因式分解法（课件） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章

一元二次方程25.2降次——解一元二次方程25.2.3因式分解法1.理解因式分解法解一元二次方程的原理，能运用因式分解法解一元二次方程；2.体会“降次”与“转化”的数学思想，能对比因式分解法与配方法、公式法的特点，根据方程结构选择合适的解法.问题

根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs后的离地高度（单位：m)约为10x-5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？解：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m,即

10x-5x2=0.思考：已经学习的配方法、公式法可以解吗？有没有更简便的解法呢？

10x-5x2=0.将方程的左边分解因式，得x(10-5x)=0.这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.所以

x=0，或10-5x=0.因此，方程10x-5x2=0的两个根是x1=0，x2=2.对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m；而x2=2表示物体在抛离地面2s时落回地面.思考：解方程10x－5x2=0时，二次方程是如何降为一次的？可以发现，在上述解法中，由10x－5x2=0到x=0或10-5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.

例1

用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)移项：将方程的右边化为0；(2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；(3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程；(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解.

用因式分解法解下列方程：(1)2x2-3x=0； (2)5x(x-3)=x-3；跟踪训练

约去含未知数的因式导致漏解在用因式分解法解一元二次方程时，当左右两边均有含未知数的相同因式时，不可直接约去，因为含未知数的因式可能等于0，如果直接约去，会导致漏掉使因式为0的未知数的值.

用因式分解法解下列方程：(3)(3x+2)(2x+1)=-8x-4； (4)(2x-1)2-9=0.跟踪训练

(4)因式分解，得[(2x-1)+3][(2x-1)-3]=0.即(2x+2)(2x-4)=0.于是2x+2=0,或2x-4=0.所以x1=-1，x2=2.思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？方法理论依据适用方程关键步骤主要特点直接开平方法平方根的意义x2=n

(n≥0)或(ax+b)2=n

(a≠0，n≥0)型方程.开平方求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程.配方法完全平方公式所有一元二次方程.配方解法烦琐，当二次项系数为1或常数项较大时，用此法较简单.公式法配方所有一元二次方程.代入求根公式对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误.因式分解法若

ab=0，则a=0或

b=0能化为一边为0，另一边为两个一次式积的形式的方程.分解因式求解迅速、准确，但适用范围较小.

1．解下列方程：(3)3x²-6x=-3;

(4)4x²-81=0;

1．解下列方程：(5)3x(2x+1)=4x+2; (6)(x-4)2=(5-2x)2.

2.如图，把小圆形场地的半径增加5m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9∶4，求小圆形场地的半径.

A

D因式分解法解一元二次方程解法步骤(1)移项：将方程的右边化为0；(2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；(3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程；(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解.