2023-2024学年重庆一中高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年重庆一中高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知样本数据为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差2．（5分）已知M为双曲线x23−y2A．1 B．2 C．3 D．23．（5分）对于数列{an}，若点（n，an）都在函数y＝cqx的图象上，其中q＞0且q≠1，则“qc＞1”是“{an}为递增数列”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）A．36 B．72 C．144 D．2885．（5分）已知f(x)=13x3−x在区间（m，6﹣A．（﹣∞，5） B．（﹣2，5） C．[﹣2，5） D．（−56．（5分）互不相等的正实数x1，x2，x3，x4∈{1，2，3，4}，xi1，xi2，xi3，xi4是x1，x2，x3，x4的任意顺序排列，设随机变量X，Y满足：{X=max{min{A．E（X）＜E（Y），D（X）＞D（Y） B．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y） C．E（X）＜E（Y），D（X）＝D（Y） D．E（X）＞E（Y），D（X）＝D（Y）7．（5分）在满足2≤xi＜yi，xiyi=yixi的实数对（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）中，使得y1+y2+⋯+yA．15 B．16 C．22 D．238．（5分）某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：Z＞20的为A级，18＜Z≤20的为B级，16＜Z≤18的为C级，14＜Z≤16的为D级，Z≤14的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布N（15，9）．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（）附：P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9773A．4 B．5 C．6 D．7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）在(1−2xA．a＝3 B．展开式中的常数项为﹣32 C．展开式中x4的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为﹣242（多选）10．（6分）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：x12345y0.50.811.21.5假设经验回归方程为ŷA．b̂B．当x＝8时，y的预测值为2.2 C．样本数据y的40%分位数为0.8 D．去掉样本点（3，1）后，x与y的样本相关系数r不变（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ex•（sinx+cosx），则（）A．f（x）的零点为x=kπ−πB．f（x）的单调递增区间为[2kπ+πC．当x∈[0，π2]时，若f（x）≥kxD．当x∈[−1003π2，1005π2]时，过点(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为X，则P（X⩾3）＝．13．（5分）对于定义在非空集D上的函数f（x），若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2，有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“准单调递增函数”，若函数y＝f（x）的定义域D＝{1，2，3，4，5，6}，值域A⊆{7，8，9}，则在满足这样条件的所有函数中，y＝f（x）为“准单调递增函数”的概率是．14．（5分）已知椭圆x2a2+y2=1(a＞1)的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）数列{an}满足a1=π6，an∈(−π2，π2)，tan（1）证明：数列{tan2an}为等差数列，并求数列{tanan}的通项公式；（2）求正整数m，使得sina1•sina2…sinam=116．（15分）已知点A，B在抛物线y2＝x上．（1）若|AB|＝3，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离；（2）若点C，D在直线y＝x+4上，且满足四边形ABCD为正方形，求此正方形的面积．17．（15分）为方便起见，记一年有365天，并假设每个人的生日在365天中的任意一天都是等可能的．“生日悖论”指：在不少于23个人的群体中，至少有两人生日相同的概率大于50%．记事件Ak为“前k人中没有人生日相同”，其中k＝1，2，3…，n．（1）证明：P（An）＝P（A1）•P（A2|A1）•P（A3|A2）…P（An|An﹣1）；（2）直接写出P（Ak|Ak﹣1）的值（k＝2，3…，n），并证明：如果一个班上有不少于23人，则这个班上至少有两人生日相同的概率大于50%．附：ln2=0.693147⋯，25318．（17分）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么称d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A，B两点间的曼哈顿距离．（1）已知点N1，N2分别在直线x﹣2y＝0，2x﹣y＝0上，点M（0，2）与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d（M，N1），d（M，N2），求d（M，N1）和d（M，N2）的最小值；（2）已知点N是直线x+k2y+2k+1＝0（k＞0）上的动点，点M（0，2）与点N的曼哈顿距离d（M，N）的最小值记为f（k），求f（k）的最大值；（3）已知点M（ek，kek），点N（m，n）（k，m，n∈R，e是自然对数的底），当k≤1时，d（M，N）的最大值为f（m，n），求f（m，n）的最小值．19．（17分）情报M0是仅含0和1两种的k位数据，例如11001．情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为p1，每位数字1传错为0的概率为p2，其中p1，p2∈（0，1），在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生．情报M0经过n个信号站传输后的情报为Mn，设Mn与M0完全相同的概率为an，Mn与M0中有Xn（Xn＝0，1，…k）个对应位置数字取值相等．（1）若p1+p2=13（2）若p1+p2＝1，证明Xn的数学期望E（Xn）与n无关；（3）若p1+p2≠1，且p1＜p2，证明：an

2023-2024学年重庆一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知样本数据为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．【答案】C【分析】根据极差、平均数、中位数和方差的定义判断．【解答】解：根据题意，将7个数据从小到大排列，去掉一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，原始数据和有效评分相比，最中间的数没有发生改变，所以中位数不改变，而极差、平均数和方差都有可能发生改变．故选：C．2．（5分）已知M为双曲线x23−y2A．1 B．2 C．3 D．2【考点】双曲线的准线及第二定义．【答案】C【分析】由已知求出双曲线的离心率，再由双曲线的第二定义得答案．【解答】解：由双曲线x23−y26=1，得a2∴双曲线x23−y26由双曲线的第二定义可知，M到点（3，0）和到直线x＝1的距离之比为e=c故选：C．3．（5分）对于数列{an}，若点（n，an）都在函数y＝cqx的图象上，其中q＞0且q≠1，则“qc＞1”是“{an}为递增数列”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数列的单调性．【答案】A【分析】根据题意，分析可得an＝cqn，分析可得an+1﹣an＝cqn+1﹣cqn＝cqn（q﹣1），结合数列单调性的性质分析“qc＞1”和“{an}为递增数列”的关系，由充分必要条件的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，对于数列{an}，若点（n，an）都在函数y＝cqx的图象上，则有an＝cqn，则有an+1﹣an＝cqn+1﹣cqn＝cqn（q﹣1），若qc＞1，即q＞1c＞0或0＜q＜1当q＞1c＞0时，有an+1﹣an当0＜q＜1c＜0时，有an+1﹣an则有an+1﹣an＞0，数列{an}为递增数列，反之，若数列{an}为递增数列，则有an+1﹣an＝cqn+1﹣cqn＝cqn（q﹣1）＞0，又由q＞0且q≠1，则qn＞0，必有c（q﹣1）＞0，则有q＞1c＞0或0＜q＜1均有qc＞1；故“qc＞1”是“{an}为递增数列”的充要条件．故选：A．4．（5分）甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）A．36 B．72 C．144 D．288【考点】部分元素不相邻的排列问题．【答案】B【分析】先求出第一排有2人来自甲校，1人来自乙校，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数．同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数．然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案．【解答】解：第一排有2人来自甲校，1人来自乙校：第一步，从甲校选出2人，有C3第二步，2人站在两边的站法种数有A2第三步，从乙校选出1人，有C3第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有A2根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有3×2×3×2＝36．同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有36，根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有36+36＝72．故选：B．5．（5分）已知f(x)=13x3−x在区间（m，6﹣A．（﹣∞，5） B．（﹣2，5） C．[﹣2，5） D．（−5【考点】由函数的极值求解函数或参数．【答案】D【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系可求．【解答】解：f′（x）＝x2﹣1，易得，当x＞1或x＜﹣1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝1时，函数取得极小值，因为f(x)=13x3−x在区间（所以m＜1＜6﹣m2，解得−5＜故选：D．6．（5分）互不相等的正实数x1，x2，x3，x4∈{1，2，3，4}，xi1，xi2，xi3，xi4是x1，x2，x3，x4的任意顺序排列，设随机变量X，Y满足：{X=max{min{A．E（X）＜E（Y），D（X）＞D（Y） B．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y） C．E（X）＜E（Y），D（X）＝D（Y） D．E（X）＞E（Y），D（X）＝D（Y）【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】C【分析】根据题意，分{x1，x2}＝{1，2}或{3，4}，{x1，x2}＝{1，3}或{2，4}，{x1，x2}＝{1，4}或{2，3}，得到X，Y的分布列求解．【解答】解：因为随机变量X，Y满足：{X=max{min{所以当{x1，x2}＝{1，2}或{3，4}时，X＝3，Y＝2；当{x1，x2}＝{1，3}或{2，4}时，X＝2，Y＝3；当{x1，x2}＝{1，4}或{2，3}时，X＝2，Y＝3；所以X，Y的分布列为：X23P2313Y23P1323所以E(X)=2×23+3×所以E（X）＜E（Y），D（X）＝D（Y）．故选：C．7．（5分）在满足2≤xi＜yi，xiyi=yixi的实数对（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）中，使得y1+y2+⋯+yA．15 B．16 C．22 D．23【考点】数列与不等式的综合．【答案】C【分析】构造函数h(x)=lnxx，由h（x）的单调性与单调区间及2≤xi＜yi，lnxixi=lnyiyi【解答】解：构造函数h(x)=lnxx，则h′(x)=1−lnxx2＞0h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，如图所示，∵2≤xi＜yi，xiyi=yixln22∴e＜yi≤4，则（n﹣1）e＜y1+y2+...+yn﹣1≤4（n﹣1）又y1+y2+⋯+yn﹣1≤15yn，∴e（n﹣1）≤15yn⇒e（n﹣1）≤15×4⇒n≤22.0728．故选：C．8．（5分）某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：Z＞20的为A级，18＜Z≤20的为B级，16＜Z≤18的为C级，14＜Z≤16的为D级，Z≤14的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布N（15，9）．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（）附：P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9773A．4 B．5 C．6 D．7【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】A【分析】由题意得E(X)=0.2k=1n−1k⋅0．8k−1+n⋅0．8n−1，设M=k=1n−1k⋅0．【解答】解：由题意得蓝莓果重量Z服从正态分布N（15，9），其中μ＝15，σ＝3，∴p=P(Z≥18)=P(Z≥μ+σ)=1−P(μ−σ＜Z≤μ+σ)设第k次抽到优等果的概率P（X＝k）＝0.8k﹣1•0.2（k＝1，2，3，⋯，n﹣1），恰好抽取n次的概率P（X＝n）＝0.8n﹣1，则E(X)=0.2k=1设M=k=1n−1k⋅0．8k−1由①﹣②得0.2M=k=1∴E（X）＝0.2M+n•0.8n﹣1＝5（1﹣0.8n﹣1）﹣（n﹣1）•0.8n﹣1+n•0.8n﹣1＝5（1﹣0.8n），5（1﹣0.8n）≤3，即0.8n≥0.4，又0.84＝0.4096＞0.4，0.85＝0.32768＜0.4，故n的最大值为4．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）在(1−2xA．a＝3 B．展开式中的常数项为﹣32 C．展开式中x4的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为﹣242【考点】二项式定理．【答案】BC【分析】把(x−a)5【解答】解：在(1−2x3)(x−a)5=（1﹣2x3）（C50•x2x−C51•a•x2+C52•a2∵各项系数的和为（1﹣2）•（1﹣a）5＝1，∴a＝2，故A错误；展开式中的常数项为−C55•a5＝﹣a5展开式中x4的系数为﹣2•（−C53•a3）＝20•a3（1﹣2）•（C50+C52•a2+C54•a4）＝﹣（C5故选：BC．（多选）10．（6分）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：x12345y0.50.811.21.5假设经验回归方程为ŷA．b̂B．当x＝8时，y的预测值为2.2 C．样本数据y的40%分位数为0.8 D．去掉样本点（3，1）后，x与y的样本相关系数r不变【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】ABD【分析】由已知求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，求出b̂的值判断A；求出x＝8时y的预测值判断B；由百分位数的定义判断C；由相关系数公式判断D【解答】解：x=1+2+3+4+55∴样本点的中心坐标为（3，1），代入ŷ=b̂x+0.28经验回归方程为ŷ=0.24x+0.28，取x＝8，得ŷ样本数据y的40%分位数为0.8+12=0.9，故由相关系数公式可知，去掉样本点（3，1）后，x与y的样本相关系数r不变，故D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ex•（sinx+cosx），则（）A．f（x）的零点为x=kπ−πB．f（x）的单调递增区间为[2kπ+πC．当x∈[0，π2]时，若f（x）≥kxD．当x∈[−1003π2，1005π2]时，过点(【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【答案】ACD【分析】由辅助角公式变换后求正弦函数的零点可得A选项；由复合函数的单调性求出正弦函数的递增区间可得B选项；分离参数后构造函数求导，求最小值可得C选项；设出切点，利用导数的意义求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，再代入(π−12，0)可得tanx0=2(x0−π2【解答】解：A：f(x)=ex⋅(sinx+cosx)=2eB：由复合函数的单调性可知，当−π2+2kπ≤x+π4C：若f（x）≥kx恒成立，所以2e因为x∈[0，π2]，当x＝0时，2当x≠0时，设g(x)=2ex画出中括号内的函数图像，由函数图像可知，g′（x）＜0在x∈[0，π2]恒成立，所以g所以g(x)min=g(π2D：因为f′（x）＝2excosx，设切点坐标为(x则切线的斜率为f′(x0)=2代入点(π−12，0)两边同时除以cosx0可得tanx令y1=tanx，y2=2(x−π2)，所以则所有的切点关于(π当x∈[−1003π2，1005π2]时共有502对切点，每对和为故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为X，则P（X⩾3）＝12【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】12【分析】利用古典概型、排列组合求解．【解答】解：某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为X，则P(X⩾3)=P(X=3)+P(X=4)=C故答案为：1213．（5分）对于定义在非空集D上的函数f（x），若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2，有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“准单调递增函数”，若函数y＝f（x）的定义域D＝{1，2，3，4，5，6}，值域A⊆{7，8，9}，则在满足这样条件的所有函数中，y＝f（x）为“准单调递增函数”的概率是28729【考点】函数的值域．【答案】28729【分析】首先根据值域个数，将定义域中的元素进行分组，求解所有的函数个数，再利用隔板法求函数为增函数的个数，再根据古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：若值域为{7，8，9}，将定义域中的元素分组为1，2，3，则有C6将定义域中的元素分组为2，2，2，则有C6将定义域中的元素分组为1，1，4，则有C6则共有360+90+90＝540个函数，若函数的值域为{7}，则有1个函数，所以值域为单元素的函数有3个，若值域为{7，8}，将定义域中的元素分组为3，3，则有C6将定义域中的元素分组为2，4，则有C6将定义域中的元素分组为1，5，则有C6则共有20+30+12＝62个函数，所以值域为双元素的函数共有62C综上可知，共有3+186+540＝729个函数，若函数为增函数，当值域为单元素集合，有3个函数，满足条件，当值域有2个元素，将元素1，2，3，4，5，6中间隔1块板，有5种方法，则有5C若值域有3个元素，则将元素1，2，3，4，5，6中间隔2块板，有C5综上可知，y＝f（x）为增函数的函数有3+15+10＝28个函数，所以y＝f（x）为增函数的概率P=28故答案为：2872914．（5分）已知椭圆x2a2+y2=1(a＞1)的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC为等腰直角三角形，A【考点】椭圆的几何特征．【答案】（0，63【分析】不妨设直线BA：y＝kx+1（k＞0），则直线BC：y=−1kx+1，直线和椭圆联立得到xA=−2a2k1+a2k2和xc=2a2ka2+k2，利用|BA【解答】解：不妨设直线BA：y＝kx+1（k＞0），则直线BC：y=−1联立方程得y=kx+1x2a2+y2=1，得（1+a2k2∴xA=−2a2k1+∴|BA|=1+由|BA|＝|BC|，得（k﹣1）[k2+（1﹣a2）k+1]＝0，该方程关于k已有一解k＝1，由于符合条件的△ABC有且仅有一个，∴关于k的方程k2+（1﹣a2）k+1＝0无实数解或有两个相等的实数解k＝1，当方程无实数解时，a＞1Δ=(1−a当方程有两个相等的实数解k＝1时，a＞11−a2∴1＜a≤3则该椭圆的离心率e=c故答案为：（0，63四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）数列{an}满足a1=π6，an∈(−π2，π2)，tan（1）证明：数列{tan2an}为等差数列，并求数列{tanan}的通项公式；（2）求正整数m，使得sina1•sina2…sinam=1【考点】数列递推式；等差数列的性质．【答案】（1）证明见解答，tanan=【分析】（1）由题推出tan2an+1=1co（2）利用同角三角函数关系结合tanan+1=【解答】解：（1）证明：由已知条件可知，由于cosan＞0，所以an+1所以tan所以tan故数列{tan2an}是以1为公差的等差数列，且首项为tan故tan2a（2）因为tanan+1=1cosa所以sina1•sina2…sinam＝tana1cosa1tana2cosa2•••tanancosan=tan由13m+1=116．（15分）已知点A，B在抛物线y2＝x上．（1）若|AB|＝3，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离；（2）若点C，D在直线y＝x+4上，且满足四边形ABCD为正方形，求此正方形的面积．【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【答案】（1）54【分析】（1）A，B，F三点共线即可；（2）先设AB的方程，然后与抛物线联立可消去y得到关于x的一元二次方程，即可表示出|CD|，再由|AD|＝|CD|可求出t的值，从而可求出正方形的边长得到面积．【解答】解：（1）设A（x1，y1）B（x2，y2），抛物线y2＝x的准线x=−1点M到y轴的最短距离为：x=|（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号），∴|AF|+|BF|2此时M到y轴的最短距离54（2）设AB所在直线的方程为y＝x+t，∵y=x+ty消去y得，x2+（2t﹣1）x+t2＝0，∴|CD|=2[(1−2t又直线AB与CD间距离为|AD|=|t−4|2，∵|AD|＝|CD|，∴从而边长为32或52，面积S117．（15分）为方便起见，记一年有365天，并假设每个人的生日在365天中的任意一天都是等可能的．“生日悖论”指：在不少于23个人的群体中，至少有两人生日相同的概率大于50%．记事件Ak为“前k人中没有人生日相同”，其中k＝1，2，3…，n．（1）证明：P（An）＝P（A1）•P（A2|A1）•P（A3|A2）…P（An|An﹣1）；（2）直接写出P（Ak|Ak﹣1）的值（k＝2，3…，n），并证明：如果一个班上有不少于23人，则这个班上至少有两人生日相同的概率大于50%．附：ln2=0.693147⋯，253【考点】数列的应用．【答案】（1）证明见解析；（2）366−k365【分析】（1）易得P（An﹣1An）＝P（An），再根据条件概率公式即可得证；（2）利用条件概率公式即可求出P（Ak|Ak﹣1），先求出前k人中没有人生日相同的概率P（Ak），根据题中所给数据，结合放缩思想及基本不等式证明P（Ak）＜0.5即可．【解答】解：（1）证明：若前n个人中没有人生日相同，则前n﹣1个人中一定没有人生日相同，（n≥2），因此P（An﹣1An）＝P（An），因此P（A1）•P（A2|A1）•P（A3|A2）⋯P（An|An﹣1）=P(A＝P（A2）•P（A3|A2）⋯P（An|An﹣1）＝⋯＝P（An﹣1）•P（An|An﹣1）=P(A因此P（An）＝P（A1）•P（A2|A1）•P（A3|A2）⋯P（An|An﹣1）；（2）根据题意：记事件Ak为“前k人中没有人生日相同”，其中k＝1，2，3…，n，有P(A如果一个班上有不少于23人，设该班人数为n，则n≥23．此时，这个班上的人两两生日不同的概率P（An）满足P(A下面证明：(1−1要证明该不等式，只需要证明ln(1−1即k=122令f（x）＝x﹣ln（1+x），则当﹣1＜x＜0时，有f′(x)=1−1所以f（x）在（﹣1，0]上递减，从而对任意的﹣1＜x＜0，有f（x）＞f（0）＝0，即x＞ln（1+x）．所以k=122而ln2≈0.693147，253365故253365所以k=122这就证明了(1−1所以P(A从而这个班上至少有两人生日相同的概率P(18．（17分）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么称d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A，B两点间的曼哈顿距离．（1）已知点N1，N2分别在直线x﹣2y＝0，2x﹣y＝0上，点M（0，2）与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d（M，N1），d（M，N2），求d（M，N1）和d（M，N2）的最小值；（2）已知点N是直线x+k2y+2k+1＝0（k＞0）上的动点，点M（0，2）与点N的曼哈顿距离d（M，N）的最小值记为f（k），求f（k）的最大值；（3）已知点M（ek，kek），点N（m，n）（k，m，n∈R，e是自然对数的底），当k≤1时，d（M，N）的最大值为f（m，n），求f（m，n）的最小值．【考点】两点间的距离公式．【答案】（1）d（M，N1）的最小值为2，d（M，N2）的最小值为1；（2）5；（3）e+1【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到f(k)=|2k+1（3）根据题意，令x＝ek，然后分别构造函数g（x）＝x+xlnx，0＜x≤e，h（x）＝x﹣xlnx，0＜x≤e即可得到f(m，n)=max{|−1【解答】解：（1）d(M，N则d（M，N1）≥2，即d（M，N1）的最小值为2；d(M，N则d（M，N2）≥1，即d（M，N2）的最小值为1；（2）当k2≥1时，d（M，N）＝|x|+|y﹣2|，点（x，y）为直线x+k2y+2k+1＝0（k＞0）上一动点，则当k2≥1时，d(M，N)=|x|+|x即f(k)=|2当k2＜1时，d(M，N)=|x|+|x即f（k）＝|2k2+2k+1|；所以f(k)=|2k+1当0＜k＜1时，|2k2+2k+1|＜5，所以f（k）的最大值为5；（3）令x＝ek，则kek＝xlnx，0＜x≤e，d（M，N）＝|ek﹣m|+|kek﹣n|＝max{|x+xlnx﹣m﹣n|，|x﹣xlnx﹣m+n|}，令g（x）＝x