循环问题与数字问题（培优课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册25.3.3循环问题与数字问题第25章

一元二次方程25.3.3循环问题与数字问题

同步练习题一、核心知识点梳理1.数字问题解题模型：主要针对两位数、多位数求值问题。设未知数时，通常设个位数字为$$x$$，十位数字为$$y$$，则两位数可表示为$$10y+x$$；颠倒数位后为$$10x+y$$，结合数字和、积、平方差等条件列方程求解。2.循环握手/互赠问题模型：两类经典题型区分明确。握手、两两比赛、两两通话属于无重复单向循环，公式为$$\dfrac{1}{2}x(x-1)$$；互赠礼物、互发照片、微信互发消息属于双向不重复循环，公式为$$x(x-1)$$。3.标准解题步骤：①审题区分题型，判断是数字问题还是循环组合问题；②合理设未知数，优先设人数、数位数字为$$x$$；③根据题型公式或数字关系列一元二次方程；④解方程并验根，舍去负数、小数、不符合数位规则的解。4.高频易错点：循环问题最易混淆有无二分之一系数，无双向交换行为用减半公式，有互赠行为用完整公式；数字问题切勿直接将数位数字当作数值计算，必须用位值原理表示多位数。二、基础练习题（一）填空题1.一次聚会中，所有人两两握手，总握手次数为28次，设参会人数为$$x$$，可列方程________。2.一个两位数，十位数字为3，个位数字为$$x$$，则这个两位数可表示为________。（二）基础解答题3.已知一个两位数，个位数字与十位数字之和为7，两个数字的积为12，求这个两位数。三、提升练习题（三）拔高解答题4.班级组织同学互赠贺卡，每两名同学之间都互相赠送一张贺卡，全班共送出90张贺卡，求班级人数。5.有一个两位数，十位数字比个位数字大2，将十位数字与个位数字调换位置后，得到的新两位数与原两位数的积为1008，求原两位数。四、参考答案与解析1.$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=28$$解析：两两握手无重复，属于单向循环问题，需除以2避免重复计数。2.$$30+x$$解析：十位数字3代表3个10，即30，加上个位数字$$x$$，即为完整两位数。3.解：设个位数字为$$x$$，则十位数字为$$7-x$$。由题意得：$$x(7-x)=12$$，整理得$$x^2-7x+12=0$$，解得$$x_1=3，x_2=4$$。当$$x=3$$时，十位数字为4，两位数为43；当$$x=4$$时，十位数字为3，两位数为34。答：这个两位数为34或43。4.解：设班级共有$$x$$人。互赠贺卡为双向循环，列方程：$$x(x-1)=90$$，整理得$$x^2-x-90=0$$，解得$$x_1=10$$，$$x_2=-9$$（人数为正，舍去）。答：班级共有10人。5.解：设原两位数个位数字为$$x$$，则十位数字为$$x+2$$。原两位数为$$10(x+2)+x=11x+20$$，新两位数为$$10x+(x+2)=11x+2$$。列方程：$$(11x+20)(11x+2)=1008$$，整理得$$121x^2+242x-968=0$$，化简得$$x^2+2x-8=0$$，解得$$x_1=2$$，$$x_2=-4$$（舍去）。原两位数：$$11\times2+20=42$$。答：原两位数为42。总结：循环问题分清“握手减半、互赠不减”；数字问题牢记位值原理，不直接用数位数字代替数值。两类题型均需结合实际验根，人数、数位数字均为正整数，是中考填空与简答常考题型。学习目标1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2.通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.(重、难点)

3.通过教师讲解学生可以感受用一元二次方程解决相关实际问题的必要性以及在实际背景下检验解的合理性，增强应用意识.问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛一场)，受场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？探究点1：一元二次方程解决循环问题类型1：单循环问题问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛一场)，受场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？n123n-1...

n

个球队

×(n-

1)个球队

2(循环)

=总场数思考：赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，也就是一共要比赛

场，比赛的总场次用含x的代数式表示为

场，解：设应邀请x

支球队参赛，每支球队要与其他

(x－1)支球队各赛1场.28因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛.解方程，得

x1＝8，x2＝−7(不合题意，舍去).所以可列得方程

探究点1：一元二次方程解决循环问题【练一练】1.某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了

10次手，有多少人参加聚会？解：设共有

x

人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手

x(x−1)

次，但每人都重复了一次，故根据题意得

解得

x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴

x＝5.答：共有5个人参加聚会．探究点1：一元二次方程解决循环问题类型2：双循环问题问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛，如果有

n

支球队参赛，那么比赛的总场数为

n(n－1).探究点1：一元二次方程解决循环问题假设这个人算得对，即

n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么

n(n－1)＝300.解方程，得

由于1201不是完全平方数，所以

n

不可能为整数.因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.探究点1：一元二次方程解决循环问题由总场数为

n(n－1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，···，240，272，306，···.【变式题】某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？解：设共有

x

个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得

x(x－1)＝72.

解得

x1＝9，x2＝−8(舍去).

∴

x＝9.答：共有

9个班级参赛．归纳：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列方程.探究点1：一元二次方程解决循环问题探究点1：一元二次方程解决循环问题循环

问题单循

环x支球队进行比赛，每两队

之间比赛一场，共比赛a场.x人互相握手，共握手a次.x人每人与其他人合照一张

双人照，共合照a次.双循

环x人互送礼物或互发信息、

祝福等，总数为a.a＝x(x

－1)【归纳总结】探究点2：一元二次方程解决数字问题问题3：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，且这个两位数的数值是它两个数字乘积的3倍，求这个两位数.分析：设十位上的数字为x(x为

1一9

的整数)，则个位上的数字为

x＋2(x＋2＜9，即

x＜7)，两位数表示为

10x＋(x＋2)＝11x＋2；两个数字乘积为

x(x＋2).列一元二次方程：11x＋2＝3x(x＋2).

当

x＝2时，个位数字为2＋2＝4，两位数为24，验证：24＝3×(2×4)＝24，符合题意，故这个两位数为24.探究点2：一元二次方程解决数字问题【练一练】2.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.解：设原来的两位数十位上的数字为

x，则个位上的数字为

(5

-

x)，解得x1=2，x2=3.答：原来的两位数是23

或

32.依题意得

(10x+5−x)[10(5−x)+x]=736.当

x=2时，5−x=3；当

x=3时，5

−

x

=

2.探究点2：一元二次方程解决数字问题【归纳总结】数字

问题(1)两个连续整数：设较小的整数为

x，则较大的整数为

x＋1；(2)三个连续奇数(偶数)：设中间的数为

x，

则较小的数为

，较大的数为

⁠

⁠；(3)两位数：十位数字×10＋

个位数字；(4)三位数：百位数字×100＋

十位数字×10＋个位数字.x－2

x＋

2

探究点2：一元二次方程解决数字问题探究点3：其他问题问题4：在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一.某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠.调查发现，螃蟹的进价为40元/千克，售价为50

元/千克时，每天可销售100千克.每千克每涨价1元，每天少销售2千克，若商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克?分析：设当天螃蟹的售价为x元/千克，则每千克的销售利润为

(x－40)

元，每天可售出(200－2x)千克，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，可列出关于

x的方程，解之可得出

x的值，再结合要为顾客谋实惠，即可确定结论.探究点3：其他问题解：设当天螃蟹的售价为x元/千克，则每千克的销售利润为

(x－40)元，每天可售出

100－2(x－50)＝(200－2x)千克，根据题意得

(x－40)(200－2x)＝1600，解得

x1＝60，x2＝80，又∵要为顾客谋实惠，∴x＝60.答：当天螃蟹的售价为60元/千克.探究点3：其他问题解：设每件衬衫降价

x

元，根据题意得

(40−x)(20+2x)=1200，整理得

x2−30x+200=0.

解方程得

x1=10，x2=20.

答：每件衬衫应降价10元或20元.【练一练】2.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出

20件，每件盈利40元．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？探究点3：其他问题1.设未知数

x，用含

x的代数式表示销量、单件利润；2.根据利润=销量×单件利润列方程；3.解方程；4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍；5.作答.用一元二次方程解决营销问题的一般步骤探究点3：其他问题知识点1

循环问题

B

6知识点2

数字问题3.