考研数学二（行列式）模拟试卷17

考研数学二（行列式）模拟试卷17

一、选择题（本题共2题，每题7.0分，共2分。）

1、设A,B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是（）。

A、|A+B|=|A|+|B|

B、若|AB|=O,则A=O或B=O

C>|A-B|=|A|-|B|

D、|AB|=|A||B|

标准答案：D

知识点解析：A,C显然不对，设M0）M显然A,B都是非零矩阵，

但AB=O,所以|AB|=O,B不对，选D。

2、设ai,a2,a3,Bi,B2都是思维列向量,fl.|A|=|ai,a2,a3,B।|=m,|B|=|ai,a2,B2,a3l=n,RJ

|aj,a2，ai,B1+B2I为（）o

A^m+n

m-n

C、-（m+n）

D^n-m

标准答案：D

知识点解析：图，H2，anBj+B2l=|a3>apBi|+|as，a2,ai,B2l=-|ai，ai，as，

B]|-|ai,a2，a3，B2I="|ai»33,B||+|ai,a2»B2,as|=n-m

二、填空题（本题共4题，每题1.0分，共4分。）

12345

77733

32452

33322

3、设D=46523，则A31+A32+A33=.

标准答案：0

知识点解析：A31+A32+A33=A3]+A32+A33+OA34+OA35=

1234512345

7773300033

11100=11100=0

3332200022

4652346523

4、设A,B都是三阶矩阵,A相似于B,且|E・A|=|E-2A|二E-3A|=0,则出一

1+2E|=.

标准答案：60

111

知识点解析:因为旧・A|=|E-2A|=|E-3A|=0,所以A的三个特征值为3'2''又A〜

111

B,所以B的特征值为3'2''从而B」的特征值为1,2,3,则B/+2E的特征值为

3,4,5,故|B」+2E|=60.

5、设A为三阶正交阵，且|A|V0,|B-A|=-4,则IE-AB]=.

标准答案：-4

知识点解析：由|A|V0推出|A|二1,|E-ABT|=|AAT-ABT|=|A||(A-B)T|=-|A-B|=|B-A|=-4

6、设A为n阶矩阵，且|A|=a，0,则|(kA)*仁.

标准答案：kMn-%n-l

知识点解析：因为(kA)*=kn/A：且|A*|=|A/」,所以|(kA)*|=|kn・lA*|=kn(n・l)|A严与如

三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

7、设A是正交矩阵，且|A|V0,证明：|E+A|=0.

标准答案：因为A是正交矩阵，所以ATA二E,两边取行列式得陵2|=1,因为|A|V0,

所以|A|=-1.Fft|E+A|=|ATA+A|=|(AT+E)A|=|A||AT+E|=-|AT+E|=-|(A+E)T|=-|E+A|,W

|E+A|=0.

知识点解析：暂无解析

8、设A=(aij)nxn是非零矩格且|A件每个元素aij与其代数余子式Aij相等。证明：|A|和.

标准答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零

行,则|A|=akiAki+ak2Ak2+...+aknAkn=4+"、+…>0.

知识点解析：暂无解析

b

b

9、计算b

标准答案:

方法一

=<a+b)”

0a-6

方法二

加t—:211z

Dt,=a'D6D2W-J=(a—bID?.-?==(a-bY,

知识点解析：暂无解析

1+a,11

1+口2

产0,i=1,2,…

10、计算11…1+a.

标准答案:

+a・-|D・T)

=。]。2…a・7+…。吁2。・+a.a._|D.T

--------------1----------------F…+-f-a.a.-i•••a2(l+a1)

=。/2…a.（1十七工）•

'HaJ

知识点解析：暂无解析

010-0

002…0

••••

D=•••♦•，求A”4-A>2+・・・+A8

000n-]

11、设n00―0*

010―0

10­••0

002―0

•••*02-0

令A=•••*•••.C=(n)

•••

000•••n-1

00…—1

n00•••0

标准答案：lAl=.l）i

•••1

00007

100•••00

力，由AT=(°C1

则A=00•••00f

of4O卜~2

*•■••

••.*••*•

1

000•••0

n-1

/_1>，+1

得A・=|A|A-'=(-1)・+、！A-\所以A“+A“+…+AH=-^-7—

知识点解析：暂无解析

(A*E)T6阵，且A~B,X1]=1,入2=2,为A的两个特征值，|B|=2,求

O(2B),

标准答案：因为A〜B,所以A,B特征值相同，设另一特征值九3,由电|=入伍2入3=2,

j_1JL

得九3=1，A+E的特征值为2,3,2,(A+E)」的特征值为万则I(A+E)"|=0