押新高考第20题 统计概率(新高考)(原卷版)

统计概率

骅命题探究

统计概率是高考的重点和热点，从2019年高考情况来看，更是有压轴题的趋势，并且分值和题量都略有增

加。其中解答题考查涉及的主要方向有：(1)与社会生活紧密相连，紧跟时代步伐创设情境。(2)概率的

求解.同时也常渗透考查统计知识，背景新颖，体现了概率与统计的工具性和交汇性，综合考查考生的应

用意识、阅读理解能力、数据处理能力和转化与化归思想的应月；(3)统计知识.其核心是样本数据的获

得和分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、线性回归方程、独立性检验，常与概

率交汇命题，意在考杳考生的数据分析能力和综合应用能力.

■解题秘籍，为

1.均值与方差的性质

若丫:aX+从其中小。是常数，X是随机变量，则

(1)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数；

(2)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+h)=a2D(X)；

(3)E(X1+X2)=E(Xi)+E(X2);

(4)D(X)=E(X2)-CE(X))2；

(5)若X”X2相互独立，则E(XrX2)=E(Xi)E(X2);

(6)若X服从两点分布，则E(X)=p,D(X)=p(1-p)；

(7)若X服从二项分布，即X~8(n,p),则E(X)=叩,D(X)=np(l-p).

2.随机变量是否服从超几何分布的判断

若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：

(1)该试脸是不放回地抽取〃次；(2)随机变后X表示抽耳乂到的次品件数(或类似事件；，反之亦然.

3.求超几何分布的分布列的步骤

第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N,M,〃的值；

第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

第三步，用表格的形式列出分布列.

4.求超几何分布的均值与方差的方法

(1)列出随机变量X的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解；

〃)求解.

(2)利用公式E(X)=—,D(X)

NN“N-1)

态真题回顾

1.（2021.湖南.高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽

2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.

（1）用J表示取到的豆沙粽的个数，求J的分布列；

（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.

2.（2021・北京•高考真题）在核酸检测中，2合1“混采核酸检测是指：先将2个人的样本混合在一起进行1

次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:

如果这A个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结

果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这100人随机分成1。组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

①如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；

3）三知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为、.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E（X）.

（II）将这100人随机分成20组，每组5人,且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，

试判断数学期望E（r）与⑴中E（X）的大小.（结论不要求证明）

3.（2021•全国•高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,4两类问题，每位参加比赛的同学先在

两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一

类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.人类问题中的每个叵题回答正确

得20分，否则得。分；8类问题口的每个问题回答正确得80分，否则得。分，己知小明能正确回答A类问

题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答4类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

4.（2021•全国•高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，

经过一次繁殖后为第I代，再经过一次繁殖后为笫2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有

2

相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=Pj(i=0J2,3).

(1)已知〃0=O.4，P1=0.3,〃2=0.2,〃3=0.1,求E(X)：

(2)设〃表示该种微生物经过多弋繁殖后临近灭绝的概率，〃是关于x的方程：％+〃俨+/%12+〃./3=.1的

一个最小正实根，求证：当顼X)W1时，〃=1,当E(X)>1时，〃<1；

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

w押题冲关管

1.(2022•福建•模拟预测)在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学在此次考试中，在

前两道题中，每道题答对的概率均为。，答错的概率均为。；对于笫三道题，答对和答错的概率均为;；对

662

于最后一道题，答对的概率为:1，答错的概率为q7.

⑴求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15分的概率；

⑵设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为X,求X的分布列.

2.(2022・广东深圳•二模)2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪

爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连

续羸两场则专业队获胜：若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛

结束.已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为g；甲与丙比赛，丙嬴的

概率为p，其中,<P<—.

JL

(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安拉丙与甲进行比赛.请分别计算两种安排下

业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

⑵为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平

局，两队各获奖金1.8万元.在比赛前，已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织

预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E(X)的取值范围.

3.(2022•湖南・雅礼中学二模)”不关注分数，就是对学生的今天不负责：只关注分数，就是对学生的未来

不负责为锻炼学生的综合实践能力，长沙市某中学组织学生对雨花区一家奶茶店的营业情况进行调查统

计，得到的数据如下：

月份x24681012

3

净利润（万元）y0.92.04.23.95.25.1

（1）设4=1呻,匕=惠.试建立），关于“的非线性回归方程），=#114+〃和），=〃?«+〃（保留2位有效数字）；

⑵从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年2月（计x=14）的净利润（保留1

位小数）.

5（士一幻（》-衿

附：①相关系数r=1"I”,回归直线$，=百+4中斜率和截距的最小二乘估计公式分别

^£（x,.-x）2）^£（x-y）2

Z（七一项）'「刃

为-----------,a=y-bx.②参考数据:

Z（^-x）2

i-l

ln2«0.7Jn3*l.l,ln5*1.6Jn7«1.9,V2«1.4,\/6*2.4,\^«2.8,

Vi0工3.2,Vi2«3.5,714«3.7,73322«57.6,V4507工67.1

4.（2022・江苏♦南京市第一中学三模）设〃N2,〃cN‘，甲、乙、丙三个口袋中分别装有〃-1、〃、，?+1个

小球，现从甲、乙、丙三个口袋中分别取球，一共取出〃个球.记从甲口袋中取出的小球个数为X.

（1）当〃=5时，求X的分布列；

⑵证明：+C,C；“+…+C：：C；„=C：“；

>7—1

⑶根据第（2）问中的恒等式，证明：F（X）=—.

5.（2022・湖南永州•三模）某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球,

其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小

球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：

摸取到的红球个数234

中奖等级三等奖二等奖一等奖

⑴求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；

（2）若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20

元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.

4

考前预测yy（限时：30分钟）

1.2017年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》规定46个城市在2020年底实施生活

垃圾强制分类，垃圾回收、用率要达35%以上.某市在实施垃圾分类之前，对该市大型社区（即人口数量在1万

左右）一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查.已知该市这样的大型社区有200个，如图是某天从中随机抽

取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标''社区.

（1）根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值白四舍五入精确到整数）；

（2）若当天该市这类大型社区的垃圾量X~N（〃,9）,其中〃近似为（1）中的样本平均值：，请根据X

的分布估计这200个社区中“超标”社区的个数（四舍五入精确到整数）；

（3）市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调杳，现从这些社区中随机抽取3个进行重点监

控，设丫为其中当天垃圾量至少为16吨的社区个数，求丫的分布列与数学期望.

附：—+0.6827；P（ju-2a<X<jj+2a）«0.9545；

尸（〃一3b<XW〃+3a）x0.9974.

2.到2020年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个

贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.在

接下来的5年过渡期，为巩固脱贫成果，将继续实行“四个不摘”，某市工作小组在2021年继续为已脱贫群

众的生产生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了一种新的经济农作物，并指导一批农户于2021年

初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，由于天气、市

场经济等因素的影响，近几年该经济农作物的亩产量与每千克伐价具有随机性，且互不影响，其具体情况

如下表：

5

该经济农作物市场价格(元该经济农作物每年亩产量

1015400600

/kg)(kg)

概率0.40.6概率0.250.75

(1)设2021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为X元，求X的分布列;

(2)已知当地某农户在2021年初种植了3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2021

年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12000元的概率.

(注：纯收入=种植收入-种植成本)

3.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京举行实践“绿色奥运、

科技奥运、人文奥运”理念，举办一届“有特色、高水平”的奥运会，是中国和北京的庄严承诺，也是全世界

的共同期待.为宣传北京冬奥会，激发人们参与冬奥会的热情，某市开展了关于冬奥知识的有奖问答.从参与

的人中随机抽取100人.得分情况如下：

(1)得分在80分以上称为“优秀成绩”，从抽取的100人中任取2人，记“优秀成绩”的人数为X，求X的

分布列及数学期里；

(2)由直方图可以认为，问卷成绩值V服从正态分布N(〃,b2),其中〃近似为样本平均数，/近似为样

本方差.

①求P(77.2<Y<89.4)；

②用所抽取100人样本的成绩去估计城市总体，从城市总人口中随机抽出2000人，记Z表示这2000人中

分数值位于区间(77289.4)的人数，利用①的结果求F(Z).

参考数据：7150«12,2，7146^12.1，。(〃-b<y<4+b)=0.6826,

P(4-2。<丫<〃+2cr)=0.9544,P(〃-3cr<丫<〃+3b)=0.9974.

4.在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A、B两所同类学校的高三学年分别采用甲、乙两

种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取60名学生，对每名学生

讲行综合测试评分，记综合评分为80及以上的学牛为优秀学牛，经统计得到两所学校林取的学牛中共有72

6

名优秀学生.

（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A、8两个学校的高三学年随机抽取3名学生，求所抽取的

学生中的优秀学生数的分布列和数学期望；

（2）已知A学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的;，填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率

3

不超过0.1的前提卜认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.

优秀学生非优秀学生合计

甲方案

乙方案

合计

附:

可尸〃。）

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n^ad-bey

K2=,其中〃=a+Z?+c+d.

(aII4)(。।c)(〃1d)

5.为了调查A地区2（X）（）00名学生寒假期间在家的课外阅读时间，研究人员随机抽取了2000（）名学生作调

查，所得结果统计如下表所示:

阅读时间（力）[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]

频数20037(H)5300830023005(X)

（1）若阅读的时间Z