考研数学二（二次型）模拟试卷3

考研数学二(二次型)模拟试卷3

一、选择题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

2-1

4=-I2

1、设矩阵I-1一】

则A与B()

A、合同，且相似.

B、合同，但不相似.

C、不合同，但相似.

D、既不合同，也不相似.

标准答案：B

知识点解析：本题考查实对称矩阵相似、合同的概念以及判断的方法.事实上，

两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是，它们有相同的特征值及对应的重数；而两

个同阶实对称矩阵合同的充要条件是，它们有相同的秩和相同的正惯性指数.由

此可知相似的实对称矩阵必合同.所以选项C肯定错.为判别其他选项，求矩阵

A-21I

|AE-41=IA-2I=A(A-3)2

A的特征值即可.因为।।A-2即矩阵A的特征值为3,

3,0,而矩阵B的特征值为1,1,0,所以矩阵A与B不相似；但A与B的秩均

为2,正惯性指数也都是2.所以它们是合同的.总之.选项B正确.

则A与B()

C、不合同但相似.

D^不合同且不相似.

标准答案：A

知识点解析：本题考查实对称矩阵相似、合同的判定.所用的知识点是：任给实对

称矩阵A,总存在正交矩阵Q,使得Q!AQ=QTAQ=A.其中对角矩阵A主对角

线上的元素是A的特征值；Q是正交矩阵=Q'=QT.显然A是实对称矩阵，且

特征值为4,0,0,0.故存在正交矩阵Q,使得Q'AQ=QTAQ=B.因此选A.

3、设A,B为同阶可逆矩阵，则()

A、AB=BA.

B、存在可逆阵B,使P'AP=B.

C＞存在可逆阵C,使CTAC=B.

D、存在可逆阵P和Q,使PAQ=B.

标准答案：D

知识点解析：本题主要考查的知识点为矩阵相似、合同、等价、交换等概念.用排

AJ1°]

除法解此题.矩阵的乘法不满足交换律.事实上，令【02j[\易知

A,B均可逆，但AB#BA,排除选项A.注意到矩阵A与B的特征值不一定相

同.故A与B不一定相似，排除选项B；若A是对称矩阵，B为非对称矩阵，知

A与B不合同，排除选项C.故选项D正确.

二、填空题（本题共5题，每题L0分，共5分。）

4、二次型f（X],X2，X3）=（X]+X2）2+（X2—X3）2+（X3+XI）2的秩为

标准答案：2

知识点解析：木题考查二次型的秩的概念及矩阵秩的求法.二次型f（x）=x'「Ax的秩

为rA.由于f(X],X2，X3)=2X]2+2X22+2X32+2X1X2+2X1X3-2x2X3的矩阵为

2ii]Pioo-

A=12-I4-*0I0

T21对A施以初等变换得|_000」从而「(A)=2.即二次型的秩为

2.

5、己知二次型f（xi，X2，X3）=5X|2+5X22+CX32-2X]X2+6X|X3-6X2X3的秩为2,则常

数c=.

标准答案：3

知识点解析：本题考查二次型秩的概念及当矩阵的秩小于矩阵的阶数时其行列式为

5-I3,

4=-15-3.

零.由于二次型f的矩阵为37J由r（A）=2,知IAI=0,解得c=3.

6、设二次型f（X|,X2，X3）=X，+2X]X2+2X2X3，则f的惯性指数为.

标准答案：2

知识点解析•：用配方法?Ef（Xl，X2,X3）化成标准形，或求出特征值，正特征值个数

即为正惯性指数.利用配方法化二次型为标准形.f=X]2+2x|X2+2X2X3

=Xr+2x1X2+X2-（X2—2X2X3）=（xI+X2）一（X2-X3）+X3~=yI-y2+y3,其中y1

由于这个线性变换是可逆

的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2.

7、已知实二次型f(xi，X2，X3)=a(x/+x22+x32)+4x|X2+4xiX3+4x2X3经正交变换

x=Py可化成标准形f=6yi2,则a=.

标准答案：2

知识点解析：本题考杳二次型对应的对称矩阵A的特征值与二次型的标准形

f=6y『的系数之间的关系.注意二次型经正交变换化成的标准形的系数是二次型

对应的对称矩阵A的特征值，并且A的特征值的和等于A的迹WA.由于二次型

a22'

A=2a2,

f(xj,X2，X3)=a(xj+X22+X32)+4X1X2+4X1X3+4X2X3的矩阵2'2且矩阵A的

特征值为6,0,0.于是3a=6,所以a=2,故填2.

8、若二次型f(xi，X2，X3)=2xJ+X22+X32+2x]X2+lX2X3正定，则t的取值范围是

标准答案：-y?uq/?，

知识点解析•：本题考查正定二次型的判定方法.注意正定二次型对应的对称矩阵A

是正定矩阵.A是正定矩阵—A的各阶顺序主子式全为正.由于二次型f(xi，x2,

X3)=2XI2+X22+X32+2XIX2+IX2X3的矩阵

•21O-

4二Z■

oyI

所以，有。尸2＞04=J；；=1＞0,仇=|4|=1-40.解得-&＜，＜".故应填-々口＜"

三、解答题(本题共40题，每题1.0分，共40分。)

已知二次型f(xi，X2,X3)=4X22-3X32+4X1X2-4X1X3+8X2X3.

9、写出二次型f的矩阵表达式；

11、已知二次型f(x],X2，X3)=2X12+3x22+3x32+2ax2X3(a>0),通过正交变换化为标

22

准形f=yr+2y2+5y3,求参数a及所用的正交变换的矩阵.

200I00

A=03a.s=020

标准答案：二次型f及标准形的矩阵分别为L°。30°引由于A与B

20o-

A=032

23」属于特征

相似，有IAI二IBI,即a=±2.因a>0,故a=2,于是0

o

0

0

值入产1,入2=2.入3=5的特征向量分别为这3个特征向量

&^

22-

%

立

22-

■■

己互相正交，再单位化，得故所用的正交变换的矩阵

■0I0■

g0亘

P=22

知识点解析：本题主要考查如何用正交变换化二次型为标准形，矩阵特征值、特征

向量的求法.利用二次型在正交变换下的不变量求出a的值，然后用常规方法求出

正交矩阵.

12、设二次型f=x|2+x2?+x32+2axiX2+20X2X3+2x]X3经正交变换x=Py化成产

22

f=y2+2y3,其中x=(xi，X2,X3,和y=(yi，y2,y"者K是3维列向量，P是3阶正

交矩阵.试求常数a,P.

-1af

A=a1B

标准答案：二次型f(xi，X2,X3)的矩阵为L'B1因为P为正交矩阵，所以

00O'

PrAP=P'AP=010

-0021即A与B相似，故A与B有相同的特征值入尸0,入2=1，

九3=2,这些特征值满足I九E—AI=0.当初=0,则

-1一a-1

IOE-A|=-a-I-/3=(a-/3)2=0.(1)

-1-6—i

当％=1,则

0-ct-1

IE-A|=-a0-6=~2a)9=0.(2)

-1-B0

由式⑴和(2),可求得a=B=O.

知识点解析：本题主要考查二次型在正交变换下的不变量.令二次型f（X],X2,X3）

的矩阵为A,由标准形f=y2?+2y32,知人的特征值为0,1,2,代入人的特征方

程,求得a,p.

设二次型f（X|,X2，X3）=xTAx=ax/+2x22—2X32+2bX|X3（b>0）,其中二次型的矩阵

A的特征值之和为I,特征值之积为一12.

13、求a,b的值;

a0b

A=020

标准答案：二次型f的矩阵为L°设A的特征值为无（仁1,2,3）.由题

a0b

2

A,A2A）=020=-4a-26=-12

设，有Q+入2+，3=a+2+（—2）=1,*°-2.解得户],b=2.

知识点解析：暂无解析

14、利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩

阵.

A-I0

IAE-A|=0A-20=(A-2)2(A+3)

标准答案：由矩阵A的特征多项式-20A+2得A的特

征值入1=入2=2,入3=一3.对于无=入2=2,解齐次线性方程组（2E—A）x=0,得其基础

解系0=（2,0,1）T,及=（0，1，0）T.对于入3二-3,解齐次线性方程组（一3E—

A）x=0,得基础解系43=（1，0，-2）二由于白，&2，T已是正交向量组，为得到

规范正交向量组，只需将3，々，43单位化，由此得

2I1

后0n后

Q=（7,小，小）=0I。

/,•啥）产田,令矩阵

°-j.则Q

200

QT4Q=020,

为正交矩阵，在正交变爽x=Qy下，有1。°.3」且二次型的标准形为

f=2yi2+2y22—3y32.

知识点解析：本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，特征值与特征向

量的计算与性质.首先写出二次型f的矩阵A,利用特征值与行列式、迹之间的关

系，求出a,b的值.此时该题成为一道常规题了.

0100-

1000

人=0

0yI

设矩阵0I2.

15、已知A的一个特征值为3.试求y；

标准答案：由拉普拉斯展开定理，得

A-I00

।AE-AI==(A?-l)[(A-y)(A-2)-l]=0.

00A-y-I

ooA-2把入=3代入，解得y=2.

知识点解析：暂无解析

16、求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.

01001,「1000­

…0000I00

0021=0054

0

标准答案：注意到(AP)T(AP)=pTA?P,其中10I2JLO045」矩阵人2

的特征方程为IXE—A2I=(1-入)3(9—九)=0,解得A3的特征值为入1=入2=入3=1，

M=9.再分别求出对应于它们的特征向量：

V产

个特征向量已经互相正交，再单位化，得

1000'

0]00

令P=(%,%,小，.4)=o0■iA则有

11

00万片」「I

000'

(AP)T(AP)=PTA2P=0100

0010

Lo009.

知识点解析：本题主要考查特征值、特征向量的概念与求法，用正交变换把实对称

矩阵化为对角矩阵的方法.行列式的计算.将1=3代入方程IXE-AI=0,求出y

的值，然后求出A「A,利用常规方法求正交矩阵P,使PT(ATA)P为对角矩阵.

已知实二次型f(xi，X2,X3)=xTAx的矩阵A满足m：A)二一6.AB=C,其中

・r・

110-12

2-I,C=012

1110-12

17、用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换;*

标准答案：由题设AB二C,得由此知入1=0,

T

九3二一12是A的特征值，ai=(l,2,1),a2=(i,-1,1产分别是对应的特征句

量.设A的第3个特征值为入3，由九1+入2+入3=lr(A尸一6,得九3二6,再设A的对应

于入3=6的特征向量为Ct3=(xi，X2，X3)T,则由入1，入2，入3互异，有

64=0,即广+2x?f=0.

解得。3=(—1,0,1)「将由..单位化得

，‘用得「啮:

令P=(pi，P2，P3)：则x=Py为所求的正交变换,

将f=-12y22+6y32.

知识点解析：暂无解析

18、指出方程f(xi，X2,X3)==l表示何种曲面;

标准答案：由(1)知f(xi，X2，X3)=l的标准方程为一12y2?+6y22=l，故f(xi，x：,

x3)=l表示双曲柱面.

知识点解析：暂无解析

19、求出该二次型f(xi，X2，X3).

0

PIAP=4=-12

6

由此推得

-I4-7

A=PAP'=4-44.

标准答案：由(1)可得I。4故

原二次型为f(xi,X2，X3)=XTAX=一Xi2一4x22—X32+8xiX2—14x1x3+8x2x3.

知识点解析：本题考查抽象二次型化标准形，由矩阵的运算关系和A的迹求出A

的特征值与特征向量，写出二次型的标准形，由此确定二次曲面.再由方阵对角化

的逆问题求出矩阵A,从而求出原二次型.

已知二次型f(x],X2，X3)=X'AX在正交变换x=Oy下的标准形为yj+yz?,且Q的

第3列为像。第

20、求矩阵A；

标准答案：由题设知A的特征值为1,1,0.且a=(l,0,17是属于庆的特征值

0对应的一个特征向量.设X=(X|,X2，X3)T为A的属于特征值1的特征向量，由

于A的不同的特征值所对应的特征向量正交，所以有(x,a)=0,即X|+X3=O,解该

方程组的基础解系言=(1,0,一1产，及=(0，1，0)T,将其单位化，并将其取为A

的属于特征值1对应的正交单位的特征向量，

P广信

J1°J11ri1

令/»=0I0.则有I・

InIL0.

品°瓦I

从而.

r±oo41r±o

&ri]GJ22u2

4=010I010=010.

4oL°」!。±4°T

LJ2戊」L。6」L22

知识点解析：暂无解析

21、证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.

标准答案：由(1)知A的特征值为1,1,0,于是A+E的特征值为2,2,I,又A+E

为实对称矩阵，故A+E为正定矩阵.

知识点解析：本题考查油象二次型化标准形的逆问题，由正交变换下的标准形与二

次型对应的矩阵A的特征值的关系，求A.再由正定矩阵的定义判定A+E的正定

性.

22、设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成

f(x)=y/+y2~.I々&,是Ax=0的解向量.(1)求所用的正交变换x=Cy；

⑵求A；(3)写出该实二次型f(x)的表达式.

标准答案：(1)由二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=yi2+y22知?“=入2=1

和入3=0是A的3个特征值，再由a是Ax=0的解向量知a是A的0特征值对应的

特征向量.若设特征值九1=入2=1所对应的特征向量为x,则有xa=0,即X2一

o'

01

」」其中ki，k2是不同时为0的任意常数.于是得

X3=0,解之得L巧」0

九］=入2=1所对应的特征向量.取

*o'0'

01,单位化得。产0

0!01

001

0

由此得正交矩阵

C=(a,,a:,a5)=

1

0度」

做正交变换工=。即为所求.

0

1

0

(2)A=C4CT=

01

0飞

(3)/(x)=xTAr=x}+-^-x2+-2^j*x2»j.

知识点解析：本题考查用正交变换化二次型为标准形的逆问题.

设实二次型f(xi，X2,X3)=xATx的秩为2,且四=(1,0,0产是(A—2E)x=0的解,

a2=(0,-1,1)1是(A—6E)x=0的解.

23、用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形;

标准答案：由四二(1,0.0)1是(A—2E)x=0的解,a2=(0,一1，1产是(A—

6E)x=0的解，得Aai=2(xi，Aa2=6a2，于是得A的两个特征值为九尸2,九2二6,其

T

对应的特征向量依次为ai=(1,0,0),a2=(0,一1,1)二又由于实二次型f(xi，

X2,X3)的秩为2,所以A的另一个特征值为入3=0,设其对应的特征向量为a=(xi，

则有a：.=0,a；?=0,即广

142-#3=0.

解得特征向量为

o'

,A*0为任意常数.

00'

取c尸0-1，单位化得

0

P产0

X2，X3)L0I令

001

0飞J

0

匠后」则P为正交矩阵,故x=Py为正交变换，该变换将二次

型化成标准形为f(xi，X2,X3)-2yi2+6y22.

知识点解析：暂无解析

次型为f(X],X2,X3)=2X12+3X22+3X32-6x2x3.

知识点解析：暂无解析

25、求方程组f(xi，X2,X3)=0的解.

1盯一”3=0.

标准答案：由于f(X],X2，X3)=2x/+3(X2—X3厂=0,得"」L」,k为任

意常数.

知识点解析：本题考查由正交变换化二次型为标准形的逆问题，由二次型的秩和方

程组的解确定二次型的矩阵A的特征值与特征向量.从而求解.

I0I

4=020

26、设矩阵L°",矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数，求对角矩阵A,使B与

A相似.并求k为何值时，B为正定矩阵.

A-l0-I

|AE-A|=0A-20SA(A-2)2.

标准答案：矩阵A的特征多项式为-10A-I由此得A的特征

值入产0,九2=入3=2.于是矩阵kE+A的特征值为k和k+2(二重)，而矩阵B=(kE+A)2

4=(4+2)J

的特征值为k2和(k+2)2(二重).令矩阵(M2)”由B〜A.要使矩阵

B为正定矩阵，只需其特征值全大于零.因此当修0且厚一2时，B为正定矩阵.

知识点解析：本题主要考查实对称矩阵对角化的方法及正定矩阵的判定方法.由矩

阵A的特征值求出B的特征值，即可判断B的正定性.另一方法是利用正交变换

化A为对角矩阵，代入B可解此题.

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O.已知A的秩r(A)=2.

27、求A的全部特征值；

标准答案：设九为A的一个特征值，对应的特征向量为a,则Aa=W(a，0),

A2a=X2a,于是(A2+2A)OI=(r+2Qa,由条件A2+2A=O推知(入?+2入)a=0.乂由于

a/),故产+2入=0.解得入=-2.1=0.因为实对称矩阵A必可对角化，且

-2

4--2

r(A)=2,所以°」因此，矩阵A的全部特征值为入产入2=—2,X3=0.

知识点解析：本题主要考查实对称矩阵特征值的求法及正定矩阵的判定方法.利用

A2+2A=O及r(A)=2,求出A的特征值.利用(1)的结果，求出A+kE的特征值，当

其特征值均大于零时，A+kE为正定矩阵.

28、当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.

标准答案：矩阵A+kE仍为实对称矩阵.由(1)知，A+kE的全部特征值为-2+k,

―2+k,k,于是，当k>2时矩阵A+kE的特征值均大于零.因此，当k>2时，

矩阵AikE为正定矩阵.若AikE为正定矩阵，只需其顺序主子式大于0,即k需

满足k―2>0,(k—2)2>0,(k—2森>0,因此，当k>2时，矩阵A+kE为正

定矩阵.

知识点解析：暂无解析

222

29、设有n元二次型f(xi,X2.......xn)=(xi+aiX2)+(X2+a2X3)+...+(xn+anxi),其中

aj(i=l,2,n)为实数.试问当ai，a2,…，an满足何种条件时，二次型

f(Xi,X2,......Xn)为正定二次型.

标准答案：由题设知,对任意的实数XI,X2,……Xn，有f(Xl,X2,……Xn)>0,其中等

X,EO,

x.+ajx,»0,

=0,

=0-

该齐次线性方程组仅有零制的充分必要条件是其系数行列式

00

00

，，>

I♦(-I)'a,a,>*aa1*0

000

号成立当且仅当a.00所以当

1+(—1严ai，a2…a#0时,对任意n个不全为零的实数X],X2,....xn»都有

f(Xl,X2,....Xn)>0,即当aia2…a#(一a时,，二次型f(X],X2,....Xn)为正定二次

型.

知识点解析：本题考查正定二次型的判定方法.将二次型f(X|,X2,……Xn)的正定性

问题转化为齐次线性方程组仅有零解的问题进行解决.

设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n,Ajj是A=(aij)nxm中元素«ij的代数余子式(i,j=l，

30、记X=(X1,X2,....XnJ,把f(Xi,X2,....Xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的

矩阵为AI

标准答案：二次型f(Xi,X2,……Xn)的矩阵形式为

仆4B|'x,'

因r(A)=n,故A可逆，且

⑷由(Al)T=(AbLA”,知A1也是实对称矩阵，因此二次型f(x)

的矩阵为AI.

知识点解析：暂无解析

31、二次型g(x)=xTAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由.

标准答案：因为(A1)TAAL(AT)一二AI所以A与A1合同，于是

g(x)=xTAx与f(x)有相同的规范形.

知识点解析：本题主要考查二次型的基本理论.首先求出二次型f(x)的矩阵，并证

明该矩阵为AL且为对称矩阵.然后证明矩阵A与A।合同.

32、设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=，E+ATA,试证当人>0

时矩阵B为正定矩阵.

标准答案：HBT=(XE+ATA)T=XE+ATA=B,所以B为n阶实对称矩阵.对于任

意的实n维列向量x,有x1Bx=x1(XE+ArA)x=Xx14-x1ArAx=Xx1x+(Ax)1(Ax).当

x加时，xTx>0,(AX)TIAX)>0.因此，当入>0时，对任意实n维列向量x#),都

有xTBx=XxTx+(Ax)T(Ax)>0.即B为正定矩阵.

知识点解析：本题主要考查正定矩阵的判定方法.只要证明B为对称矩阵，且对

任意的实n维列向量x,都有XTBX>0即可.

33、设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mxn实矩阵，为B的转置矩阵，试

证：BrAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.

标准答案：必要性.若UAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x#),有

XT(BTAB)X>0,B|J(BX)TA(BX)>0.又A为正定矩阵，于是Bx#).因此齐次线性

方程组Bx=0仅有零解，从而r(B)=n.充分性.因婚[久8)'匚^式0二B’「AB,故

BTAB为对称矩阵.若r(B)=n,则齐次线性方程组Bx=0仅有零解.因此，对任意

的n维实歹IJ向量洋0,必有Bx川.由已知，A为正定矩阵，故对Bx#),有

(BX)TA(BX)>0,XT(BTAB)X>0,故BTAB为正定矩阵.

知识点解析：本题主要考查实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件，齐次线性方程

组仅有零解的判别.注意运用齐次线性方程组Bx=O只有零解充分必要条件是

Vx/0,则有Bx#),这是证题的关键.

】

C=r0

[O

34、设A,B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵6J是否是正定

矩阵.

标准答案：C显然是对称矩阵.令"LI是m+n维列向量，其中x与y分别是

m维，n维列向量，于是x,y不同时为零向量.不妨设x#).由矩阵A与B的正

定性，有x「Ax>0且y「ByK),故=xTAx+/^>0,即c是正定矩阵.

知识点解析：本题主耍考查正定矩阵的判定与分块矩阵的运算.证明由矩阵C决

定的二次型为正定的即可.

设lC即为正定矩阵，其中A,B分别为m阶-，n阶对称矩阵，C为mxn矩

阵.

0瓦1

35、计算MDP,其中

标准答案：

知识点解析：暂无解析

36、利用⑴的结果判断矩阵B-CTA是否为正定矩阵，并证明你的结论.

标准答案：由(1)的结果知，矩阵D合同于矩阵I。B-C"d又D为正定矩

阵，可知矩阵M为正定矩阵，从而M的各阶顺序主子式大于零，于是B-dA

%的各阶顺序主子式也大于零.因矩阵M为对称矩阵，故B—C'「A飞为对称矩

阵，故B-CTA为正定矩阵.

知识点解析：本题主要考查正定矩阵的判定以及分块矩阵的运算.首先求出P「，

然后利用分块矩阵的运算法则求出PTDP,再证明B~C：TArC为正定矩阵.

已知二次型f(xi，X2，X3)=(l—a)xj+(l—a)X22+2x3?+2(l+a)xiX2的秩为2.

37、求a的值;

I-a1+a0

|A|=1+a1-a0=-8a=0.

标准答案：二次型f的秩为2.所以r(A)=2,于是002得

a=0.

知识点解析：暂无解析

38、求正交变换x=Qy,把f(xi，X2，X3)化成标准形;

110"A-I-10

2

A-110IAE-A|=-1A-I0=A(A-2)

标准答案：当a=0时，L002.00A-2|可知A

的特征值为九1=入2=2,入3=0.对于猫=入2=2,解齐次线性方程组(2E—A)x=0,得A

的属于大1=入2=2的线性无关的特征向量为自产(1,1,0),，［2=(0，0,1)T.对于

A,=0,解齐次线性方程组(-A)x=0,得A的属于A=0的线性无关的特征向量为

&3=(—1，1，0)T.易见白,+两两正交，只需单位化，得

1,11

J"J

■O'

1•"2=°2,L

JJ2

.o.

于是

则Q为正交矩

22

阵.在正交变换x二Qy5,二次型的标准形为f=2y]+2y2.

知识点解析：暂无解析

39、求方程f(xi，X2,X3)=0的解.

标准答案：在正交变换x=Qy下,f(xi，X2，X3户0化成2y]2+2y22=0,解之得

.其中*为任意常数.

yi=y2=0,从而

知识点解析：本题考查二次型矩阵的相关性质，用正交变换化二次型为标准形以及

使该二次型为0的向量.由r(A)=2,则IAI=0,确定参数s.用正交变换化二次

型为标准形的常规方法求正交变换；把f化为标准形后可求f(X],X2,X3)=0的解.

(<1+3)4|+盯+24=0,「3j2

2ox|+(a-l)町+/=0A=1a-2

已知齐次线性方程组.3)々-3/+.=0有非零解，且[_2-29」是正定矩

阵.

40、求a；

标准答案：由于方程组有非零解，所以

a+312

2aa-11=a(a4-l)(a-3)=0.

a-3-3。由于A为正定矩阵，必有a>0,可排

除a=0和a=—-1,故a=3.

知识点解析：暂无解析

41、求xTx=l，XTAX的最大值和最小值.

A-3-I-2A-40

|AE-A|=-IA-32A—32

-22A-92A-9

A-400

=-1A-22=(A-4)(A-1)(A-IO)=O.

标准答案：当a=3时，由-24A-9得A

的特征值为1,4,10.由于a=3时，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P,经正

交变换x=Py化二次型XTAX为标准形，从而

1=y12+y22+y32SxTAx=y12+4y22+1Oy32<10(y12+y22+y32)=10,故xTAx的最大值为

10,最小值为1.

知识点解析：本题考查二次型的综合题.通过方程组有解和A正定确定参数a,将

二次型f=xTAx化成标准形.再求IIxll=1下的极值.

设有3阶实对称矩阵A满足A3-6A2+11A-6E=0,且IAI=6.

42、写出用正交变换将二次型4x%A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变

换)；

标准答案：设入是A的特征值，x是A的关于A所对应的特征向量，由A?一

6A2+11A-6E=OW(X3-6X2+1IX-6)x=0,由于x#),所以如一6%九一

6=0,得九=1,2,3.由于IAI=6,所以Q=l,九2=2,Q=3为A的三个特征

值.由于A+E仍是对称矩阵，其特征值为2,3,4,故存在正交变换x=Py,使

y=xT(A+E)x=2y12+3y22+4y32.

知识点解析：本题考查用正交变换化二次型为标准形和二次型正定性的判定.

43、判断二次型f=x7A+E)x的正定性.

标准答案：由于f=x%A+E)x的标准形的系数全为正，所以f=x%A+E)x正定.

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设二次型f(X|,X2，X3)=2®X]+a2X2+a3X3)2+(biXi+b2X2+b3X3)2,记

a=//=8,

0」

44、证明二次型f对应的矩阵为2aop+郎丁；

标准答案：记X=(X],X2，X3)T,由于f(xi，X2，X3)

22

=2(a)xi+a2X2+a3X3)+(bjxi+b2X2+b3X3)

MlFx,llp'

=2