事件的关系和运算课件2025-2026学年高一下学期人教A版必修第二册

10.1.2事件的关系与运算

第十章

概率

复习回顾1.样本空间有关概念：(2)样本空间：全体样本点的集合，用Ω表示.

2.随机事件有关概念：(1)基本事件:只包含一个样本点的事件.(3)事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.(4)必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.Ω为必然事件.(5)不可能事件：在每次试验中都不会发生.

为不可能事件.(2)随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集.(1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示.

从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.新课导入问题在掷骰子的试验中，

观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件，

例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6；D1

=“点数不大于3”,D2

=“点数大于3”；E1

=“点数为1或2”,E2

=“点数为2或3”；F=“点数为偶数”,G=“点数为奇数”；……

请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些事件之间的联系吗？C1={1}；C2={2}；C3={3}；C4={4}；C5={5}；C6={6}；D1={1,2,3}；D2={4,5,6}；E1={1,2}；E2={2,3}；F={2,4,6}；

G={1,3,5}.新知探究探究1

用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的关系如何？C1={1}和G={1,3,5}如果事件C1发生，那么事件G一定发生.集合表示：C1⊆G

即事件G包含事件C1.新知探究包含关系

特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即A⊆B且B⊇A，则称事件A与事件B相等，记作A=B.ABΩ

一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B).

记作A⊆B(或B⊇A)学以致用例1在掷骰子试验中，可以得到以下事件：A＝“出现1点”；B＝“出现2点”；C＝“出现3点”；D＝“出现4点”；E＝“出现5点”；F＝“出现6点”；G＝“出现的点数不大于1”；H＝“出现的点数小于5”；I＝“出现奇数点”；J＝“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系：（1）B

H；（2）D

J；（3）E

I；（4）A

G.

《三维设计》P99例1新知探究探究2

用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？D1={1,2,3}，

E1={1,2}和E2={2,3}.这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生.集合表示：{1,2}∪{2,3}={1,2,3}即

E1∪E2=D1新知探究ABΩ并事件（和事件）

一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件).

记作

A∪B或A＋B

(如右图所示的绿色或黄色区域)学以致用例1在掷骰子试验中，可以得到以下事件：A＝“出现1点”；B＝“出现2点”；C＝“出现3点”；D＝“出现4点”；E＝“出现5点”；F＝“出现6点”；G＝“出现的点数不大于1”；H＝“出现的点数小于5”；I＝“出现奇数点”；J＝“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系：（1）B

H；（2）D

J；（3）E

I；（4）A

G.

《三维设计》P99例1新知探究探究3

用集合的形式表示事件C2=“点数为2”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？C2={2}，

E1={1,2}，E2={2,3}.事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生，集合表示:{1,2}∩{2,3}={2}这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件.即

E1∩E2=C2新知探究交事件（积事件）ABΩ

一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件).记作

A∩B或AB

(如右图所示的蓝色区域)学以致用例2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？《三维设计》P100例2变式

在本例中，设事件E＝“3个红球”，事件F＝“3个球中至少有一个白球”，那么事件C与B，E分别是什么关系？C与F的交事件是什么事件？新知探究探究4

用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系是什么？C3={3}，C4={4}事件C3与事件C4不可能同时发生.集合表示：C3∩C4=∅这时我们称事件C3与事件C4互斥.新知探究互斥事件ABΩ(1)事件A与事件B在任何一次

试验中不会同时发生.(2)两事件同时发生的概率为0.注：事件A与事件B互斥时

一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）.（如图所示）新知探究探究5

用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，这两个事件之间的联系如何？F={2,4,6}，G={1,3,5}在任何一次试验中，①事件F与事件G两者只能发生其中之一，集合表示：F∩G=∅且F∪G=Ω称事件F与事件G互为对立事件②而且也必然发生其中之一.新知探究对立事件AΩ（1）事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.注：事件A与事件B对立时（2）A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件.（3）对立事件一定是互斥事件，

但互斥事件不一定是对立事件.

一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=∅，我们就称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记作.（如右图所示）学以致用例3(1)一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次击中”互为对立事件的是（

D

）

A.两次均击中B.恰有一次击中C.第一次击中D.两次均未击中《三维设计》P101例3(2)从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而

不对立的两个事件的是（

D

）A.“至少有1个红球”与“都是黑球”B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D.“都是红球”与“都是黑球”DD归纳小结综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥事件A与B不能同时发生A∩B=∅

对立事件A与B有且仅有一个发生A∩B=∅,A∪B=Ω

类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件，例如，对于三个事件A,B,C，A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生，等等.学以致用例4(1)一次试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（

C

）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.不互斥也不对立CB

《三维设计》P101训练3能力提升例5某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系.(1)“恰有1名男生”与“全是男生”；

方法总结判断互斥事件与对立事件的方法能力提升（1）利用基本概念判断①互斥事件不同时发生；②对立事件有且仅有一个发生.

能力提升例5某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系.(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；典例分析例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，

其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，

从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R