2016年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）

考生注意：

1.本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非

选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对

后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．设xR,则不等式x31的解集为_____________．

【答案】（2,4）

【解析】试题分析：

由题意得：1x31，解得2x4.

考点：绝对值不等式的基本解法.

32i

2．设z，其中i为虚数单位，则Imz=_____________．

i

【答案】-3

【解析】

试题分析：

32i

z23i,Imz=3.

i

考点：1.复数的运算；2.复数的概念.

．已知平行直线，则与的距离是．

3l1:2xy10,l2:2xy10l1l2_____________

25

【答案】

5

【解析】试题分析：

|cc||11|25

利用两平行线间的距离公式得d12.

a2b222125

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考点：两平行线间距离公式.

4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则

这组数据的中位数是_________（米）．

【答案】1.76

考点：中位数的概念.

5．已知点(3,9)在函数f(x)1ax的图像上，则f(x)的反函数f1(x)________．

【答案】

log2(x1)

【解析】试题分析：

将点（3，9）代入函数fx1ax中得a2，所以fx12x，用y表示x得

，所以1

xlog2(y1)fxlog2(x1).

考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.

．如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成的

6ABCDA1B1C1D1ABCD3BD1

2

角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于____________．

3

【答案】22

【解析】试题分析：

DD2DD2

连结，则由题意得11

BDtanDBD1DD122.

BD3323

考点：线面角

7．方程3sinx1cos2x在区间0,2π上的解为___________.

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5

【答案】，

66

【解析】试题分析：

化简3sinx1cos2x得：3sinx22sin2x，所以2sin2x3sinx20，解得

15

sinx或sinx2（舍去），又x0,2π，所以x或.

266

考点：二倍角公式及三角函数求值.

n

2

8．在3x的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于

x

_________．

【答案】112

【解析】试题分析：

由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为2n，即2n256，所以n8，又二项展开

84

2r84

式的通项为TCr(3x)8r()r(2)rCrx33，令r0，所以r2，所以

r18x833

，即常数项为

T3112112.

考点：二项式定理.

9．已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．

73

【答案】

3

【解析】试题分析：

3252721

利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为，所以此角的正弦值

2352

3773

为，由正弦定理得2R,所以R.

233

2

考点：正弦、余弦定理.

axy1

10．设a0,b0.若关于x,y的方程组，无解，则ab的取值范围是

xby1

____________．

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【答案】（2，+）

【解析】试题分析：

将方程组中上面的式子化简得y1ax，代入下面的式子整理得(1ab)x1b，方程组

无解应该满足1ab0且1b0，所以ab1且b1，所以由基本不等式得

ab2ab2，即ab的取值范围是（2，+）.

考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.

．无穷数列由个不同的数组成，为的前项和若对任意，，

11ankSnann.nNSn2,3

则k的最大值为________.

【答案】4

考点：数列的项与和.

12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线y1x2上一个动点，

则BPBA的取值范围是_____________.

【答案】[0,1+2]

【解析】试题分析：

由题意设P(cos,sin),[0,π]，则BP(cos,1sin)，又BA(1,1)，所以

π

BPBA=cossin1=2sin()+1[0,12].

4

考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.

13.设a,bR,c0,2π.若对任意实数x都有2sin3xasinbxc，则满足条件

3

的有序实数组a,b,c的组数为.

【答案】4

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【解析】试题分析：

ππ5π5π

当a2时，sin(3x)sin(3x2π)sin(3x)，(b,c)(3,)，又

3333

ππ4π4π

sin(3x)sin[π(3x)]sin(3x)，(b,c)(3,)，注意到c[0,2π)，

3333

5π4π

所以只有2组：(2，3,),(2，3,)满足题意；当a2时，同理可得出满足题意的

33

a,b,c也有2组，故共有4组.

考点：三角函数

如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，任取不同的

14.xOyOA1A2A8A11,0.

两点，点满足，则点落在第一象限的概率是

Ai,AjPOPOAiOAj0P_____________.

【答案】5

28

【解析】试题分析：

共有2种基本事件，其中使点落在第一象限的情况有2种，故所求概率为

C828PC325

5

.

28

考点：古典概型

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.

15.设aR，则“a1”是“a21”的（）.

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】试题分析：

a1a21,a21a1或a1，所以“a1”是“a21”的充分非必要条件，选A.

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考点：充要条件

16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（）.

（A）65cos（B）65sin

（C）65cos（D）65sin

【答案】D

【解析】试题分析：

3

依次取0,,,，结合图形可知只有65sin满足，选D.

22

考点：极坐标方程

已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且下列条件中，使得

17.anqnSnlimSnS.

n

恒成立的是（）

2SnSnN.

（）（）

Aa10,0.6q0.7Ba10,0.7q0.6

（）（）

Ca10,0.7q0.8Da10,0.8q0.7

【答案】B

考点：1.数列的极限；2.等比数列求和.

18．设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)g(x)、

f(x)h(x)、g(x)h(x)均是增函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②

若f(x)g(x)、f(x)h(x)、g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)

均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）.

（A）①和②均为真命题（B）①和②均为假命题

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（C）①为真命题，②为假命题（D）①为假命题，②为真命题m]

【答案】D

【解析】

试题分析：

[f(x)g(x)][f(x)h(x)][g(x)h(x)]

因为f(x)，所以

2

[f(x+T)g(x+T)][f(x+T)h(x+T)][g(x+T)h(x+T)]

f(x+T),又f(x)g(x)、

2

f(x)h(x)、g(x)h(x)均是以T为周期的函数，所以

[f(x)g(x)][f(x)h(x)][g(x)h(x)]

f(x+T)=f(x)，所以f(x)是周期为T的函数，

2

同理可得g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，②正确；f(x)、g(x)、h(x)中至少有一

个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三

个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以①不

正确.选D.

考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区

域内写出必要的步骤.

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.

2

将边长为1的正方形AAOO（及其内部）绕的OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为，

1113

AB长为，其中B与C在平面AAOO的同侧.

113111

（）求三棱锥的体积；

1CO1A1B1

（）求异面直线与所成的角的大小

2B1CAA1.

3π

【答案】（1）；（2）.

124

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【解析】

试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高h1，底面半径r1，，再由三角

1113

形面积公式计算S后即得.

111

（）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线

211//1C11C

ππ

与所成的角，再结合题设条件确定C，C1．得出C即可．

1314

试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高h1，底面半径r1．

ππ

由的长为，可知．

1131113

13

Ssin，

111211111114

13

VSh．

C111311112

π

从而直线C与所成的角的大小为．

114

考点：1.几何体的体积；2.空间角.[来

20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

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有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.

于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点

S1S2S1S2F

较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐

S1S2CF

标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.

（1）求菜地内的分界线C的方程;

8

（2）菜农从蔬菜运量估计出S面积是S面积的两倍，由此得到S面积的“经验值”为.设

1213

M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五

边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值

EOMGHS1.

511

【答案】（1）y24x（0y2）；（2）矩形面积为，五边形面积为，五边形面积

24

更接近于面积的经验值．

S1“”

【解析】

试题分析：（1）由C上的点到直线与到点F的距离相等，知C是以F为焦点、以为

准线的抛物线在正方形FG内的部分．

（2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边

形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．

试题解析：（1）因为C上的点到直线与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以

为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方程为y24x（0y2）．

1

（2）依题意，点的坐标为,1．

4

511

所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．

24

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581

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差

236

1181

的绝对值为，所以五边形面积更接近于S面积的“经验值”．

43121

考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

y2

双曲线x21(b0)的左、右焦点分别为F、F，直线l过F且与双曲线交于

b2122

A、B两点.

π

（1）若l的倾斜角为，FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

21

（）设，若的斜率存在，且，求的斜率

2b3l(F1AF1B)AB0l.

15

【答案】（1）y2x；（2）.

5

【解析】

试题分析：（）设，根据题设条件得到24，从而解得2的值．

1x,y41b3bb

（）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方

2x1,y1x2,y2l:ykx2

程，根据l与双曲线交于两点，可得k230，且361k20．再设的中点为

x,y，由FF0即F0，从而得到kk1，进而构建

111F1

关于k的方程求解即可．

试题解析：（1）设x,y．

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y2

x21

由3，得k23x24k2x4k230．

ykx2

因为l与双曲线交于两点，所以k230，且361k20．

设的中点为x,y．

由FF0即F0，知F，故kk1．

1111F1

2

x1x22k6k3k

而x，ykx2，k，

2k23k23F12k23

3k315

所以k1，得k2，故l的斜率为．

2k2355

考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分6分.

1

已知aR，函数f(x)log(a).

2x

（1）当a5时，解不等式f(x)0；

（）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的

2xf(x)log2[(a4)x2a5]0a

取值范围；

1

（3）设a0，若对任意t[,1]，函数f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不

2

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超过1，求a的取值范围.

12

【答案】（1）x,0,；（2）1,23,4；（3）,．

43

【解析】

11

试题分析：（）由，得，从而得解．

1log25051

xx

（2）将其转化为a4x2a5x10，讨论当a4、a3时，以及a3且a4

时的情况即可．

（3）讨论fx在0,上的单调性，再确定函数fx在区间t,t1上的最大值与最

1

小值之差，从而得到at2a1t10，对任意t,1成立．

2

11

试题解析：（）由，得，

1log25051

xx

1

解得x,0,．

4

1

（2）aa4x2a5，a4x2a5x10，

x

当a4时，x1，经检验，满足题意．

当时，，经检验，满足题意．

a3x1x21

1

当a3且a4时，x，x1，xx．

1a4212

1

是原方程的解当且仅当，即；

x1a0a2

x1

1

是原方程的解当且仅当，即．

x2a0a1

x2

于是满足题意的a1,2．

综上，a的取值范围为1,23,4．

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11

因为a0，所以函数yat2a1t1在区间,1上单调递增，t时，y

22

31312

有最小值a，由a0，得a．

42423

2

故a的取值范围为,．

3

考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分.

若无穷数列满足：只要*，必有，则称具有性质

{an}apaq(p,qN)ap1aq1{an}

P.[

（）若具有性质，且，，求；

1{an}Pa11,a22,a43,a52a6a7a821a3

（）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，

2{bn}{cn}b1c51

，，判断是否具有性质，并说明理由；

b5c181anbncn{an}P

（）设是无穷数列，已知*求证：对任意都具有性质

3{bn}an1bnsinan(nN).“a1,{an}

的充要条件为是常数列

P”“{bn}”.

【答案】（）；（）不具有性质，理由见解析；（）见解析．

1162an3

【解析】

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试题分析：（）