2α﹣sin2β（多选）11．（6分）下列定义在（0，+∞）上的函数f（x）中，满足∀x∈（0，+∞），f(x)+f(1A．f(x)=x B．f(x)=C．f（x）＝cosπx D．f（x）＝ex三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（x+2y）5的展开式中含x3y2项的系数为．13．（5分）如图，已知过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣a，0）作直线l交y轴于点P14．（5分）若不等式xy+y2+z2≥k（x+y）z对任意满足y+z≥x的正实数x，y，z均成立，则实数k的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝x2g（x）＝ex．（1）求函数y＝f（x）+g（x）在x＝0处的切线方程；（2）求函数y=f(x)16．（15分）已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；（2）记摸球的次数为随机变量X，求X的分布列和期望．17．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为侧棱BB1的中点．（1）求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1；（2）若AA1＝A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的大小．18．（17分）如图，抛物线P：y2＝2px（p＞0），M（2，1）是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1，l2，设l1与抛物线Γ相交于点A，B，l2与抛物线P相交于点C，D，当M恰好为线段AB的中点时，|AB|＝26．（1）求抛物线Γ的方程；（2）求AC→19．（17分）对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得m＝an+b，其中a∈N，0≤b＜n，b∈N，我们记a＝D（m，n），b＝M（m，n）．对任意正整数i，定义i的生成数列为{T（i）n}，其中T（i）n=M(i，（1）求D（2024，9）和M（2024，9）．（2）求{T（100）n}的前3项．（3）存在n0，使得T(i)n0≠0，且对任意n＞n0，T（i）n＝0成立．考虑当T(i定义数列{T（i）n}的变换数列{T'（i）n}的通项公式为T′(i当T(i定义数列{T（x）n}的变换数列T'（t）n}的通项公式为T′(i若数列{T'（i）n}和数列{T（j）n}相同，则定义函数f（i）＝j，其中函数f（i）的定义域为正整数集．（Ⅰ）求证：函数f（i）是增函数．（Ⅱ）求证：f（f（i））＝3i．

2023-2024学年浙江省强基联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x∈N|x2＜11}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2}【考点】求集合的交集．【答案】B【分析】解出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．【解答】解：A＝{x||x|＜3}＝（﹣3，3），B＝{x∈N|x2＜11}＝{0，1，2，3}，故A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．（5分）双曲线E：x2A．y=±14x B．y=±12x C．y＝±2【考点】求双曲线的渐近线方程．【答案】C【分析】根据双曲线渐近线方程即可计算．【解答】解：由双曲线的方程可得a2＝9，b2＝36，∴a＝3，b＝6，∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x．所以选：C．3．（5分）已知向量a→=（1，2），b→=（3，m），若a→A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】A【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：向量a→=（1，2），b→则a→a→⊥（a则4×1+2（m+2）＝0，解得m＝﹣4．故选：A．4．（5分）i为虚数单位，则1+i+i2+i3+⋯+i2024＝（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】D【分析】由已知结合复数的四则运算及等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：因为1+i+i2+i3+⋯+i2024=1−故选：D．5．（5分）已知正数x，y满足x+y＝2，则x2+y2﹣xy的取值范围是（）A．[1，4] B．[0，4] C．[1，4） D．[1，3）【考点】基本不等式及其应用．【答案】C【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：因为0＜xy≤(x+y所以x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy＝4﹣3xy∈[1，4），故x2+y2﹣xy的取值范围是[1，4）．故选：C．6．（5分）圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A．10π B．20π C．8π D．16π【考点】圆台的侧面积和表面积．【答案】D【分析】根据题意，求出圆台的上、下底面的半径，由圆台的侧面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，则该圆台的上、下底面的半径分别为1和3，又由其母线长为4，则圆台的侧面积为S=2π×(1+3)故选：D．7．（5分）对于数列{an}，设甲：{an}为等差数列，乙：a1+（n﹣1）an+1＝nan，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】等差数列的性质；充分条件与必要条件．【答案】C【分析】根据已知条件，依次判断充分性、必要性，即可求解．【解答】解：若{an}是等差数列，则a1+（n﹣1）an+1＝a1+（n﹣1）（a1+nd）＝na1+n（n﹣1）d＝nan，充分性成立，若a1+（n﹣1）an+1＝nan，则a1+nan+2＝（n+1）an+1，两式相减得nan+2＝（n﹣1）an+1＝（n+1）an+1﹣nan，即nan+2+nan＝2nan+1，所以{an}是等差数列，必要性成立．故选：C．8．（5分）袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为S，编号之积为T，则下列说法正确的是（）A．S是3的倍数的概率为0.4 B．S是3的倍数的概率为0.6 C．T是3的倍数的概率为0.2 D．T是3的倍数的概率为0.8【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】A【分析】利用古典概率、列举法求解．【解答】解：首先n(Ω)=CS是3的倍数的情况包括{3，4，5}，{2，3，4}，{1，3，5}，{1，2，3}，所以概率为p=410=0.4，故AT是3的倍数的情况数为C1所以概率为P=610=故选：A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要（多选）9．（6分）若直线y＝kx与圆（x﹣2）2+（y+1）2＝9相交于A，B两点，则|AB|的长度可能等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】直线与圆的位置关系．【答案】BCD【分析】因为直线y＝kx经过原点O（0，0），圆（x﹣2）2+（y+1）2＝9的圆心为C（2，﹣1），所以当直线与OC垂直时，直线被圆截得的弦最短，直线经过圆心时，直线被圆截得的弦最长，由此算出弦长的取值范围，进而可得正确答案．【解答】解：根据题意，可得直线y＝kx经过原点O（0，0），圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝9，圆心为C（2，﹣1），半径r＝3．当直线经过点C时，直线被圆截得的弦长为圆的直径2r＝6，此时弦长达到最大值；|OC|=22+直线被圆截得的弦长为2r综上所述，直线y＝kx被圆C截得弦长的取值范围是[4，6]，对照各项，可知BCD符合题意．故选：BCD．（多选）10．（6分）已知α，β∈R，则下列等式成立的是（）A．cos（α+β）•cos（α﹣β）＝cos2α﹣cos2β B．cos（α+β）•cos（α﹣β）＝cos2α﹣sin2β C．sin（α+β）•sin（α﹣β）＝cos2α﹣sin2β D．sin（α+β）•sin（α﹣β）＝sin2α﹣sin2β【考点】两角和与差的三角函数．【答案】BD【分析】对于A，取α＝0，即可判断；对于C，取β＝0，即可判断；对于B，利用两角和与差的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解；对于D，利用两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：对于A，取α＝0，左边＝cos2β，右边＝1﹣cos2β，故错误；对于C，取β＝0，左边＝sin2α≠cos2α＝右边，故错误；对于B，左边＝（cosαcosβ﹣sinαsinβ）（cosαcosβ+sinαsinβ）＝cos2αcos2β﹣sin2αsin2β＝（1﹣sin2α）（1﹣sin2β）﹣sin2αsin2β＝1﹣sin2β﹣sin2α+sin2βsin2α﹣sin2αsin2β＝1﹣sin2β﹣sin2α＝cos2β﹣sin2α＝右边，故正确；对于D，左边＝（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ﹣cosαsinβ）＝sin2αcos2β﹣cos2αsin2β＝（1﹣cos2α）（1﹣sin2β）﹣cos2αsin2β＝1﹣sin2β﹣cos2α+sin2βcos2α﹣cos2αsin2β＝1﹣sin2β﹣cos2α＝sin2α﹣sin2β＝右边，故正确．故选：BD．（多选）11．（6分）下列定义在（0，+∞）上的函数f（x）中，满足∀x∈（0，+∞），f(x)+f(1A．f(x)=x B．f(x)=C．f（x）＝cosπx D．f（x）＝ex【考点】抽象函数的周期性．【答案】ACD【分析】利用函数性质与基本不等式判断A，B，D；利用余弦函数的性质判断C．【解答】解：对于A，f(x)=x，则f(x)+f(1x对于B，f(x)=x1+x当且仅当x＝1时，等号成立，不满足条件；对于C，f（x）＝cosπx，f（x）min＝﹣1＝f（1），所以f(x)+f(1对于D，f（x）＝ex，因为x∈（0，+∞），所以x+1x≥2所以f(x)+f(1x)=故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（x+2y）5的展开式中含x3y2项的系数为40．【考点】二项式定理．【答案】40．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令r＝2，可得含x3y2的项的系数【解答】解：二项式（x+2y）5的展开式的通项为Tr+1＝2rC5rx5﹣ryr，令r＝2，可得含x3y2的项的系数是22C52＝40．故答案为：40．13．（5分）如图，已知过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣a，0）作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q【考点】椭圆的几何特征．【答案】见试题解答内容【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A（﹣a，0）∴P（0，a）．设Q（x0，y0），∵PQ→=2QA→，∴（x0，y0﹣a）＝2（﹣a﹣x0∴x0=−2a−2x代入椭圆方程得49a2∴e=c故答案为2514．（5分）若不等式xy+y2+z2≥k（x+y）z对任意满足y+z≥x的正实数x，y，z均成立，则实数k的最大值为2−1【考点】基本不等式及其应用．【答案】2−【分析】由已知不等恒成立先分离参数，然后结合基本不等式可求．【解答】解：因为不等式xy+y2+z2≥k（x+y）z对任意满足y+z≥x的正实数x，y，z均成立，所以k≤y(x+y)+因为2y+z2z+z2y+z≥22y+z所以yz故答案为：2−四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝x2g（x）＝ex．（1）求函数y＝f（x）+g（x）在x＝0处的切线方程；（2）求函数y=f(x)【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）y＝x+1；（2）单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（﹣∞，0），（2，+∞）．极小值为0，极大值为4e【分析】（1）求出函数y＝f（x）+g（x）解析式，求导，求出切点及切线斜率，从而可得切线方程；（2）求出函数y=f(x)【解答】解：（1）函数y＝ex+x2，导函数y'＝ex+2x，当x＝0时，y＝1，y'＝1，则切点为（0，1），切线斜率为1，所以切线方程为y＝x+1．（2）函数y=x2e当x＜0或x＞2时，y′＜0，当0＜x＜2时，y′＞0，所以函数y=x所以当x＝0时，函数y=x2ex取得极小值为0，当x＝2时，函数16．（15分）已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；（2）记摸球的次数为随机变量X，求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）16（2）分布列见解析，E（X）=5【分析】（1）由题当且仅当前两次摸到2个黑球即可满足题意，然后结合题目所给数据即可求解；（2）由题，X的所有可能取值为1，2，3，然后结合题意求出每个取值对应的概率即可得解．【解答】解：（1）由题当且仅当前两次摸到2个黑球即可停止，故所求概率为P=C（2）由题，X的所有可能取值为1，2，3，则P(X=1)=2P(X=2)=2P(X=3)=1所以X的分布列为：X123P121316则E(X)=1×117．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为侧棱BB1的中点．（1）求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1；（2）若AA1＝A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解答；（2）45°．【分析】（1）连接AC1，交A1C于点M，再连接EM，可证EM⊥平面ACC1A1，由面面垂直的判定定理即可证得结论；（2）可判定C1A→为平面A1EC的一个法向量，C1C→为平面A【解答】（1）证明：连接AC1，交A1C于点M，再连接EM，则M为A1C的中点，因为E为BB1的中点，所以A1E＝CE，所以EM⊥A1C，同理可证EM⊥AC1，又因为AC1∩A1C＝M，AC1，A1C⊂平面ACC1A1，所以EM⊥平面ACC1A1，又EM⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1；（2）解：由（1）知，EM⊥A1C，A1C⊥AC1，EM∩A1C＝M，EM，A1C⊂平面A1EC，故AC1⊥平面A1EC，即C1A→为平面A又C1C→显然为平面A1B1由AA1＝A1B1可知，＜C由图可知，平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角为锐二面角，所以平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的大小为45°．18．（17分）如图，抛物线P：y2＝2px（p＞0），M（2，1）是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1，l2，设l1与抛物线Γ相交于点A，B，l2与抛物线P相交于点C，D，当M恰好为线段AB的中点时，|AB|＝26．（1）求抛物线Γ的方程；（2）求AC→【考点】抛物线与平面向量．【答案】（1）y2＝2x；（2）12．【分析】（1）设直线AB：x﹣2＝m（y﹣1），联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理结合弦长公式列方程求得p值即可；（2）根据平面向量的数量积运算，结合弦长公式及基本不等式，即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，设直线AB：x﹣2＝m（y﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立x−2=m(y−1)y2=2px，得y2﹣2pmy+2pm所以y1+y2＝2pm，y1y2＝2pm﹣4p，又因为M（2，1）是线段AB中点，所以y1故|AB|=(1+代入化简得（p﹣1）（4p2﹣3p+1）＝0，解得p＝1，故抛物线Γ的方程为y2＝2x；（2）由题意，AC=−MC因为||＝（1+m2）|y1y2﹣（y1+y2）+1|＝3（1+m2），同理可得|MC所以AC→当且仅当m＝±1时，等号成立，即AC→19．（17分）对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得m＝an+b，其中a∈N，0≤b＜n，b∈N，我们记a＝D（m，n），b＝M（m，n）．对任意正整数i，定义i的生成数列为{T（i）n}，其中T（i）n=M(i，（1）求D（2024，9）和M（2024，9）．（2）求{T（100）n}的前3项．（3）存在n0，使得T(i)n0≠0，且对任意n＞n0，T（i）n＝0成立．考虑当T(i定义数列{T（i）n}的变换数列{T'（i）n}的通项公式为T′(i当T(i定义数列{T（x）n}的变换数列T'（t）n}的通项公式为T′(i若数列{T'（i）n}和数列{T（j）n}相同，则定义函数f（i）＝j，其中函数f（i）的定义域为正整数集．（Ⅰ）求证：函数f（i）是增函数．（Ⅱ）求证：f（f（i））＝3i．【考点】数列的应用；数列的求和．【答案】（1）D（2024，9）＝224，M（2024，9）＝8．（2）1，0，2．（3）证明过程见解答．【分析】（1）由2024＝224×9+8，利用新定义能求出D（2024，9），M（2024，9）．（2）利用新定义能求出{T（100）n}的前3项．（3）（Ⅰ）对任意正整数i，总有M（i，1）＝0，且一定存在H2，使得3x0−1＞i，当n＞n0时，T（i）m＝0．由0≤M（i，3n）＜3n，得D（M（x，3°）3n﹣1）＜D（3n，3”﹣1）＝3，推导出T(i)n=D(M(d，3°)，3n−1)∈{0，1，2}，i＝M（i，3°）＝3%﹣T（i）+3°﹣2T（i）﹣+…+3T（i）+T（i）．{T（i1）u}和{T（i2）n}的变换数列分别为{T（j1）n}和（T（j2）m}，且i1＜i2，数列（T（G1）n}满足T（i1）n≠0，且当n＞n1时，T（i1）n＝0，数列{T（i2）8}满足T（i2）nan≠0，且当n＞n2时，T（Ⅱ）若数列{T（x）n}的变换数列为{T（j）n}，数列{T（j）n}的变换数列为{T（k）n}．即证k＝3i．数列{T（x）n}满足T（i）n≠0，且当n＞n0时，T（x）n＝0．由此能证明f（f（i））＝3i．【解答】解：（1）对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得m＝an+b，其中a∈N，0≤b＜n，b∈N，记a＝D（m，n），b＝M（m，n），∵2024＝224×9+8，∴D（2024，9）＝224，M（2024，9）＝8．即D（2024，9）和M（2024，9）的值分别为224和8．（2）对任意正整数i，定义i的生成数列为{T（i）n}，其中T（i）n=M(i，∴T(100)T(100)T（100）3=M(100.27)−M(100.9)∴{T（100）n}的前3项分别为1，0，2．（3）证明：（Ⅰ）存在n0，使得T(i)n0≠0，且对任意n＞n0，T（i当T(i)n0=1