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复变函数与积分变换试卷（四）答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.将复数z化为三角形式与指数形式（C）2.设my3+nx2y+i(x3+lxy2)为解析函数，试确定l,m,n的值（D）3.计算积分dz的值，其中C为z=3的正向圆周.（A）（A）0（B）1（C）2πi（D）4πi4.求出方程cosz=0的全部解（B）5.求下列幂级数的收敛半径eizn.(A)（A）1（B）0（C）3（D）6.判断级数的敛散性。(A)（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）不能确定3的值为(A)8.求函数的拉普拉斯变换（B）t2（C）arccot（D）arccot9.函数f(z)在z点可导是函数f(z)在z点解析的什么条件?（B）（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充分必要（D）即不充分也不必要10.讨论函数f的孤立奇点及其类型.(A)（C）z=0为f(z)的三级极点；（D）z=0为f(z)的二级极点二、解答下列各题（共16分）1．计算方程z3_1=0的所有根.(5分)解：z3=1z=1解：ii=eiLniLni=ln1+i3.判断函数f(z)=iRe3z何处可导？何处解析？(6分)解：z=x+iyf(z)=i3xu(x,y)与v(x,y)在复平面处处可微分，但是分）综上，函数f(z)在复平面上处处不可导，处处不解析.三、解答下列各题（每小题6分，共18分）1.y=x计算积分dz的值.解：积分直线段的参数方程为=∫(i+t_ti)(1+i)dt2.计算积分dz，其中C为z=3的正向圆周.解：f在z=3的正向圆周内有两个奇点±1,分别以z=1与z=_1为圆心做两个正向圆周C1,C2它们互不相交互不包含由复合闭路定理，可得四、把函数在z0=1处展开为泰勒级数，并指出收敛区域.（7分）:R=_1 ,五、将函数f在圆环域0<z<+∞内展开为洛朗级数.（6分）z六、利用留数定理计算积分其中C：z=3正向.（7分）解：f在z=3的内部有四个孤立奇点z1、2=±1，z3、4=±i令p(z)=z,Q(z)=z4_1,Q'(z)=4z3=2πi{Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]+Res[f(z),z3]+Res[f(z),z4]}七、利用拉普拉斯变换的性质，求函数f=te-3tsin2tdt的拉普拉斯变换.（6分）解：L八、求解微分方程y''-2y'-8y=f(t)，满足y(0)=1，y'(0)=0的解.(10分)解：设方程的解为y=y(t),t≥0且设L[f(t)]=F(s)对方程两端取拉普拉斯变换:s2Y(s)-s-2sY(s)+2

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