计量经济学模型案例与软件操作 课件 第七章 条件异方差模型

第七章条件异方差模型授课教师：所在学院：联系方式：引言：为什么需要条件异方差模型？在金融领域中,我们经常遇到的一个问题是,数据的方差并不是常数,而是随时间的推移发生变化。为了能够更准确地分析和预测金融数据的波动性,我们需要使用条件异方差模型。条件异方差模型是一类考虑了方差变化的时间序列模型。

通过学习本章的内容,将能够了解条件异方差模型的基本原理和建模方法,并且能够使用相应的软件进行实际操作，为进一步探索条件异方差模型提供基础。内容：●自回归条件异方差模型●广义自回归条件异方差模型●其他类型的条件异方差模型●多变量GARCH模型第一节自回归条件异方差模型

本节基本内容:●自回归条件异方差模型的基本概念●自回归条件异方差模型案件分析

一、自回归条件异方差模型的基本概念（一）自回归条件异方差模型

自回归条件异方差模型（ARCH模型）是根据金融时间序列的波动特征和统计假设，区分被解释变量、随机误差项与动态条件方差等核心变量，建立均值方程与条件方差方程的组合式来描述变量间波动率时变性及波动聚集性关系所构成的模型。

ARCH模型的一般表达式为：

【例】ARCH(1)模型

（二）ARCH模型的建模步骤数据的平稳性检验建立均值方程对均值方程残差进行ARCH效应检验模型定阶模型估计模型验证

在拟合ARCH模型的初期阶段,为确认序列的异方差是否由自相关引起,需要对时间序列数据的残差进行ARCH效应检验,常用的两种统计方法为LM检验和残差平方相关图。LM检验：LM检验又称拉格朗日乘数检验,它是用来检验时间序列残差的大小是否受到最近残差值的影响,即序列是否存在相关效应。残差平方相关图：残差平方相关图显示了残差平方序列直到任意指定的滞后阶数后的自相关系数和偏自相关系数,并计算出相应滞后阶数的Q统计量。残差平方相关图可用于检验残差序列中是否存在ARCH效应。

建模完成后对模型再次进行ARCH效应检验,如果ARCH效应依然存在,说明残差项可能具有高阶异方差性,那么将继续采用GARCH模型对时间序列数据进行建模,来消除异方差;如果ARCH效应消失,说明异方差性已经被消除,模型拟合效果较好。

ARCH模型在实际情况中,资产收益率的正负扰动项对波动率的影响并不相同ARCH模型对模型参数具有较为严格的约束条件。ARCH模型仅可以体现条件方差的变化,但不可以解释其变化的原因ARCH模型对波动率的预测结果会偏高ARCH模型优缺点：ARCH模型可以模拟波动率集聚,其随机扰动项具有厚尾分布的特征。但是ARCH模型也具有缺点:二、案例分析【案例7-1】为了研究股票价格指数的波动特征,本节选用上证50指数自发布之日(2004年1月2日)起至2020年12月31日的日收盘价格作为时间序列数据。上证50指数是由上海证券市场规模大、流动性好的最具有代表性的50只股票组成的样本股,综合反映了上海证券交易所最具有市场影响力的一批优质大盘企业的整体状况,故分析上证50指数的波动具有一定的代表性。(一)基于EViews的上证50指数ARCH模型的建立(1)上证50指数的平稳性检验

对上证50指数时间序列数据选用ADF检验方法进行平稳性检验。对该序列进行ADF检验,首先要打开Series窗口,点击View键,选择UnitRootTest功能。在弹出的对话框中,选择ADF检验。其次,选择是对序列本身(Level)、一次差分序列(1stdifference),还是二次差分序列(2nddifference)进行单位根检验。再次,需要设定方程中是否包含截距项(Intercept)、截距项和趋势项(Trendandintercept)或者什么都不包括(None)。最后,设定检验方程中包括的滞后差分项的个数,如图7-1所示。图7-1单位根检验示例

点击“OK”键,出现图7-2的检验结果。图7-2第一行显示了ADF统计量的结果以及相应的P值,下面三行依次显示了t统计量在1%、5%、10%显著水平下的ADF统计量的临界值。图7-2中ADF统计量的值均大于三个显著性水平下的临界值,说明该序列存在单位根,认为该序列不平稳。图7-2单位根检验结果

上证50指数的原始数据是非平稳序列,对原始序列进行对数化处理,图7-3为上证50指数收盘价格的对数序列的单位根检验结果图。图7-3显示ADF统计量的值仍然均大于三个显著性水平下的临界值,说明该对数化序列存在单位根,认为该对数化序列不平稳。

因为上证50指数的对数化数据仍是非平稳序列,所以对对数化序列进行一阶差分,图7-4为上证50指数收盘价格的一阶差分对数序列的单位根检验结果。图7-4显示ADF统计量的值均小于三个显著性水平下的临界值,说明该差分后的对数化序列不存在单位根,可认为该差分后的对数化序列平稳。图7-3对数化序列的单位根检验结果图7-4一阶差分对数化序列的单位根检验结果(2)均值方程的建立由上述平稳性检验可知,上证50指数的收盘价格序列是对数差分平稳序列。在EViews中,要想取得自相关图和偏自相关图,首先要打开Series窗口,点击“View”键,选择“Correlogram”功能;其次,在弹出的对话框中,选择是对序列本身(Level)、一次差分序列(1stdifference),还是二次差分序列(2nddifference)画其自相关图;最后,在Lagstoinclude下选择滞后阶数。点击“OK”键,即可得出自相关图。图7-5为对数差分序列的自相关图和偏自相关图。图的左侧给出对数差分序列的自相关图和偏自相关图,右侧给出相对于每一个滞后期的估计的自相关系数和偏自相关系数的值,以及其相对应的Q统计量的值和P值。根据图7-5的结果可知,对数差分序列Dlnsz50的自相关系数和偏自相关系数4阶截尾,考虑对其建立ARMA(3,3)模型。图7-5一阶差分对数化序列的自相关图与偏自相关图在EViews主菜单中点击“Quick”键,选择“EstimateEquation”功能。在弹出的对话框“Equationspecification”中输入ARMA(3,3)模型的估计命令:DLnsz50cAR(1)AR(2)AR(3)MA(1)MA(2)MA(3)点击“OK”键可得到如图7-6的估计结果。根据图7-6中的ARMA(3,3)模型模拟结果,AR(3)、MA(3)两项的系数不具有显著性,因此点击“Estimate”键,从估计命令中剔除这两项,继续估计,得到估计结果(如图7-7),对应的模型表达式为：图7-6

ARMA(3,3)模型模拟结果EViews软件图7-7

ARMA(2,2)模型模拟结果EViews软件首先,我们作出上述模型残差序列的时序图,可以直接点击图7-7窗口上方的“resid”键得到,结果如图7-8。观察图7-8可知,波动存在“集群”现象。除此之外,残差在一段较长的时间内波动较小,小幅度波动集群效应前后伴随着较小的波动,而在另一段较长的时间内波动较大。综合以上的残差序列走势特征,可以认为在误差项中可能存在条件异方差。(3)上证50指数波动模型的ARCH效应检验图7-8

ARMA(2,2)残差时序图我们通过ARCH-LM检验考察ARMA(2,2)模型中是否存在自回归条件异方差。操作方法是,在窗口中点击“View”键,选择“ResidualDiagnostics→HeteroskedasticityTests”功能。在图7-9中的Numberoflags后填写滞后阶数,然后点击“OK”键,输出结果见图7-10。图7-10由上下两部分组成,上半部分给出LM的检验结果,下部分为检验方程的回归结果。图7-9

ARCH-LM检验操作图EViews软件图7-10

ARCH-LM检验结果在图7-10中,观察可知：F=93.8,对应的P值=0.0000<0.01，LM=TR2=4129×0.04348=179.5,对应的P值=0.0000<0.01。由于F统计量和LM统计量所对应的P值均小于0.01,显然F统计量和LM统计量的值都落在了临界值的右边,即落在拒绝域,应拒绝原假设。故残差的平方序列存在2阶自相关,即模型误差序列存在自回归条件异方差。因此,我们应该在ARMA(2,2)模型的基础上建立ARCH模型。(4)上证50指数的ARCH模型建立在图7-10的窗口中点击“Estimate”键,在弹出的“EquationSpecification”对话框中,在“Method”下拉菜单中选择“ARCH”,点击“OK”键,就会弹出图7-11的对话框。图7-11

ARCH模型建立操作图

在图7-11中,在“Model”下拉菜单中选择“GARCH/TARCH”,之后在“Order”中ARCH后面填写最大滞后期,在GARCH中要填写0,之后点击“确定”即可。本章应建立ARCH(1)模型,输出结果如图7-12所示。EViews软件图7-12

ARCH模型结果根据图7-12ARCH模型的估计结果,其各项的估计系数均显著,因此我们写出该ARCH模型的具体表达式：在建立了ARCH模型的均值方程和方差方程后,我们再对估计模型进行异方差检验,查看方程式是否仍存在ARCH效应,该步骤的ARCH效应检验与第三步中的操作相同。如果依然存在ARCH效应,说明残差项可能具有高阶异方差性;如果不存在ARCH效应,说明异方差性已经被消除,模型拟合效果良好。图7-13为ARCH效应检验的结果。(5)模型的检验根据图7-13中的ARCH-LM检验结果,由于F统计量和LM统计量的P值分别为0.8989和0.8989,均大于5%的显著性水平,故不能拒绝原假设。可判断该方程的残差序列已经不存在ARCH效应。EViews软件图7-13

ARCH模型的ARCH效应检验结果

(二)基于Stata的上证50指数ARCH模型的建立

下面以Stata为例,研究股票价格指数的波动特征,依然选用上证50指数自发布之日(2004年1月2日)起至2021年3月21日的日收盘价格作为时间序列数据。首先,对数据进行平稳性检验,具体操作见第四章,这里不再赘述。由于logc(对数收盘价格)为非平稳序列,定义其一阶差分为“d_logc”。usesz50.dta,cleartssettrade_date

如果这条命令执行成功,则会显示以下语句：timevariable:trade_date,02jan2004to12mar2021,butwithgaps

delta:1day通过自相关图与偏自相关图可以更加直观地看出均值方程的滞后阶数,下面是画自相关图与偏自相关图的语句。acd_logc,lags(10)pacd_logc,lags(10)自相关图如图7-14所示,偏自相关图如图7-15所示。图7-14一阶差分对数化序列的自相关图图7-15一阶差分对数化序列的偏自相关图根据自相关图与偏自相关图的结果,五阶自相关系数在5%的显著性水平上显著不为0,三阶偏自相关系数在5%的显著性水平下显著不为0,故选择ARMA(5,3)模型,运行语句如下:arimad_logc,ar(1/5)ma(1/3)运行结果如图7-16所示。Stata软件图7-16

ARMA(5,3)模型拟合结果根据图7-16的拟合结果,模型中滞后3阶的自相关系数与滞后1阶和3阶的偏自相关系数均不显著。因此,考虑更加简洁的模型,将滞后3阶的自相关系数与滞后1阶和3阶的偏自相关系数与变量略去,下面是操作语句。arimad_logc,ar(1245)ma(2)运行结果如图7-17所示。图7-17

ARMA(5,3)模型修正拟合结果Stata软件根据图7-17的模拟结果,模型中滞后4阶的自相关系数不显著。因此,在上述模型的基础上考虑更加简洁的模型,将滞后4阶的自相关系数与变量略去,下面是操作语句。arimad_logc,ar(125)ma(2)运行结果如图7-18所示。图7-18

ARMA(5,3)模型最终修正拟合结果Stata软件根据图7-18的模型拟合结果发现,各项系数均显著。接下来,检查残差项是否存在自相关效应,操作语句如下。predicte1,rescorrgrame1,lags(10)运行结果如图7-19所示。图7-19残差自相关与偏自相关检验图根据图7-19,残差并不存在自相关效应。接下来,检查残差平方是否存在ARCH效应,操作语句如下。ge2=e1^2ace2pace2图7-20为残差平方的自相关图,图7-21为残差平方的偏自相关图。图7-20残差平方的自相关图图7-21残差平方的偏自相关图接下来,对残差平方自相关与偏自相关的检验结果进行Q检验,操作语句如下：corrgrame2,lags(10)结果见图7-22。图7-22残差平方Q检验结果从以上结果可以看出,无论是自相关图、偏自相关图,还是Q检验,均显示残差平方之间存在自相关,即扰动项存在条件异方差性。因此,考察ARCH模型,操作语句如下。archd_logc,ar(125)ma(2)arch(1)运行结果见图7-23。图7-23中显示所有的ARCH项均显著,故ARCH模型的估计有意义。Stata软件图7-23

ARCH模型拟合结果

本节基本内容:●广义自回归条件异方差模型的基本概念●广义自回归条件异方差模型案件分析第二节广义自回归条件异方差模型一、广义自回归条件异方差模型的基本概念（一）广义自回归条件异方差模型

GARCH模型的一般表达式为：

如果ARCH项和GARCH项两项的系数全都高度显著不为0,那么我们认为这个时间序列具有波动集群性。与ARCH模型相比,一个较为简单的GARCH模型就可以代表一个高阶ARCH模型,从而使得模型的识别和估计都变得比较容易。（二）GARCH模型的建模步骤数据的平稳性检验建立均值方程对均值方程残差进行ARCH效应检验模型定阶模型估计模型验证(三)与ARCH模型比较ARCH模型在实际应用中很难准确估计,主要原因在于残差的条件方差依赖于前期的变化。GARCH模型降低了参数估计的复杂程度,简单的低阶GARCH模型可以替代高阶ARCH模型来分析以及预测具有波动性特征的样本。GARCH模型可以表示成GARCH(p,q),当p为0时,GARCH模型就演变成了ARCH模型。【案例7-1续】本节的数据仍然选用上证50指数自发布之日(2004年1月2日)起至2020年年底的日收盘价格作为时间序列数据。由于GARCH模型与ARCH模型的建模过程一致,仅仅在第四步骤中,模型建立步骤的操作有所不同,故本节续前节,从第四步骤开始,不再讲解前三个步骤的操作。二、案例分析(一)基于EViews的上证50指数ARCH模型的建立(1)上证50指数的平稳性检验。(2)均值方程的建立。(3)上证50指数波动模型的ARCH效应检验。以上步骤与第一节的操作相同,详细操作与解析参考第一节。(4)上证50指数的GARCH模型建立建立GARCH模型的操作方法,在图7-10的窗口中点击“Estimate”键,在弹出的“EquationSpecification”对话框中,在“Method”下拉菜单中选择“ARCH”,点击“OK”键,就会弹出如图7-24所示的对话框。图7-24

GARCH模型建立操作图在图7-24中,在“Model”下拉菜单中选择“GARCH/TARCH”,之后在“Order”中ARCH后面填写最大滞后期,并且GARCH中也要填写最大滞后期,之后点击“确定”即可。本章建立GARCH(1,1)模型,输出结果如图7-25所示。EViews软件图7-25

GARCH模型模拟结果图根据图7-25中的GARCH(1,1)模型的估计结果,我们写出该GARCH(1,1)模型的具体表达式在建立了GARCH(1,1)模型的均值方程和方差方程后,我们对估计模型进行异方差检验,查看方程式是否存在ARCH效应,该步骤的ARCH效应检验与第一节第三步中的操作相同。如果依然存在ARCH效应,说明残差项可能具有高阶异方差性;如果不存在ARCH效应,说明异方差性已经被消除,模型拟合效果良好。图7-26为ARCH效应检验的结果。(5)模型的检验EViews软件图7-26

GARCH(1,1)模型的ARCH效应检验结果根据图7-26中的ARCH检验结果,由于F统计量及LM统计量对应的P值分别为0.7890和0.7889,均大于5%的显著性水平,故不能拒绝原假设。由此可以判断该方程的残差序列已经不存在ARCH效应。本节的数据仍然选用上证50指数的自发布之日(2004年1月2日)起至2020年年底的日收盘价格作为时间序列数据。由于GARCH模型与ARCH模型的建模过程一致,仅仅在模型建立步骤的操作不同,故本节续前节,从建模步骤开始,不再进行前面步骤的操作,具体的操作语句如下。archd_logc,ar(125)ma(2)arch(1)garch(1)操作结果如图7-27所示。(二)基于Stata的上证50指数GARCH模型的建立图7-27

GARCH模型模拟结果从图7-27可知,所有的ARCH项与GARCH项系数均显著,方程的估计有意义。Stata软件

第三节其他类型的条件异方差模型

本节基本内容:●其他类型的条件异方差模型基本概念●其他类型的条件异方差模型案件分析

一、其他类型的条件异方差模型基本概念（一）T-GARCH模型T-GARCH模型对条件方差方程做了进一步改进,最初经常用于股票市场的研究,探寻股票价格对价格上涨消息和价格下跌消息波动的“杠杆效应”。T-GARCH模型可以用于拟合时间序列数据具有的异方差性以及波动集群性,同时能解决方差建模时估计精度较低的问题。T-GARCH模型的条件方差表达形式为：T-GARCH(1,1)模型的条件异方差方程：

(二)

E-GARCH模型1991年,Nelson对条件方差方程再次做了改进,提出了E-GARCH模型,E-GARCH模型的条件方差表达式:E-GARCH(1,1)模型的条件异方差方程:其中,α+γ表示价格上涨消息对lnσt2的影响程度,α-γ表示利空消息对lnσt2的影响程度。当γ≠0时,说明该时间序列数据波动呈现出非对称性;当γ>0时,说明与价格下跌消息的影响相比,价格上涨消息带来的影响使得价格波动更大;当γ<0时,说明与价格上涨消息的影响相比,价格下跌消息带来的影响使得价格波动更大。二、案例分析【案例7-1续】本节的数据与前两节的一致,仍然选用上证50指数自发布之日(2004年1月2日)起至2020年年底的日收盘价格作为时间序列数据。由于T-GARCH、E-GARCH模型与ARCH模型的建模过程一致,仅仅在第四步中,模型建立步骤的操作不同,故本节续前节,从第四步开始,不再进行前三个步骤的操作演示与详解。(一)上证50指数的T-GARCH模型的建立(1)上证50指数的平稳性检验。(2)均值方程的建立。(3)上证50指数波动模型的ARCH效应检验。以上步骤与第一节的操作相同,详细操作与解析参考第一节。(4)上证50指数的T-GARCH模型建立。接下来,我们建立T-GARCH模型考察信息冲击曲线的对称性。在图7-10的窗口中点击“Estimate”键,在弹出的“Equationspecification”对话框中,在“Method”下拉菜单中选择“ARCH”,点击“OK”键,就会弹出如图7-28的对话框。图7-28

T-GARCH模型建立操作界面在图7-28中,要想建立T-GARCH模型,需要在“Model”下拉菜单中选择“ARCH/TARCH”,之后在“Order”中ARCH后面填写最大滞后期,同时GARCH中要填写最大滞后期,在Thresholdorder中填写滞后期数,之后点击“确定”,输出结果如图7-29所示。图7-29

T-GARCH模型模拟结果EViews软件根据图7-29中T-GARCH模型的估计结果,写出该T-GARCH模型的具体表达式：

在T-GARCH模型中,T-GARCH项系数的值为0.015,其对应的P值为0.013,故拒绝原假设,这个结果反映出上证50指数价格具有“杠杆效应”的特征,并且上证50指数价格下跌的消息对股票市场的影响大于上证50指数价格上涨的消息对股票市场的影响,即信息冲击曲线存在非对称性。(5)模型的检验在建立了T-GARCH模型的均值方程和方差方程后,我们对估计模型进行异方差检验,检验方程式是否存在ARCH效应,该步骤的ARCH效应检验与第一节第三步中的操作相同。图7-30为ARCH-LM检验结果。根据图7-30中的ARCH-LM检验结果,由于F统计量和LM统计量的P值都是0.9737,大于5%的显著性水平,故不能拒绝原假设。可判断出具有该方程的残差序列已经不存在ARCH效应。EViews软件图7-30

T-GARCH模型ARCH-LM效应检验结果本节仍然采用上证50指数自发布之日(2004年1月2日)起至2020年年底的日收盘价格作为时间序列数据。由于T-GARCH模型与ARCH模型的建模过程一致,仅仅在模型建立步骤的操作不同,故本节续前节,从建模步骤开始,不再进行前面步骤的操作,具体的操作语句如下。命令语句为archd_logc,ar(125)ma(2)arch(1)garch(1)tgarch(1)运行结果见图7-31。2.基于Stata的T-GARCH模型的建立图7-31

T-GARCH(1,1)模型模拟结果Stata软件根据图7-31可知,所有的ARCH项与T-GARCH项系数均显著,方程的估计有意义。这个结果反映出上证50指数价格具有“杠杆效应”的特征,并且上证50指数价格下跌的消息对股票市场的影响大于上证50指数价格上涨的消息对股票市场的影响,即信息冲击曲线存在非对称性。(二)上证50指数的E-GARCH模型的建立1.基于EViews的E-GARCH模型的建立(1)上证50指数的平稳性检验。(2)均值方程的建立。(3)上证50指数波动模型的ARCH效应检验。以上步骤与第一节的操作相同,详细操作与解析参考第一节。接下来,我们建立E-GARCH模型考察信息冲击曲线的对称性。在图7-10的窗口中点击“Estimate”键,在弹出的“Equationspecification”对话框中,在“Method”下拉菜单中选择“ARCH”,点击“OK”键,就会弹出如图7-32所示的对话框。(4)上证50指数的E-GARCH模型建立在图7-32中,在“Model”下拉菜单中选GARCH/TARCH,之后在“Order”中ARCH后面填写最大滞后期,同时GARCH中要填写最大滞后期,在Asymmetricorder中填写非对称部分滞后期数,之后点击确定,输出结果如图7-33所示。图7-32

E-GARCH模型建立操作图图7-33

E-GARCH模型模拟结果EViews软件根据图7-33中T-GARCH模型的估计结果,写出该E-GARCH模型的具体表达式：因为方差方程中的系数具有显著性,所以E-GARCH模型中存在信息冲击曲线的非对称性。在E-GARCH模型中,E-GARCH方差方程中系数的值均显著不为0,故拒绝原假设,这个结果反映上证50指数具有“杠杆效应”的特征,并且上证50指数价格下跌的消息对股票市场的影响大于上证50指数价格上涨的消息对股票市场的影响。这个研究结果与T-GARCH模型中的研究结果相同,即信息冲击曲线存在非对称性。在建立了E-GARCH模型的均值方程和方差方程后,我们对估计模型进行异方差检验,检验方程式是否存在ARCH效应,该步骤的ARCH效应检验与第一节第三步中的操作相同。图7-34为ARCH-LM检验结果。(5)模型的检验EViews软件图7-34

E-GARCH模型ARCH效应检验结果根据图7-34中的ARCH-LM检验结果,由于F统计量和LM统计量的P值分为0.6346和0.6345,均大于5%的显著性水平,故不能拒绝原假设,可判断出具有该方程的残差序列已经不存在ARCH效应。本节的数据仍然选用上证50指数的自发布之日(2004年1月2日)起至2020年年底的日收盘价格作为时间序列数据。由于T-GARCH模型与ARCH模型的建模过程一致,仅仅在模型建立步骤的操作不同,故本节续前节,从建模步骤开始,不再进行前面步骤的操作,具体的操作语句如下。archd_logc,ar(125)ma(2)arch(1)garch(1)egarch(1)运行结果见图7-35。2.基于Stata的E-GARCH模型的建立图7-35

EGARCH模型模拟结果Stata软件根据图7-35可知,所有的ARCH项与E-GARCH项系数均显著,方程的估计有意义。在T-GARCH模型中,T-GARCH方差方程中系数的值均显著不为0,故拒绝原假设,这个结果反映上证50指数具有“杠杆效应”的特征,并且上证50指数价格下跌的消息对股票市场的影响大于上证50指数价格上涨的消息对股票市场的影响。这个研究结果与T-GARCH模型中的研究结果相同,即信息冲击曲线存在非对称性。第四节多变量GARCH模型

本节基本内容:●多变量GARCH模型的基本概念●多变量GARCH模型案件分析

一、多变量GARCH模型的基本概念（一）多变量GARCH模型

多变量GARCH（MGARCH）模型是单变量GARCH模型的自然扩展，核心目标是同时建模多个时间序列的条件方差-协方差矩阵动态变化，捕捉变量间的波动溢出效应与动态相关性。在金融领域，它广泛应用于资产组合风险评估、波动率预测与资产定价等场景。【例】最简单的双变量模型

就算是对最简单的MGARCH(1,1)模型,也有很多待估参数,因此,MGARCH(p,q)模型可能过于灵活,不便于拟合数据。随后,学者在MGARCH(p,q)模型的基础上进行了改进,并提出了对角半向量化GARCH模型(DVECH)、常条件相关模型(CCC)、动态条件相关模型(DCC)和可变条件相关模型(VCC)四个模型,下面将对这四个模型分别进行介绍。

2.模型的建模步骤对角半向量化GARCH模型方程写成如下形式：

1.常条件相关模型(CCC)

2.动态条件相关模型(DCC)

Tse和Tsui在2002年提出了另一种对常条件相关模型的改进方法,即“可变条件相关模型”(varyingconditionalcorrelation,VCC),其中每个时期的条件相关系数是一个非时变分量的加权和,衡量残差之间的近期相关性和上一时期的条件相关性,为了更加简洁,所有的条件相关性都被限制为遵循同样的动态过程,可变条件相关模型假设Rt服从类似于ARMA的过程,如式(7.26)所示:3.可变条件相关模型

二、案例分析【案例7-2】本节以2005年2月23日(上证50etf上市日期)至2021年4月1日上证指数和上证50etf每天的涨跌幅为例,分别介绍对角半向量化GARCH模型、常条件相关模型、动态条件相关模型和可变条件相关模型的Stata操作。在Stata15中,估计多维GARCH模型的一般命令为：mgarchmodeleq…eq,arch(#)garch(#)constraints(#)het(varlist)dist(t)robustnoconstant其中,“model”可以是dvech、ccc、dcc或者vcc,分别表示使用DVECH模型、CCC模型、DCC模型和VCC模型;字段“arch(#)”表示ARCH项;字段“garch(#)”表示GARCH项;字段“constraints(#)”用来表示对参数的约束;字段“het(varlist)”用来指定条件方差方程中的额外解释变量;字段“dist(t)”假设扰动项服从多维t分布,默认假设服从多维正态分布;字段“robust”表示使用稳健标准误,进行拟极大似然估计;字段“noconstant”表示忽略常数项;每个“eq”代表一个方程,其一般格式为(depvars=indepvars,noconstant)。打开Stata15,首先按如下步骤导入数据集。点击图7-36中的方框位置,将数据复制到弹出的表格中,得到如图7-37所示结果。图7-36数据输入框按钮图7-37输入数据集图7-38命令框按钮图7-39命令输入框

可在图7-37中方框所示位置对变量进行命名,接下来点击图7-38中方框位置,弹出命令输入界面见图7-39。输入以下语句,定义时间变量,见图7-40。gent=_ntssett图7-40定义时间变量在图7-40中点击方框中的执行按钮,定义时间变量,输出结果见图7-41。可以看到,此时多了一列变量“t”,就是所定义的时间序列变量。这是建模前的准备工作,接下来对不同模型进行建模。图7-41带时间变量序列的数据集以2005年2月23日至2021年4月1日上证指数和上证50etf每天的涨跌幅为例,进行对角半向量化GARCH模型的建模。将带有上证指数和上证50etf每天涨跌幅的数据集导入Stata15中,进行VAR(1)建模,并带ARCH(1)扰动项,对角半向量化GARCH模型的建模命令如下：mgarchdvech(shzetf=L.shzL.etf),arch(1)nolog（一)基于Stata的对角半向量化GARCH模型(DVECH)其中,字段“shz”是上证指数每天涨跌幅对应的数据,字段“etf”是上证50etf每天涨跌幅对应的数据,L.shz表示上证指数涨跌幅的一阶滞后项,L.etf表示上证50etf涨跌幅的一阶滞后项,带ARCH(1)扰动项,字段“nolog”是不显示迭代过程的命令,在命令框中运行此命令,得到的结果如图7-42所示。图7-42

DVECH模型结果Stata软件图7-42中,Sigma0那三行对应的就是方程(7.10)中的常数向量γ的估计值,可以看出,在5%的显著性水平下,系数都显著不为0;L.ARCH表示扰动项ARCH(1)的估计结果,1_1,2_1,2_2分别表示和的系数的估计结果,从图7-42可以看出,这三个系数都显著为正。图中“shz”一行表示以shz(即上证指数每天涨跌幅)为被解释变量,L1.shz、L1.etf为解释变量的方程,解释变量L1.shz、L1.etf的系数都是显著不为0的,根据图7-42中的结果,以上证指数涨跌幅为被解释变量,滞后一期的上证指数涨跌幅、滞后一期的上证50etf涨跌幅为解释变量所得到的方程为：以上证50etf涨跌幅为被解释变量,滞后一期的上证指数涨跌幅、滞后一期的上证50etf涨跌幅为解释变量所得到的方程为：但是两个方程的常数项都是不显著的(在5%的显著性水平下),因此,可以将常数项去掉,运行以下命令：mgarchdvech(shzetf=L.shzL.etf,noconstant),arch(1)nolog得到的结果如图7-43。图7-43不带常数项的DVECH模型结果Stata软件图7-43显示,不带常数项后,所有解释变量的系数都显著不为0(在5%的显著性水平下)。根据图中数据,以上证指数涨跌幅为被解释变量,滞后一期的上证指数涨跌幅、滞后一期的上证50etf涨跌幅为解释变量所得到的方程为：以上证50etf涨跌幅为被解释变量,滞后一期的上证指数涨跌幅、滞后一期的上证50etf涨跌幅为解释变量所得到的方程为：从图7-43中数据及上面两个方程可以看出,上证50etf的涨跌幅和滞后一期的上证指数涨跌幅有显著的正相关关系,即前一期上证指数上涨(下跌)时,当期上证50etf倾向于上涨(下跌)。对角半向量化模型待估参数仍然较多,接下来用常条件相关模型对数据进行拟合。数据集仍然是上例使用的数据集,包含2005年2月23日至2021年4月1日上证指数和上证50etf每天的涨跌幅,进行VAR(1)建模,并带ARCH(1)扰动项,常条件相关模型的建模命令如下:mgarchccc(shzetf=L.shzL.etf),arch(1)nolog上面命令语句中的字段代表的意思和前面对角半向量化GARCH模型命令语句基本一致,“ccc”表示使用常条件相关模型,上面命令在Stata15中运行得到的结果如图7-44所示。(二)

基于Stata的常条件相关模型(CCC)图7-44CCC模型结果Stata软件根据图7-44,以上证指数涨跌幅为被解释变量,滞后一期的上证指数涨跌幅、滞后一期的上证50etf涨跌幅为解释变量所得到的方程为:以上证50etf涨跌幅为被解释变量,滞后一期的上证指数涨跌幅、滞后一期的上证50etf涨跌幅为解释变量所得到的方程为:从图7-44可以看出,方程中的常数项系数均不显著(在5%的显著性水平下),因此,可以在执行建模命令的时候加上字段“noconstant”,不带常数项,命令如下mgarchccc(shzetf=L.shzL.etf,noconstant),arch(1)

nolog得到图7-45的结果,以上证指数涨跌幅为被解释变量,滞后一期的上证指数涨跌幅、滞后一期的上证50etf涨跌幅为解释变量所得到的方程为:以上证50etf涨跌幅为被解释变量,滞后一期的上证指数涨跌幅、滞后一期的上证50etf涨跌幅为解释变量所得到的方程为:图7-45不带常数项的CCC模型结果Stata软件由图7-45的结果可以看出,不带常数项之后,所有的系数都是显著的,图7-45中最后一行数据显示,上证指数涨跌幅和上证50etf涨跌幅的相关系数为0.91,且是显著的(在5%的显著性水平下),上证指数涨跌幅和上证50etf涨跌幅之间有显著的正相关关系,这意味着上证指数上涨(下跌)的时