2026届天津市北辰区高三年级第二次模拟考试数学试卷

2026届天津市北辰区高三年级第二次模拟考试数学试卷一、单选题1.已知全集，，，则（）

A．B．C．D．2.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知函数的部分图象如图所示，那么的解析式可以是（）

A．B．C．D．4.下列说法正确的是（）

A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高C．设且，则D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.055.数列的前n项和，且，，则（）

A．52B．53C．54D．556.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆锥容器组成.已知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台.若圆锥容器的高为h，则此圆台的高为（）

A．B．C．D．7.在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（）

A．B．C．D．8.已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题：①的图象关于直线对称②的图象关于点对称③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是则上述命题中正确的个数是（）

A．0B．1C．2D．39.已知F是双曲线E：的左焦点，为坐标原点，过点F的直线与E的右支交于点M，与左支交于点N，且，，则双曲线E的离心率为（）

A．2B．3C．D．二、填空题10.已知为虚数单位，若，则的虚部为_____.11.若，则______.（用数字作答）12.在中，O为坐标原点，点A为抛物线的准线与坐标轴的交点，点B在x轴上，其横坐标为直线在x轴上的截距，则内切圆的标准方程为_____.13.2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______.14.在中，点是边上一点，且.边上存在点E满足，直线和交于点F，且，记，.当时，______（用和表示）；当时，则的最大值为________.15.若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______.三、解答题16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.(1)求角B的大小；(2)若，（i）求的值；（ii）求.17.如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求直线与直线间的距离.18.已知椭圆：的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，离心率为，的面积为.(1)求椭圆E的方程；(2)已知斜率存在且不为1的直线经过点，且与椭圆E交于不同的两点M，N（均不与点B重合），点P与点M关于原点O对称，直线与直线交于点Q.求证：点B在直线上.19.设数列的前项积为，满足.(1)求证：是等比数列；(2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列.（i）当时，设的最小值为，求的值；（ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和.20.已知函数，，其中，