计量经济学模型案例与软件操作 课件 第四章 时间序列计量经济模型

第四章

时间序列计量经济模型授课教师：所在学院：联系方式：最早的时间序列分析7000年前，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就构成所谓的时间序列。对这个时间序列长期的观察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律。当天狼星第一次和太阳同时升起的那一天之后，再过两百天左右，尼罗河就开始泛滥，泛滥期将持续七、八十天，洪水过后，土地肥沃，随意播种就会有丰厚的收成。“落泪夜”尼罗河泛滥期1月1日6月17日10月12月一般性总结按照时间的顺序把一个随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。1.AR模型的结构、定阶方法和建模流程。2.MA模型的结构和定阶方法。3.ARMA模型的结构和定阶方法。4.ARIMA模型的结构、建模和预测方法。5.协整的概念、协整检验和误差修正模型(ECM)的建模步骤。本章重难点内容：●AR模型原理、案例与软件操作●MA模型原理、案例与软件操作●ARMA模型原理、案例与软件操作●

ARIMA模型原理、案例与软件操作●

协整及误差修正模型原理、案例与软件操作

第一节AR模型原理、案例与软件操作

本节基本内容:●理论概述●案例分析及软件操作

一、理论概述

（一）模型结构

AR模型即自回归模型(autoregressionmodel)。该模型是基础模型，是常用的平稳序列的拟合模型之一，是随机游走模型的一个简单扩展。

该模型运用线性回归的方法将时间序列过去的时点进行线性组合，再加上白噪声序列，对当前时点进行预测，即每个时点都与前p个时点相关，所以称AR模型为自回归模型。具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)：

（一）模型结构

（二）模型定阶

在实际运用AR模型进行预测的时候，AR(p)

模型中的p是未知的，一般利用偏自相关函数(PACF)和自相关函数(ACF)来进行定阶。

AR模型对偏自相关函数截尾，偏自相关函数在p阶之后应为0，对自相关函数拖尾。其中，截尾是指快速收敛降为0，拖尾是指逐渐衰减为0。表4-1

AR(p)模型的性质检验统计量性质自相关函数(ACF)拖尾偏自相关函数(PACF)p阶截尾（三）模型建模流程获取数据平稳性检验模型选择模型定阶模型回归模型检验模型检验（预测）通过未通过

二、案例分析及软件操作

（一）数据来源和案例描述

【案例4-1】选取武汉市2019年1月共31天的每日平均气温为研究对象，数据来源于全国温室数据系统。我们希望利用目前的每日平均气温数据建立模型，根据所建立的模型去预测之后的每日平均气温。

（二）EViews操作过程1.导入观察值序列方法一：在刚打开EViews的时候，会弹出一个窗口，在“EViewsWorkfiles”模块中选择“OpenaForeignfile(suchasExcel)”，在弹出的文件窗口中选择自己的Excel数据。方法二：已经打开并使用了EViews，想要新建工作区，在EViews上方的任务栏中依次单击“File→Open→ForeignDataasWorkfile”，在弹出来的文件窗口中选择自己的Excel数据。2.平稳性检验AR模型建模的前提为时间序列是平稳时间序列。(1)图示检验法观察序列的时序图和自相关图，大致对序列平稳做出主观判断。如果时间序列的数值始终在一个常数附近随机波动，并且随机波动的范围有界，则可以初步判断该时间序列是一个平稳的序列。

在建立的Workfile窗口中，选择要检验的序列“x”，双击点开x，弹出Series窗口，单击“View→Graph”，弹出GraphOptions窗口，如图4-2。

默认其他选项，点击“OK”，得到时序图，点击“Freeze”，将时序图固定为Graph窗口保存，如图4-3所示。(2)单位根检验在建立好的Workfile窗口中，选择序列“x”，双击点开，会弹出一个Series窗口，在Series窗口上方的任务栏中依次单击“View→UnitRootTest”，会弹出一个UnitRootTest窗口，如图4-4所示。Level：对该序列进行单位根检验；1stdifference：对一阶差分后的序列进行单位根检验；2nddifference：对二阶差分后的序列进行单位根检验。Intercept：对存在截距项的时间序列进行检验；Trendandintercept：时间趋势和截距项；None：二者都不存在首先选择最复杂的情形“Trendandintercept”，观察时间序列中包含时间趋势项和截距项情形下的检验结果，如图4-5所示。在每次检验结果出现的Series窗口，点击Series窗口上方任务栏中的“Freeze”，将检验结果固定为一个Table窗口放在旁边，还可以在Table窗口点击“Name”，给检验结果表格命名，保存每次检验结果，方便比较不同检验结果。图4-5

在“Trendandintercept”情形下的单位根检验

第一，观察单位根检验结果。如果P值小于显著性水平0.05，则拒绝原假设，说明时间序列是平稳时间序列。P值TrendandinterceptInterceptNoneProb.*0.02690.00760.7509时间序列平稳平稳非平稳表4-2三种单位根检验结果具体情形AICSCHQTrendandintercept1.8570572.1450211.942684Intercept1.8458352.0858051.917191表4-3不同检验模型对应的AIC、SC、HQ信息准则值

第二，对比AIC、SC、HQ信息准则值，Intercept下最小，所以该时间序列是存在截距项的平稳时间序列，可以进行AR模型建模。3.模型定阶——滞后阶数的确定(1)观察ACF图和PACF图

在Series窗口中，在上方任务栏单击“View→Correlogram”，弹出窗口“CorrelogramSpecification”，如图4-6所示。

得到ACF图和PACF图，观察ACF图的拖尾和PACF图的截尾情况，大致判断滞后阶数的范围在1—3，如图4-7所示。图4-6创建ACF图和PACF图窗口图4-7时间序列的ACF图和PACF图(2)观察AIC、SC、HQ参考ACF图和PACF图得到的滞后阶数的范围，尝试用不同的滞后阶数进行建模，并对不同的模型结果进行比较。图4-8模型建模输入窗口Eviews：Quick→EstimateEquation在“Specification”的“Equationspecification”中输入模型，有两种输入方式。图4-10AR(3)模型的第一种输入的输出结果图4-9AR(3)模型的第一种输入方式x(-1)、x(-2)、x(-3)分别表示xt-1、xt-2、xt-3图4-11AR(3)模型的第二种输入方式图4-12模型输入方法的选择窗口“CLS”，即广义最小二乘法图4-10AR(3)模型的第一种输入的输出结果图4-13AR(3)模型的第二种输入的输出结果

对比两种方法，只有截距项对应的系数不同，其他都相同，故不同输入方法对模型判断无影响，只是模型方程书写形式不同。表4-4不同自回归模型的AIC、SC、HQ信息准则值比较

模型AICSCHQAR(1)2.0148812.1082942.044764AR(2)2.0495852.1910302.093884AR(3)2.0146152.2049302.072797

选择不同的滞后阶数1、2、3进行建模，比较不同的AR模型，观察每个模型滞后变量对应的系数是否显著。比较每个模型的AIC、SC、HQ信息准则值，选择信息准则值最小的模型。综合判断选择AR(3)模型，即确定模型的滞后阶数为3，具体如表4-4所示。4.模型回归与检验确定好模型阶数之后,用确定好的AR(3)模型对模型进行回归，进一步检验该模型的残差序列。(1)残差序列白噪声检验图4-14AR(3)模型的残差序列检验输入命令“predicte1,res”和“corrgrame1,lags(20)”，检验残差序列是否为白噪声序列。发现P值均显著大于0.05，这表明AR(3)模型可以充分提取时间序列的信息，如图4-14所示。(2)残差序列相关检验得到序列相关检验结果，如图4-16所示。观察“Obs*R-squared”对应的P值，P值大于显著性水平0.05，故不拒绝原假设，说明残差序列不相关。图4-15建模滞后阶数选择窗口图4-16残差序列相关检验结果在Equation窗口上方任务栏点击“View→ResidualDiagnostics→SerialCorrelationLMTest”，弹出LagSpecification窗口，输入滞后阶数，如图4-15。(3)残差异方差检验P值大于显著性水平0.05，则不拒绝原假设，即表明残差没有显著的异方差性。图4-17创建残差异方差检验窗口Eviews：View-ResidualDiagnostics-HeteroskedasticityTests图4-18残差异方差检验结果5.最终模型回归方程图4-19不同输入方式的自回归模型如果根据图4-19(a)来写模型回归方程,则是

如果根据图4-19(b)来写模型回归方程,则是

6.模型预测图4-20创建静态预测窗口在之前的Equation窗口,点击“Forecast”，弹出该窗口预测时间序列的名字Dynamicforecast：动态预测；Staticforecast：静态预测。观察图4-21，实线部分是预测值序列，上下两条虚线分别表示预测值95%的上下置信区间。RootMeanSquaredError（预测的均方误差）是0.5744，MeanAbsoluteError（绝对误差平均）是0.4526。可以看到误差结果其实比较大,说明模型对该时间序列的预测效果不是很好。图4-21静态预测结果静态预测动态预测图4-22扩大时间序列的时间范围图4-23创建动态预测窗口在Workfile窗口，双击“Range”，弹出WorkfileStructure窗口，改变“Startdate”和“Enddate”，扩大时间序列的范围区间，为动态预测做准备，如图4-22所示。动态预测图4-24动态预测结果日期平均气温(℃)2-13.232-23.242-33.242-43.25表4-5动态预测的平均气温

（三）Stata操作过程1.导入观察值序列方法一：将数据复制粘贴到Stata中。点击Stata上方任务栏中的图标“DataEditor(Edit)”,弹出数据编辑窗口,将数据复制粘贴进来,这里选择将数据第一行作为变量名,如图4-25。由于日期显示比较复杂,所以输入“gentime=_n”生成数字来表示时间顺序,再输入“tssettime”指定time为时间序列数据，如图4-25。方法一：图4-25复制粘贴导入观察值序列方法二：直接导入外部Excel数据。在Stata任务栏中依次点击“File-Import-Excelspreadsheet”，弹出ImportExcel窗口，选择准备好的Excel数据，勾选“Importfirstrowasvariablenames”，将第一行作为变量名，如图4-26。图4-26直接导入外部Excel数据2.平稳性检验图4-27时间序列的时序图从时序图中可以大致判断序列是平稳的。Stata：输入“tslinetemperature”或者“linetemperaturetime”，画出时序图。Stata：“dfullertemperature,trendlags(3)”由于P值小于显著性水平,所以拒绝原假设“时间序列含有单位根”,因此序列是包含截距项的平稳时间序列。图4-28时间序列的单位根检验3.模型定阶——滞后阶数的确定图4-29时间序列的自相关系数图图4-30时间序列的偏自相关系数图Stata：actemperatureStata：pactemperatureStata：如AR(3)模型,输入“arimatemperature,ar(1/3)”或“arimatemperature,arima(3,0,0)”,得到模型中的参数和检验值。再输入“estatic”,得到模型的AIC信息准则值。尝试用不同的模型进行拟合,参照EViews操作中的结果,选择AR(1)、AR(2)、AR(3)模型进行拟合,观察AIC信息准则值。图4-31AR(3)模型的拟合结果和AIC信息准则值4.模型回归与检验P值全都大于显著性水平0.05,故认为残差序列通过检验,充分提取了时间序列的信息。。Stata：输入“predicte1,res”,生成该模型的残差序列并命名为e1,再输入“corrgrame1,lag(10)”得到残差序列的Q检验结果,如图4-32。图4-32AR(3)模型残差序列的Q检验结果5.模型预测得到模型结构后,用AR(3)模型对武汉日平均气温进行预测。第一种,样本内预测。预测武汉市2019年1月1日至1月31日的每日平均气温,命令“predicttemperature_p1”,temperature_p1是用来存放预测值的变量序列名。第二种,样本外预测。预测武汉市2019年2月1日至2月5日的每日平均气温,首先用命令“tsappend,add(5)”扩展时间区间,增加5个观测值;再使用“predicttemperature_p2”得到样本外的一步预测值。输入“listtimetemperature_p2in-5/-1”查看武汉市2019年2月1日至2月5日每日平均气温的预测结果,如图4-33(a)。第三种,动态预测。在2019年1月1日至1月31日采用该序列的真实值进行预测,2月1日至2月5日采用动态预测。命令为“predicttemperature_p3,dynamic(31)”,其中dynamic()括号中的数字是从一步预测转换为动态预测的时间。输入“listtimetemperature_p3in-5/-1”查看2月1日至2月5日每日平均气温预测结果,如图4-33(b)。图4-33样本外预测和动态预测结果第二节MA模型原理、案例与软件操作

本节基本内容:●理论概述●案例分析及软件操作

一、理论概述

（一）模型结构

MA模型即移动平均模型(movingaveragemodel),该模型也是基础模型,是常用的平稳序列的拟合模型之一。MA模型不考虑历史数据,考虑的是随机误差,所以模型中随机变量Xt的取值xt与之前的序列值无关,而是与前q期的随机扰动项相关。具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型，简记为MA(q)：

（一）模型结构

（二）模型定阶

一般利用偏自相关函数(PACF)和自相关函数(ACF)来进行定阶。MA(q)模型对偏自相关函数拖尾,对自相关函数q阶截尾。表4-6MA(q)模型的性质

检验统计量性质自相关函数(ACF)q阶截尾偏自相关函数(PACF)拖尾

二、案例分析及软件操作

（一）数据来源和案例描述

【案例4-2】选取全国2017年1月至2019年3月的月度企业商品价格指数。我们希望利用目前的企业商品价格指数数据建立合适的模型,根据所建立的模型去预测之后的企业商品价格指数。

（二）EViews操作过程1.导入观察值序列图4-34导入外部Excel数据EViews：File→Open→ForeignDataasWorkfile→选择相应的Excel数据2.平稳性检验MA模型建模的前提为时间序列是平稳时间序列。图4-35时间序列的时序图观察序列的时序图,发现时间序列大致是平稳的。表4-7显示P值在“Intercept”情形下是小于显著性水平0.05的,所以序列是包含截距项的平稳时间序列。表4-7三种情形单位根检验P值TrendandinterceptInterceptNoneProb.*0.06220.04380.5477时间序列非平稳平稳非平稳3.模型定阶——滞后阶数的确定(1)观察ACF图和PACF图观察ACF图和PACF图，我们从主观上判断模型的滞后阶数为1-3。图4-36时间序列的ACF图和PACF图(2)观察AIC、SC、HQ参考ACF图和PACF图得到的滞后阶数的范围,选择滞后阶数1、2、3进行建模,再比较不同MA模型,观察每个模型滞后变量对应的系数是否显著。图4-37可以看出MA(3)模型中最后一项对应的系数是不显著的,其他两个MA模型系数都是显著的。再比较每个模型AIC、SC、HQ信息准则值,选择信息准则值最小的模型,综合判断选择MA(2)模型,具体如表4-8所示。图4-37不同的MA模型的模型系数表4-8不同MA模型的AIC、SC、HQ信息准则值比较表模型AICSCHQMA(1)1.5971851.6931721.625727MA(2)1.2342981.3782801.277111MA(3)1.2957631.4877391.3528484.模型回归与检验用确定好的MA(2)模型对模型进行回归，进一步检验该模型的残差序列。(1)残差序列白噪声检验可以发现P值均显著大于0.05,这表明MA(2)模型可以充分提取时间序列的信息。图4-38

MA(2)模型的残差序列检验(2)残差序列相关检验输入滞后阶数2，“Obs*R-squared”对应的P值大于显著性水平，说明残差序列是不相关的。图4-39MA(2)模型残差序列相关检验结果(3)残差序列异方差检验“Obs*R-squared”对应的P值大于显著性水平0.05,所以残差没有显著的异方差。图4-40MA(2)模型残差异方差检验5.最终模型回归方程

6.模型预测图4-41MA(2)模型的静态预测窗口图4-42MA(2)模型的静态预测结果预测的均方误差为0.4014，平均绝对误差平均为0.3270。动态预测步骤与AR模型部分一样，不再赘述。（三）Stata操作过程1.导入观察值序列将数据复制粘贴到Stata中。由于日期显示比较复杂,故输入“gentime=_n”生成数字表示时间顺序,再输入“tssettime”指定time为时间序列数据,如图4-43。图4-43导入观察值序列2.平稳性检验从时序图中可以大致判断序列是平稳的。Stata：输入“tslineprice”或者“linepricetime”画出时序图。图4-44时序图Stata：“dfullerprice,trendlags(3)”由于P值小于显著性水平,所以拒绝原假设“时间序列含有单位根”,因此序列是包含截距项的平稳时间序列。图4-45时间序列的单位根检验结果3.模型定阶——滞后阶数的确定Stata：acpriceStata：pacprice图4-46时间序列的自相关系数图4-47时间序列的偏自相关系数图Stata：如MA(3)模型,“arimaprice,ma(1/3)”或“arimaprice,arima(0,0,3)”,得到模型中的参数和检验值。再输入“estatic”,得到模型的AIC信息准则值。参照EViews操作结果,选择MA(1)、MA(2)、MA(3)模型进行拟合,观察AIC信息准则值。图4-48MA(2)模型的拟合结果和AIC信息准则值4.模型回归与检验P值全都大于显著性水平0.05,故认为残差序列通过检验,已经充分提取时间序列的信息。。Stata：输入“predicte1,res”,生成该模型的残差序列并命名为e1,再输入“corrgrame1,lag(10)”得到残差序列的Q检验结果,如图4-49。图4-49MA(2)模型的残差序列检验结果5.模型预测得到模型结构后,用MA(2)模型对我国月度企业商品价格指数预测。第一种,样本内预测。预测全国2017年1月至2019年3月的月度企业商品价格指数。【“predictprice_p1”,price_p1】第二种,样本外预测。预测全国2019年4月至2019年8月的月度企业商品价格指数,首先用命令“tsappend,add(5)”扩展时间区间,增加5个观测值;再用“predictprice_p2”得到样本外的一步预测值。输入命令“listtimeprice_p2in-5/-1”查看全国2019年4月至2019年8月的月度企业商品价格指数的预测结果,如图4-50(a)。第三种,动态预测。在2017年1月至2019年3月用序列的真实值预测,2019年4月至2019年8月采用递推预测。命令为“predictprice_p3,dynamic(27)”。输入命令“listtimeprice_p3in-5/-1”查看全国2019年4月至2019年8月的月度企业商品价格指数的预测结果,如图4-50(b)。图4-50样本外预测和动态预测结果第三节ARMA模型原理、案例与软件操作

本节基本内容:●理论概述●案例分析及软件操作

一、理论概述

（一）模型结构

ARMA模型即自回归移动平均模型(autoregressivemovingaverageModel),是研究平稳时间序列的重要模型。

该模型是以AR模型和MA模型为基础,将两个模型混合构成的。所以,随机变量Xt的取值xt不仅与之前的序列值有关,而且与前q期的随机扰动项有关。

模型简记为ARMA(p,q),其模型结构通常如下：

（二）模型定阶

ARMA模型对偏自相关函数拖尾,对自相关函数拖尾。表4-9ARMA(p,q)模型的性质检验统计量性质自相关函数(ACF)拖尾偏自相关函数(PACF)拖尾

二、案例分析及软件操作

（一）数据来源和案例描述

【案例4-3】选取全国2015年1月至2019年6月的月度企业所得税(单位:亿元)。我们希望利用目前的企业所得税数据找到合适的模型,根据所建立的模型去预测之后的企业所得税。

（二）EViews操作过程1.导入观察值序列EViews：File→Open→ForeignDataasWorkfile→选择Excel数据图4-51导入外部Excel数据2.平稳性检验观察序列时序图,大致做出主观判断,发现时间序列大致是平稳的。图4-52时间序列的时序图表4-10三种情形单位根检验

P值TrendandinterceptInterceptNoneProb.*0.00440.00160.5071时间序列平稳平稳非平稳表4-11不同检验情形对应的AIC、SC、HQ信息准则值具体情形AICSCHQTrendandintercept17.9315118.1609518.01888Intercept17.9352818.1264818.008093.模型定阶——滞后阶数的确定(1)观察ACF图和PACF图观察ACF图和PACF图，从主观上判断模型的滞后阶数为1-5。图4-53时间序列的ACF图和PACF图(2)观察AIC、SC、HQ参考ACF和PACF图得到的滞后阶数范围,选择AR和MA模型的不同组合进行AMRA的建模。ARMA(1,1)模型的输入方式如图4-54。图4-54ARMA(1,1)模型的输入方式表4-12不同ARMA模型的AIC、SC、HQ信息准则值比较表模型AICSCHQARMA(1,1)18.0973518.2088718.14024ARMA(1,3)17.9360018.1218818.00748ARMA(2,1)17.9945318.1446318.05207ARMA(3,2)17.6655117.8927817.75236建立了不同的ARMA(p,q)模型,其中系数都显著的模型有:ARMA(1,1)、ARMA(1,3)、ARMA(2,1)、ARMA(3,2)。再通过比较选择信息准则值最小的模型,综合判断选择ARMA(3,2)模型,如表4-12。4.模型回归与检验用确定好的ARMA(3,2)模型对模型进行回归，进一步检验该模型的残差序列。(1)残差序列白噪声检验图4-55ARMA(3,2)模型残差序列白噪声检验(2)残差序列相关检验图4-56ARMA(3,2)模型残差序列相关检验结果(3)残差序列异方差检验图4-57ARMA(3,2)模型残差异方差检验结果5.最终模型回归方程6.模型预测图4-58ARMA(3,2)模型静态预测结果（三）Stata操作过程1.导入观察值序列图4-59导入观察值序列2.平稳性检验从时序图中可以大致判断序列是平稳的。Stata：“tslinetax”或“linetaxtime”图4-60时序图图4-61时间序列的单位根检验结果Stata：“dfullertax,trendlags(3)”P值小于显著性水平,拒绝原假设,故序列是包含截距项的平稳时间序列。3.模型定阶——滞后阶数的确定Stata：actaxStata：pactax图4-62时间序列的自相关系数图4-63时间序列的偏自相关系数Stata：如ARMA(3,2)模型,“arimatax,ar(1/3)ma(1/2)”或“arimatax,arima(3,0,2)”。参照EViews结果，选择ARMA(1,1)、ARMA(1,3)、ARMA(2,1)、ARMA(3,2)这些系数显著的进行拟合,观察AIC信息准则值。图4-64ARMA(3,2)模型的拟合结果和AIC信息准则值4.模型回归与检验图4-65ARMA(3,2)模型的残差序列检验结果5.模型预测用ARMA(3,2)模型对我国月度企业所得税进行预测。第一种,样本内预测。预测我国2015年1月至2019年6月的月度企业所得税。【“predicttax_p1”,tax_p1】第二种,样本外预测。预测我国2019年7月至2019年11月的月度企业所得税。【“tsappend,add(5)”-“predicttax_p2”-“listtimetax_p2in-5/-1”】如图4-66(a)。第三种,动态预测。2015年1月至2019年6月采用该序列的真实值进行预测,2019年7月至2019年11月采用递推预测。【“predicttax_p3,dynamic(54)”-“listtimetax_p3in-5/-1”】如图4-50(b)。图4-66样本外预测和动态预测的预测结果第四节ARIMA模型原理、案例与软件操作

本节基本内容:●理论概述●案例分析及软件操作

一、理论概述

（一）模型结构

前面介绍了平稳时间序列模型，而在实际生活时间序列数据大多是非平稳的,对非平稳时间序列的分析分为随机分析和确定性分析,这些分析首要步骤都是要提取出时间序列的确定性信息。

差分运算被认为是一种较简便的可以充分提取确定性信息的方法,对差分后平稳序列建立的ARMA模型就是此节介绍的ARIMA模型。ARIMA模型即自回归移动平均模型(autoregressiveintegratedmovingaveragemodel),简记为ARIMA(p,d,q),其中p和q分别表示自回归项数和移动平均项数,d表示差分阶数。

其模型结构通常如下：其中，Φ(B)=(1-ϕ1B-ϕ2B2-…-ϕpBp),Θ(B)=(1-θ1B-θ2B2-…-θqBq),与前面提到的一样,分别为自回归系数多项式和移动平均系数多项式;Δdxt=(1-B)dxt则表示d阶差分。

同时,上述模型与ARMA模型一样必须满足以下条件:(1)误差项序列是一个均值为0、方差为σε2的白噪声序列。E(εt)=0,Var(εt)=σε2,E(εtεs)=0,s≠t(2)当期误差项与序列过去的数值无关。E(xsεt)=0,∀s<t

特别地,ARIMA模型实际上是ARMA模型与差分相结合而成的,当差分阶数d为0时,ARIMA(p,d,q)其实是ARMA(p,q)模型,当自回归项数p=0时,ARIMA(p,d,q)模型记为IMA(d,q)模型,当移动平均项数q=0时,ARIMA(p,d,q)模型记为ARI(p,d)模型。

对于ARIMA模型,在实际应用时并不是模型中所有系数都能取到非零值。当有些系数存在缺失时,即∃ϕi=0(1≤i≤p)或∃θj=0(1≤j≤q)时,该模型被称为疏系数模型。

模型记法如下:

若∃ϕi=0(1≤i≤p),则记为ARIMA((p1,…,pm),d,q),p1,…,pm是自回归系数不为0的阶数;

若∃θj=0(1≤j≤q),则记为ARIMA(p,d,(q1,…,qn)),q1,…,qn是移动平均系数不为0的阶数;

若以上两种情况都包含的话,则记为ARIMA((p1,…,pm),d,(q1,…,qn)),p1,…,pm,q1,…,qn是系数不为0的阶数。（二）模型建模与预测图4-67ARIMA模型建模流程

对使用最小均方误差预测原理来进行ARIMA模型的预测,对预测值的推导如下:

ARIMA模型的结构为

可以将其表示为

其中,ψ(B)=1+ψ1B+ψ2B2+…,记Φ(B)(1-B)d=1-ϕ1B-ϕ2B2-…,由此容易得到ψ1,ψ2,…取值的递推公式。xt+l的真实值为

由于t期之后的误差是无法获得的,因此xt+l的估计值只能为如下式子所示该预测的均方误差为要使得均方误差最小,则需Ψ'j=Ψl+j,所以可得l期的预测值

二、案例分析及软件操作

（一）数据来源和案例描述

【案例4-4】本案例主要介绍如何对我国国民收入序列进行ARIMA建模,使用的数据为我国1978—2020年的国民总收入年度数据,数据来源于国家统计局网站。

（二）EViews操作过程1.平稳性检验EViews：View-Graph图4-68绘制时序图的对话框图4-69我国1978—2020年国民总收入(GNI)的时序图观察图4-69,国民总收入呈现出指数上升趋势,显然不平稳。我国1978—2020年国民总收入(GNI)序列是非平稳的。图4-70绘制相关图的对话框EViews：双击序列名gni-View-Correlogram图4-71我国1978—2020年国民总收入(GNI)的相关图图4-72命令窗口我国国民总收入呈现指数上升趋势,为了降低这种指数上升趋势带来的影响,对GNI序列进行取对数处理。图4-73对数序列LNGNI的时序图图4-74对数序列LNGNI的相关图将原始GNI序列取对数后,国民收入变化趋势由原来的指数上升变成线性上升,序列LNGNI仍非平稳。为将该非平稳序列转换成平稳序列,接下来进行差分处理。2.差分平稳化可以初步判断差分后序列DLNGNI是平稳的。EViews：一阶差分：genrdlngni=d(lngni)二阶差分：genr新序列名=d(原序列名,2)图4-75对数差分后序列DLNGNI的时序图图4-76对数差分后序列NI的相关图EViews：点击DLNGNI-View-UnitRootTest双击LNGNI-View-UnitRootTest图4-77单位根检验对话框选择对哪个序列进行检验检验方程的形式滞后阶数选择由图中结果可知该序列不存在单位根,序列是平稳的。图4-78序列DLNGNI的单位根检验结果3.白噪声检验（随机性检验）平稳性检验之后,还要对序列进行白噪声检验。由图4-76可知,Q统计量对应的P值都小于0.1,拒绝原假设,认为该序列是非白噪声序列。图4-76对数差分后序列NI的相关图4.模型定阶与参数估计由图4-76,除了1阶自相关系数在两倍标准差之外,其余都在两倍标准差之内。延迟1阶偏自相关系数在两倍标准差之外,延迟2阶和4阶时与两倍标准差十分接近。综上,考虑使用以下模型拟合:

ARMA(1,1),MA(1),AR(1),AR(4),AR(1,2,4)。图4-76对数差分后序列NI相关图图4-79参数估计对话框图4-80进行相关设置的对话框在EViews10

得到的是极大似然法估计的结果要进行最小二乘估计,需要如下设置图4-81ARMA(1,1)模型参数估计结果图4-82MA(1)模型参数估计结果AR(1)、AR(4)、AR(1,2,4)模型参数估计结果5.模型检验对拟合模型的参数显著性进行检验。观察前面参数估计结果最后一行的“InvertedARRoots”和“InvertedMARoots”值，其值均小于1,说明这些模型都是平稳的。再关注图中各参数估计值对应的t统计量和P值,发现ARMA(1,1)、MA(1)、AR(1)和AR(4)模型的参数估计值对应的P值均小于0.1,可以拒绝原假设,即参数是显著的,而AR(1,2,4)模型中有两个参数的P值大于0.1,这两个参数不显著。ARMA(1,1)模型残差白噪声检验结果MA(1)模型残差白噪声检验结果模型显著性检验图4-88AR(1)模型残差白噪声检验结果图4-89AR(4)模型残差白噪声检验结果由图知，残差序列各阶数的p值都大于0.05（有些只有少量p值小于0.05）,故可以认为这四个模型显著有效。6.模型优化通过上述分析,ARMA(1,1)、MA(1)、AR(1)和AR(4)模型通过参数显著性检验和模型整体显著性检验。接下来要利用AIC准则和SBC准则判断相对最优拟合模型。AIC值和SBC值越小越好。表4-13模型的比较结果模型R2调整R2AIC准则SBC准则ARMA(1,1)0.5481590.524378-3.427086-3.301702MA(1)0.4890690.476295-3.375053-3.292307AR(1)0.4511240.437050-3.281323-3.197734AR(4)0.5695760.517403-3.330885-3.1154137.模型结构上述对一阶差分后序列DLNGNI的ARMA(1,1)建模,实际上是对原序列建立ARIMA(1,1,1)模型。EViews10的输出格式是表示对序列(ΔLNGNIt-0.1311)进行ARMA建模,故该模型的表达式如下：8.模型预测用ARIMA(1,1,1)模型拟合1978年至2020年的国民总收入,并进行相应的预测分析。本案例选择静态预测,且是样本内预测。图4-90静态预测结果预测的均方误差:0.040532,平均绝对误差:0.033497,平均相对误差绝对值:0.303442,泰尔不等系数:0.001761。动态预测图4-91动态预测结果EViews：先扩展时间区间,输入“expand19782025”点击新对象“lngniff”,可以看到模型对国民总收入对数序列1980-2025年的预测值(图4-92),将其进行指数运算得到原始序列的预测值。图4-92动态预测后五期的结果（三）Stata操作过程1.平稳性检验点击“File→Import→Excelspreadsheet”导入数据,数据主要变量包括“time=1978—2020,gni=国民总收入”。用命令“tssettime,yearly”将变量“time”设为时间变量,再绘出国民总收入时序图,命令为“tslinegni”或“linegnitime”。可知我国国民总收入序列具有指数上升趋势,对GNI进行对数处理,命令为“genlngni=ln(gni)”,然后绘制新生成对数序列LNGNI的时序图与自相关图。自相关图命令为“aclngni”。2.差分平稳化Stata：一阶差分：gendlngni=D.lngni二阶差分：gen新变量=D2.变量图4-93一阶差分序列DLNGNI的时序图图4-94一阶差分序列DLNGNI的单位根检验结果进一步进行单位根检验,事先根据Schwert(1998)建议的最大滞后阶数pmax=[12·(T/100)1/4]算出最大滞后阶数为9,然后按滞后阶数从大到小的序贯规则进行检验,直至序列为平稳序列。输入命令“dfullerdlngni,trendlags(3)”进行检验。由图4-94，检验统计量的值小于5%和10%显著性水平下的临界值,故可以拒绝原假设,判定得出该序列是平稳序列。3.白噪声检验由图4-95,对所有延迟阶数的Q统计量,其检验p值都小于0.1,故可拒绝原假设,判定序列为非白噪声序列。图4-95序列DLNGNI的相关系数及Q统计量Stata：corrgramdlngni,lags(20)4.模型定阶图4-96序列DLNGNI的自相关图图4-97序列DLNGNI的偏自相关图考虑使用以下模型对序列DLNGNI进行拟合:ARMA(1,1)、MA(1)、AR(1)、AR(4)、AR(1,2,4)5.模型估计与检验首先估计ARMA(1,1)模型,可以使用命令“arimadlngni,ar(1/1)ma(1/1)nolog”或“arimalngni,arima(1,1,1)nolog”。如图4-98所示【arimadlngni,ar(1/1)ma(1/1)nolog】。图4-98ARMA(1,1)模型的参数估计结果再进行模型显著性检验,如图4-99【predicte1,res（生成该模型残差序列e1）→corrgrame1,lags(20)（查看e1的Q统计量）】最后计算模型的信息准则，如图4-100【estatic】图4-99ARMA(1,1)模型的Q统计量图4-100ARMA(1,1)模型的信息准则图4-101MA(1)模型的参数估计结果arimadlngni,ma(1/1)nolog图4-102MA(1)模型的Q统计量图4-103MA(1)模型的信息准则MA(1)模型图4-104AR(1)模型的参数估计结果arimadlngni,ar(1/1)nolog图4-105AR(1)模型的Q统计量图4-106AR(1)模型的信息准则AR(1)模型图4-107AR(4)模型的参数估计结果arimadlngni,ar(1/4)nolog图4-108AR(4)模型的Q统计量图4-109AR(4)模型的信息准则AR(4)模型图4-110AR(1,2,4)模型的参数估计结果arimadlngni,ar(124)nolog该模型有两个参数检验P值大于0.1,没有通过系数显著性检验,因此淘汰该模型。AR(1,2,4)6.模型优化表4-14模型估计与检验结果汇总模型参数显著性检验模型显著性检验AICBICARMA(1,1)通过通过-141.5308-134.5801MA(1)通过通过-137.5838-132.4431AR(1)通过通过-136.1687-130.9557AR(4)通过通过-140.1133-129.6873AR(1,2,4)未通过———7.模型结构（模型结构写法与EViews操作介绍中的一致）8.模型预测用ARIMA(1,1,1)模型来对我国国民总收入进行预测。第一种,样本内预测。预测我国国民总收入对数差分序列1978—2020年的预测值。【“predictdlngni_1”,dlngni_1】第二种,样本外预测。预测我国2021—2025年的国民总收入。【“tsappend,add(5)”-“predictdlngni_2”】第三种,动态预测。在2020年及以前采用该序列的真实值进行预测,2021年及以后的预测值采用递推预测。【“predictdlngni_3,dynamic(2020)”】图4-111DLNGNI序列2021年至2025年的预测结果Stata：listtimedlngni_2dlngni_3in-5/-1以上预测是对序列DLNGNI进行的预测,要得到原始序列的预测值,还需要对其进行还原。此外,也能用命令“predictflngni,y”对未差分序列预测。注意：如果要对未差分序列LNGNI进行预测,在对ARMA(1,1)模型进行参数估计时要使用“arimalngni,arima(1,1,1)”,并且预测只能得到样本外一步预测值。第五节

协整及误差修正模型原理、案例与软件操作

本节基本内容:●理论概述●案例分析及软件操作

一、理论概述

（一）协整的概念

为了避免伪回归出现,人们通常选择对平稳序列进行建模,或将非平稳序列通过差分、取对数等手段化为平稳序列,再建模。而协整概念的提出使得非平稳时间序列在一定条件下也能建模。在对序列{yt}进行平稳性检验时,若序列是平稳的,则称之为零阶单整,记为{yt}~I(0)；若序列是非平稳的,需要经过d阶差分才能转化为平稳序列,则称该序列是d阶单整序列,记为{yt}~I(d)。协整指的是两个及以上非平稳序列经过某种线性组合之后的序列是平稳的序列,此时我们就称这些非平稳序列之间具有长期均衡关系,即协整关系。假设有两个一阶单整序列{y1t}、{y2t},如果满足αy1t+βy2t~I(0),则称这两个序列是协整的,且称(α,-β)为协整系数。注意：协整需满足以下条件:①

变量序列是非平稳的；②

变量是同阶单整的。

（二）协整检验常见的协整检验方法有Engle-Granger两步法检验(EG两步法)和Johansen协整检验。后者是针对两个以上变量的协整检验,因此在本节内容中,仅介绍EG两步检验方法。假设变量序列{xt}、{yt}均为一阶单整序列,EG检验的假设条件为原假设H0：两个变量序列之间不具有协整关系;备择假设H1：两个变量序列之间具有协整关系。EG两步法具体步骤如下:第一步，构建协整回归模型,并使用OLS法进行参数估计。OLS估计后得到

第二步，对回归的残差序列进行平稳性检验。回归后,对残差序列{εt}进行ADF单位根检验,检验该序列的平稳性。若残差序列是平稳的,则接受EG检验的原假设,即变量yt与xt存在协整关系,反之不存在。

注意：EG检验中对残差序列进行ADF检验,其ADF统计量的临界值与一般ADF单位根检验的临界值不同,需要查阅协整检验临界值表来判断残差平稳性。

（三）误差修正模型(ECM)及建模步骤

误差修正模型最早是由Sarger(1964)提出的，误差修正模型的基本形成是在1978年由Davidson、Hendry、Srba和Yeo提出的，因此又称为DHSY模型。变量之间存在协整关系说明变量间存在长期稳定的均衡关系，这种长期均衡关系的形成是因为存在一种调节机制，即误差修正机制能够调整对长期均衡的偏离。

根据Engle与Granger(1987)提出的Granger表述定理,若变量之间存在协整关系,则它们之间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述。

假设有两个非平稳序列{xt}、{yt},以yt的(1,1)阶自回归分布滞后模型为例,介绍误差修正模型构造，如下：

其中，λecmt-1表示误差修正项，λ表示修正系数，其取值一般在-1到0之间。当t-1期yt-1正向偏离长期均衡时，ecmt-1为正，λecmt-1为负，使得Δyt减少，由此可看出误差修正项是负反馈机制。建立误差修正模型的步骤:(1)建立长期关系模型。(2)建立短期动态关系。

二、案例分析及软件操作

（一）数据来源和案例描述

【案例4-5】本案例主要介绍如何对我国能源消费量序列与国内生产总值序列进行协整检验以及建立误差修正模型,使用我国2000—2020年的能源消费量与国内生产总值的年度数据,数据来源于国家统计局网站。

（二）EViews操作过程1.平稳性检验图4-112我国2000—2020年国内生产总值对数序列的时序图图4-113我国2000—2020年能源消费量对数序列的时序图序列LEN和L