8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

8.3.1

棱柱、棱锥、棱台的

表面积和体积高中数学【学习目标】通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积与体积的公式及求法；掌握与多面体相关的简单组合体的表面积与体积的求法，并能解决一些有关的实际问题；通过学习逐步培养我们的类比、转化及空间想象等数学能力.【重点难点】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式及求法；实际问题中与多面体相关的简单组合体的表面积与体积的求法.高中数学【复习引入】前面我们学习了棱柱、棱锥、棱台的有关概念，大家还记得它们的结构特征吗？顶点侧棱侧面底面上底面下底面多面体底面顶点下面我们来研究多面体的表面积与体积的求法.侧棱侧面高中数学【新课内容】1.

棱柱、棱锥、棱台的表面积问题：如何求多面体的表面积？多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.

棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.高中数学例1

如图，四面体P

−

ABC的各棱长均为a，求它的表面积.BCPAa高中数学小结：在解决棱柱、棱锥、棱台的表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解.因为∆PBC是正三角形，其边长为a，BPCa32a21a

DSP–ABC=4

×43

a2

= 3a2.因此，四面体P

−

ABC的表面积解：所以S∆PBC

= ×a

×1 3 32 2 4a

= a2.高中数学例2 已知正四棱台上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.问题：如何利用棱台的高及底面边长求出侧面的高？ABCDA1B1C1D1O1OE1E高中数学1如图，设0

，0分别是上、下底面正方形的则0E＝1AB＝6，0E＝1AB

＝3.2 1 1 2 1 1过E1作E1H

⊥0E，垂足为H，则E1H＝010＝12，0H＝01E1＝3，1 1HE＝0E－0E

＝6－3＝3.E1E2＝E1H2+HE2＝122+

32＝32×

17，∴

E1E＝3 17.侧11 1

1∴

S ＝4×

2×

(B1C+BC)×E

E＝2×

(6+

12)

×

3 17＝108 17.解：HO1E1D1A1

C1B1EOBCD

在Rt△

E1HE中，A中心，E1，E分别是B1C1，BC的中点，则010为正四棱台的高，则010

=

12. 连接0E，01E1,高中数学在本例中，如果把正棱台还原成正棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？EC1E1B1A1O1D1OBCD

小结：解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决.P变式练习:A高中数学1 1 1 12 2P01

=

01E1

3P0 0E1 1P01 1=2.∴

P01＝010＝12.=6.

即P0 +

00PE2＝P02+01E2＝122+32＝32×

17，1 1 1PE2＝P02+0E2＝242＋62＝62×

17，在Rt

△

P01E1和Rt

△

P0E中，∴

E1E＝PE－PE1＝6 17－3 17＝3 17.EC1E1B1A1O1D1OBCD

PA解： 如图，设正四棱台的侧棱延长交于点P.取B1C1，BC的中点E1，E，则EE1的延长线必过

点P

(为什么？).01，0分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心.且有0

E

＝

1

A

B

＝3，0E＝

1

AB＝6,

由三角形相似得：∴

S ＝4×

2×

(B1C+BC)×E1E高中数学小结：多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.即棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积加底面积.求棱柱、棱锥、棱台的表面积就是转化为平面三角形、四边形、多边形的面积的问题.进一步转化为三角形、矩形、梯形等特殊的平面图形的面积问题.高中数学2、棱柱、棱锥、棱台的体积⑴棱柱的体积：特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式,分别是：V正方体

=

a3(a是正方体的棱长），V长方体

=

abc(a,

b,

c分别是长方形是长、宽、高).一般的,如果棱柱的底面积是S，高是ℎ，那么这个棱柱的体积:V棱柱

=

Sh.高中数学卡瓦列里祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.高中数学棱锥的体积:

如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等,高也相等，那么,棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.因此,一般的如果棱锥的底面积为S，高为ℎ，那么该棱锥的体积.1V棱锥

=

3

Sh3C′A′C′ABCA′1BA C2B′ B′⑵棱锥的体积:因此，可得底面积和高均相等的两个三棱锥体积相等.高中数学⑶棱台的体积由于棱台是棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差得到棱台的体积公式:其中S',

S分别为棱台的上、下底面面积，ℎ为棱台的高.1V棱台

=

3

(S’+ S'S+

S

)

ℎ.h'D1

OC1B1A1

1BhD

COAP高中数学3 3V棱柱

=

Sℎ，V棱锥

=

1

Sℎ，V棱台

=

1

ℎ(S'

+ S'S+S)，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？思考：观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式高中数学1V棱台

=

3

ℎ(

S'+S'S+

S)棱锥3V =1

SℎV棱柱

=

SℎS'

=

SS'

=

0A1AB1BC1DD1ACDC

BB1D1 C1A1ABCDS'

=

SS'=

0P高中数学A．26 B．28C．30D．32自我检测：三棱锥P－ABC底面是边长为2的正三角形，高为3，求三棱锥的体积(

)A. 3 B．2 3 C．3 3 D.

2 33若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为(

)

AB高中数学例3

如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m,

公共面ABCD是边长为1m的正方形,

那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m3)？ABCC'B'A'D'PD高中数学V长方体ABCD–AFBFCFDF

=

1

×

1

×

0.5

=

0.5(m3),所以这个漏斗的容积 V=1+1=2≈

0.67(m3).2 6 3V棱锥P–ABCD=1×1×1×0.5=1

(m3).3 6分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.解:

由题意知ABCC'B'A'D'PD高中数学一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为 15，求这个正三棱锥的体积.例4∵

∆ABC是边长为6的正三角形，连接A0并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE

⊥

BC.∴AE

=23×

6=

3 3，∴A0

=23AE

=

2 3.解:

如图,

在正三棱锥P

−

ABC中，设0为正三角形ABC的中心，连接P0，则P0即为该正三棱锥的高．连接A0.则得Rt∆P0A.OEBCA6OECABP高中数学在Rt

△

P0A中，PA

=15, A0

=

2 3,2 215 −

(2 3)在∆ABC中，S1∴

V1P－ABC

=3

S△ABC3∙P0=1

×

9 3

× 3=

9,即这个正三棱锥的体积为9.EC

O A

B1△ABC

=2BC·AE=2×6

×

3 3

=

9 3.P∴

PO

= PA2−A02

== 15−

12

= 3.A高中数学=

V3×126×

1×

1×

1＝

1

.1∙

A8= 1解：VA－DED1=

VE－

A

DD1=3

S∆ADD1D三棱锥E–ADD1等体积法变式练习：

如图，正方体ABCD

−A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则求三棱锥A

−