2023-2024学年重庆市长寿区高一(下)期末数学试卷(b卷)

2023-2024学年重庆市长寿区高一（下）期末数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．（5分）已知复数z＝1﹣2i，则z的虚部为（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i2．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）A．45，56 B．46，45 C．47，45 D．45，473．（5分）下列常见几何体的体积公式错误的是（）A．球V＝4πR2 B．棱锥 C．棱柱V＝Sh D．棱台4．（5分）已知，则与的夹角为（）A． B． C． D．5．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，A＝30°，B＝45°，a＝1，则b＝（）A． B． C． D．6．（5分）已知圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为（）A．6π B．3π C． D．π7．（5分）已知点O在△ABC所在平面内，满足，则点O是△ABC的（）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心8．（5分）复数a+bi与c+di的积是实数的充要条件是（）A．ac﹣bd≠0 B．ac+bd＝0 C．ad+bc＝0 D．ac+bd≠09．（5分）平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A．α内有无数条直线与β平行 B．直线a∥α，a∥β C．直线a⊂α，a∥β，直线b⊂β，b∥α D．直线a⊥α，a⊥β10．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）i为虚数单位，复数＝．12．（5分）已知点O（0，0），向量，且，则点P的坐标为．13．（5分）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则恰好出现一次6点的概率是．14．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，设向量，用向量表示向量＝．15．（5分）已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为．三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）16．（15分）某班统计出一天中学生咨询物理、化学、生物问题的次数，其中咨询物理问题有30次，化学问题有20次，生物问题有10次．现用分层抽样的方法抽取，抽取的样本容量为6，再从样本中任取2次．（1）样本点用（x，y）的形式表示，写出所有的样本点；（2）求样本点中恰好抽到物理和化学各一次的概率？17．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，，且．（1）求角A；（2）若b＝3，c＝1，求边a的值．18．（15分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，AB的中点．（1）求证：EF∥平面BDD1．（2）若正方体的棱长为2，求点A到平面A1EF的距离．19．（15分）某学校从参加高一期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分．20．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC是由Rt△PAB绕着PA旋转600得到，其中PA＝AB，∠PAB＝90°．（1）求证：PA⊥平面ABC；（2）求平面PBC与平面ABC所成二面角的正切值．

2023-2024学年重庆市长寿区高一（下）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．（5分）已知复数z＝1﹣2i，则z的虚部为（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i【考点】复数的运算．【答案】C【分析】根据复数的概念判断即可．【解答】解：复数z＝1﹣2i的虚部为﹣2．故选：C．2．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）A．45，56 B．46，45 C．47，45 D．45，47【考点】茎叶图；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】B【分析】直接利用茎叶图，求出该样本的中位数、众数，即可．【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为：＝46．出现次数最多的数是45，故众数是45．故选：B．3．（5分）下列常见几何体的体积公式错误的是（）A．球V＝4πR2 B．棱锥 C．棱柱V＝Sh D．棱台【考点】棱柱的体积；棱锥的体积；棱台的体积；球的体积．【答案】A【分析】根据几何体体积公式判断即可．【解答】解：A．球的体积公式为，球的表面积公式为S＝4πR2，故A错误．B．棱锥的体积公式为，其中S为底面积，h为高，故B正确．C．棱柱的体积公式为V＝Sh，其中S为底面积，h为高，故C正确．D．棱台的体积公式为，其中S和S′为上下底面积，h为高，故D正确．故选：A．4．（5分）已知，则与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】B【分析】根据平面向量的夹角公式，算出与的夹角的余弦值，进而可得与的夹角的大小．【解答】解：设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，结合θ∈[0，π]，可得θ＝，即与的夹角为．故选：B．5．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，A＝30°，B＝45°，a＝1，则b＝（）A． B． C． D．【考点】正弦定理．【答案】A【分析】直接由正弦定理可得b的值．【解答】解：因为A＝30°，B＝45°，a＝1，由正弦定理可得＝，即＝，可得b＝．故选：A．6．（5分）已知圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为（）A．6π B．3π C． D．π【考点】圆锥的侧面积和表面积．【答案】B【分析】根据题意，先求得圆锥的母线长，再利用侧面积公式求解．【解答】解：根据题意，圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的母线长l＝＝3，则其侧面积S＝（2πr）l＝3π．故选：B．7．（5分）已知点O在△ABC所在平面内，满足，则点O是△ABC的（）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【考点】平面向量的线性运算．【答案】A【分析】直接利用向量的模和三角形的外心的概念求出结果．【解答】解：由于点O在△ABC所在平面内，满足，则点O为△ABC垂直平分线的交点，即点O为△ABC的外心．故选：A．8．（5分）复数a+bi与c+di的积是实数的充要条件是（）A．ac﹣bd≠0 B．ac+bd＝0 C．ad+bc＝0 D．ac+bd≠0【考点】复数的乘法及乘方运算．【答案】C【分析】根据复数的乘法运算法则，求解即可．【解答】解：因为（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，所以a+bi与c+di的积是实数的充要条件是ad+bc＝0．故选：C．9．（5分）平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A．α内有无数条直线与β平行 B．直线a∥α，a∥β C．直线a⊂α，a∥β，直线b⊂β，b∥α D．直线a⊥α，a⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】D【分析】根据空间中各要素的位置关系，针对各个选项分别判定即可．【解答】解：对A选项，虽然α内有无数条直线与β平行，但平面α与平面β可以成任意角，∴A选项错误；对B选项，虽然直线a∥α，a∥β，但平面α与平面β可以成任意角，∴B选项错误；对C选项，虽然直线a⊂α，a∥β，直线b⊂β，b∥α，但是a，b都与两平面的交线平行时，显然不能得到平面α与平面β平行，∴C选项错误；对D选项，∵直线a⊥α，a⊥β，∴能得到平面α与平面β平行，∴D选项正确．故选：D．10．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用夹角公式求出，即可求解异面直线的夹角．【解答】解：根据题意，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝2，P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，0，1），D（0，2，0），，2，﹣2），，﹣2，1），，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为．故选：D．二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）i为虚数单位，复数＝1+i．【考点】复数的除法运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据复数代数形式的除法法则可求．【解答】解：＝＝1+i，故答案为：1+i．12．（5分）已知点O（0，0），向量，且，则点P的坐标为（10，3）．【考点】平面向量的加法．【答案】（10，3）．【分析】根据已知条件，结合平面向量的坐标运算法则，即可求解．【解答】解：向量，＝（4，6）+（6，﹣3）＝（10，3）．故答案为：（10，3）．13．（5分）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则恰好出现一次6点的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】．【分析】由古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，两次骰子的点数的样本点共有6×6＝36个，恰好出现一次6点的样本点有1×5+5×1＝10个，故所求概率．故答案为：．14．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，设向量，用向量表示向量＝．【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【答案】．【分析】由平面向量的线性运算计算即可．【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，设AC交BD于点O，则，，因为，所以＝＝．故答案为：．15．（5分）已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为．【考点】棱台的结构特征．【答案】．【分析】构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：根据题意，如图：正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝1，上底面中心为O1，下底面中心为O，连接OO1，过点A1作A1M⊥AO，且交AO于点M，易得OO1⊥面ABCD，A1M∥OO1且A1M＝OO1，正四棱台的上、下底面正方形的对角线的一半分别为，，即，，AM＝，所以该正四棱台的高为＝．故答案为：．三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）16．（15分）某班统计出一天中学生咨询物理、化学、生物问题的次数，其中咨询物理问题有30次，化学问题有20次，生物问题有10次．现用分层抽样的方法抽取，抽取的样本容量为6，再从样本中任取2次．（1）样本点用（x，y）的形式表示，写出所有的样本点；（2）求样本点中恰好抽到物理和化学各一次的概率？【考点】古典概型及其概率计算公式；样本点与样本空间．【答案】（1）（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（a3，b1），（a3，b2），（a3，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）．（2）．【分析】（1）用分层抽样抽到咨询物理，化学，生物问题次数分别为3，2，1．设物理问题用a1，a2，a3表示，化学问题用b1，b2表示，生物问题用c表示．从样本中任取2次，利用列举法能求出所有的样本点；（2）利用列举法能求出样本点中恰好抽到物理和化学各一次的概率．【解答】解：（1）用分层抽样抽到咨询物理，化学，生物问题次数分别为3，2，1．设物理问题用a1，a2，a3表示，化学问题用b1，b2表示，生物问题用c表示．若从样本中任取2次，基本事件有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（a3，b1），（a3，b2），（a3，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c），共15种．（2）由（1）问知，恰好抽到咨询物理和化学问题各一次有6种，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），所以恰好抽到咨询物理和化学问题各一次的概率为：．17．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，，且．（1）求角A；（2）若b＝3，c＝1，求边a的值．【考点】余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意可得•的表达式，再由余弦定理可得cosA的值，由角A的范围，可得角A的大小；（2）由余弦定理直接求出a的值．【解答】解：（1）因为，，且，所以，由余弦定理可得b2+c2﹣a2＝2bccosA，所以cosA＝，因为A∈（0，π），所以；（2）b＝3，c＝1，A＝，由余弦定理得：，可得．18．（15分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，AB的中点．（1）求证：EF∥平面BDD1．（2）若正方体的棱长为2，求点A到平面A1EF的距离．【考点】空间中点到平面的距离；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解答；（2）．【分析】（1）根据面面平行的判定定理及性质，即可证明；（2）过点A作AH⊥A1F交A1F于点H，则易得AH即为所求，再解三角形，即可求解．【解答】解：（1）证明：如图，取AD的中点M，连接EM，MF，因为点M，E分别是AD，A1D1的中点，所以ME∥DD1由ME∥DD1，ME⊄平面DD1B，DD1⊂平面DD1B，ME∥平面DD1B；因为点M，F分别是AD，AB的中点，所以MF∥BD，由MF∥BD，MF⊄平面DD1B，BD⊂平面DD1B，MF∥平面DD1B，因为ME∥平面DD1B，MF∥平面DD1B，且ME∩MF＝M，所以平面MEF∥平面DD1B，又EF⊂平面MEF，所以EF∥平面DD1B；（2）过点A作AH⊥A1F交A1F于点H，则易证A1D1⊥平面A1ABB1，又AH⊂平面A1ABB1，所以A1D1⊥AH，因为A1D1⊥AH，AH⊥A1F，且A1E∩A1F＝A1，所以AH⊥平面A1EF，所以点A到平面平面A1EF的距离为AH．在RtΔA1AF中，由等面积法得：，∴，∴．19．（15分）某学校从参加高一期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）统计方法中，同一组数