8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积1课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

棱柱、棱锥、棱台的表面积：围成它们的各个面的面积的和，即侧面积+底面积圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的面积和,即侧面积+底面积我们知道了多面体的表面积，那你认为旋转体——圆柱、圆锥、圆台、球的表面积又是怎样的呢？复习1、

圆柱、圆锥、圆台表面积lOO'rOSlrO'Or'rlO

圆柱侧面展开图是什么？如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，如何求它的表面积？∵圆柱侧面展开图是一个矩形圆柱的表面积例1、将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱(包含上、下底面)的表面积是(

)A．40π2

B．64π2C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π【解析】当底面圆的周长为8π时，半径r＝4，∴底面积为2×π×42＝32π，侧面积为4π×8π＝32π2，∴圆柱的表面积为32π2＋32π.同理可得当底面圆的周长为4π时，圆柱的表面积为32π2＋8π.DO

圆锥侧面展开图是什么，如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，如何求它的表面积？∵圆锥的侧面展开是一个扇形圆锥的表面积例2、若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的(

)A．2倍B．3倍C．4倍 D．5倍C圆台的侧面展开图是扇环

联系圆柱和圆锥的侧面展开图，想象圆台的侧面展开图并且画出它吗？

如果圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母线长为l，你能计算它的表面积吗？OO’圆台的表面积∵圆台侧面展开图是一个扇环OO’S侧面积OO’圆台的表面积例3、圆台的上、下底面半径分别为10cm，20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________cm2.解：如图所示，设圆台的上底面周长为ccm，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10(cm)，所以SA＝20(cm)．同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)，所以S表面积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.2πr2

2πrl

2πr(r＋l)

2、

圆柱、圆锥、圆台表面积πr2

πrl

πr(r＋l)

πr′2

πr2

π(r′l＋rl)

π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？r’＝r上底扩大r’＝0上底缩小三者之间的联系lOO'rOSlrO'Or'rl空间问题“平面”化所用的数学思想：祖暅原理：（幂势既同，则积不容异）夹在两个平行平面内之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。2、

圆柱、圆锥、圆台的体积底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。V圆柱=sh圆柱的体积SSSV柱体=sh棱锥的体积？

如果有一个棱锥和另一个棱锥的底面积相同、高相同，那么棱锥的体积为?hSSh

类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.圆锥的体积V圆锥=shSSSV锥体=shhSSS'S'V圆台=圆台的体积V台体=O'Or'rlSO'Or'rl柱体、锥体、台体三者的体积公式之间有什么关系？r’＝r上底扩大r’＝0上底缩小lOO'rOSlrO'Or'rl三者之间的联系V台体=V柱体=shV锥体=类比所用的数学思想：三、例题分析

例5.如图:已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为2,则该圆台的体积为

.

在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗?3、

球的表面积和体积球的表面积公式

类比利用圆周长求圆面积方法,我们可利用球的表面积求球的体积.如下图,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”.OABCD极限所用的数学思想：第一步：分割

（1）球面被分割成n个网格，球的表面分成了n个“小棱锥”的底面；O

（2）如果网格分的越细,“小棱锥”的底面近似平面，高近似于球的半径R.第二步：求近似和设“小锥体”的体积为：

第三步：转化为球的表面积例1

如右图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料?(π取3.14)解：一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2)

所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000=423.9(kg).解:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.

例2.

如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求球与圆柱体积之比.发挥自己的想象，用一个平面去截球,截面会是什么形状?圆面球的截面及其性质

性质2:球心和截面圆心的连线垂直于截面．O1

性质1:用一个平面去截球，截面是圆面；

性质3:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:

例题1用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为(

)

C球的截面及其性质O1球与多面体的内切、外接若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球

内切球棱切球外接球例题2如图，正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积和体积。分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。外接球问题ABC1D1B1A1CD变式

球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、,求此球体的表面积和体积。分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。例题3把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?解：当球内切于正方体时用料最省此时棱长＝直径＝5cm答：至少要用纸150cm2分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体内切球问题练习三、课堂小结:

1).圆柱