频率与概率2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3频率与概率

第十章

概率

复习引入

古典概型公式可以计算样本点等可能有关事件的概率.但在现实中，很多试验的样本点往往是等可能的或者是否等可能不容易判断.例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者投掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率.

我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小.在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率.

那么，在重复试验中，频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？新课导入探究

重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，你能计算事件A发生的概率吗？

新知探究问题1

在试验25次、小组试验100次和试验500次数的情况下，事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频率.（1）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这样的情况？利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A发生的频数nA和频率fn(A)如右表所示：序号n=20n=100n=500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506（2）随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？新知探究序号n=20n=100n=500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506我们发现：

(1)试验次数n相同，但频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.

(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.

当试验次数较少时，波动幅度大；当试验次数较大时，波动幅度小.

但试验次数多的波动幅度并不全部比次数少的小，只是波动幅度小的可能性大.用折线图表示频率的波动情况新知讲解大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A).

雅各布第一•伯努利(1654-1705)瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他給出了著名的大数定律.大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近.知识链接抛掷次数（n)20484040120002400030000正面朝上次数(m)1061204860191201214984频率(m/n)0.5180.5060.5010.50050.4996历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示抛掷次数n频率m/n0.512048404012000240003000072088德.摩根蒲丰皮尔逊皮尔逊维尼概念生成

事件的概率新知探究问题2事件A发生的频率fn(A)是不是不变的？事件A发生的概率P(A)是不是不变的？它们之间有什么区别和联系？(1)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化；(2)概率是一个确定的数，客观存在的，与试验次数无关.频率是概率的近似值(实验值)，会随试验次数的增加逐渐稳定；联系:区别：概率是频率理论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率.典例小结

典例分析例1

一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.

在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.

据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.

你更支持谁的结论?为什么?解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；

当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.

相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.

而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.典例分析例2

气象台预测“本市明天降雨的概率是90％”，对预测的正确理解是（

）A.本市明天将有90％的地区降雨B.本市明天将有90％的时间降雨C.明天出行不带雨具肯定会淋雨D.明天出行不带雨具可能会淋雨D《三维设计》P114例1（1）典例分析例2某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：①填写表中击中靶心的频率；②这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？《三维设计》P114例1（2）射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率典例分析例2某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：①填写表中击中靶心的频率；②这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？《三维设计》P114例1（2）射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率典例分析例3有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上所标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；(2)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由.《三维设计》P114例2新知探究问题3用频率估计概率，需要做大量的重复试验.

有没有其他方法可以替代试验呢?

我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.由试验产生的随机数：

例如我们要产生0~9之间的整数随机数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码称为随机数.

计算机产生的随机数：利用计算机产生随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性，因此我们把利用计算机产生的随机数称为伪随机数.新知探究问题4一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别.对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球.这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.n102050100150200250300nA6720456677104116fn(A)0.60.350.40.450.440.3850.4160.39fnn102050100150200250300利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4.

下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率.典例分析例4通过模拟试验，产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 7740 4422 78842604 3346 0952 6807 9706 5774 57256576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰有三次击中目标，求四次射击中恰有三次击中目标的概率.《三维设计》P116训练3（1）典例分析例5在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现有放回地每次从中任意取出一个小球，若标有偶数的球都取到过，则停止摸球.小明用随机模拟的方法估计恰好在第3次停止摸球的概率，利用计算机软件产生1～4之间（包括1和4）取整数值的随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：131 432 123 233 234 122 332 141 312241 122 214 431 241 141