二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册26.2.2.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质第二十六章

二次函数26.2.2.3二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象和性质

同步练习题一、核心知识点梳理1.顶点式通用特征二次函数顶点式\(y=a(x-h)^2+k(a\neq0)\)是最完整的平移形式，图象为抛物线。由基础抛物线\(y=ax^2\)先左右平移、再上下平移得到，整合了前两节所有平移规律。核心要素：顶点坐标\((h,k)\)，对称轴为直线\(x=h\)，开口大小、方向仅由系数\(a\)决定。2.完整平移规律（左加右减、上加下减）以\(y=ax^2\)为基础：\(h>0\)右移，\(h<0\)左移；\(k>0\)上移，\(k<0\)下移。平移只改变抛物线位置，不改变开口宽窄与形状，是二次函数平移的通用法则。3.最值与增减性（核心考点）当\(a>0\)时，抛物线开口向上，顶点\((h,k)\)为最低点，\(x=h\)时，\(y_{最小}=k\)；对称轴左侧\(x<h\)，\(y\)随\(x\)增大而减小；对称轴右侧\(x>h\)，\(y\)随\(x\)增大而增大。当\(a<0\)时，抛物线开口向下，顶点\((h,k)\)为最高点，\(x=h\)时，\(y_{最大}=k\)；对称轴左侧\(x<h\)，\(y\)随\(x\)增大而增大；对称轴右侧\(x>h\)，\(y\)随\(x\)增大而减小。4.开口规律\(|a|\)越大，抛物线开口越窄、图象越陡；\(|a|\)越小，开口越宽、图象越平缓，与\(h、k\)的取值无关。二、基础巩固习题（一）选择题1.抛物线\(y=2(x-1)^2+3\)的顶点坐标是（

）A.\((1,3)\)B.\((-1,3)\)C.\((1,-3)\)D.\((-1,-3)\)2.相较于\(y=3x^2\)，抛物线\(y=3(x+2)^2-1\)的平移方式是（

）A.左2、上1B.左2、下1C.右2、上1D.右2、下1（二）填空题3.抛物线\(y=-(x+3)^2-2\)的开口方向为________，对称轴为________，最大值为________。4.抛物线\(y=4(x-2)^2+5\)，当\(x\)________时，\(y\)随\(x\)增大而增大。三、综合提升习题（三）解答题5.已知抛物线\(y=a(x-h)^2+k\)的顶点为\((2,-3)\)，且经过点\((3,1)\)，求抛物线解析式。6.已知抛物线\(y=-2(x-1)^2+4\)，写出它的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减性，并比较点\(A(0,y_1)\)、\(B(2,y_2)\)的函数值大小。四、参考答案与详细解析1.A解析：顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)顶点为\((h,k)\)，本题\(h=1，k=3\)，顶点\((1,3)\)。2.B解析：左加右减、上加下减，\(x+2\)向左平移2个单位，\(-1\)向下平移1个单位。3.向下；直线\(x=-3\)；\(-2\)解析：\(a=-1<0\)开口向下，对称轴\(x=-3\)，顶点纵坐标即为最大值\(-2\)。4.\(\boldsymbol{>2}\)解析：\(a=4>0\)开口向上，对称轴右侧\(x>2\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。5.解：由顶点\((2,-3)\)得\(h=2，k=-3\)，解析式为\(y=a(x-2)^2-3\)。将点\((3,1)\)代入得：\(a(3-2)^2-3=1\)，解得\(a=4\)。综上，解析式为\(y=4(x-2)^2-3\)。6.解：\(a=-2<0\)，开口向下；对称轴为直线\(x=1\)；顶点坐标\((1,4)\)；当\(x=1\)时，函数最大值为4；当\(x<1\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大，当\(x>1\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小。代入求值：\(y_1=-2(0-1)^2+4=2\)，\(y_2=-2(2-1)^2+4=2\)，故\(y_1=y_2\)。五、本节易错点总结1.顶点坐标易错：\(y=a(x+h)^2+k\)中，顶点横坐标为\(-h\)，符号极易出错，务必对照\(y=a(x-h)^2+k\)标准形式转换；2.平移规律混淆：左右平移看括号内（左加右减），上下平移看整体末尾（上加下减），两类平移规则不可混用；3.增减性判断必须以对称轴\(x=h\)为分界，脱离对称轴笼统判断增减是高频错误。学习目标1.会用描点法画出y=a(x−h)2+k(a≠0)的图象；2.掌握二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)的图象和性质并会应用；(重点）

3.理解二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.（难点）(1)

y

=

ax2；说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：yyyyxxxxOOOOyyxxOO(3)

y

=

a(x

-

h)2.(2)

y

=

ax2

+

k；yyyyxxxxOOOOx···−4−3−2−1012·········-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5解：先列表：例1

画出函数

的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.

探究

开口方向：

；对称轴：

；顶点坐标是

；增减性：__________________________________________________________.再描点、连线.24x-2-4-6yO-2-4向下直线

x

=

-1(−1，−1)

当x＜-1

时，y随

x增大而增大；当x＞-1

时，y随

x增大而减小想一想：函数

y=a(x-

h)2+k

(a＜0)

的性质是什么？

开口方向：

；对称轴：

；顶点坐标是

；增减性：___________________________________________________.试一试

画出二次函数

y=2(x

+

1)2

-

2

的图象，并填空.-22xyO-246-424向上直线

x

=

-1(−1，-2)当x＜-1

时，y随

x增大而减小；当x＞-1时，y

随

x增大而增大想一想：函数

y=a(x-

h)2+k

(a＞0)

的性质是什么？

【归纳总结】y=a(x-h)2+ka＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性向上向下直线

x=h直线

x=h(h，k)(h，k)当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k当

x＜h时，y

随

x

的

增大而减小；x＞h

时，y

随

x

的增大而增大当

x＜h

时，y

随

x

的

增大而增大；x＞h

时，y

随

x

的增大而减小

【练一练】

1.二次函数

y＝−2(x+1)2−

4，下列说法正确的是()

A．图象开口向上

B．图象的对称轴为直线

x＝1

C．图象的顶点坐标为

(1，4) D．当

x＜−1时，y

随

x的增大而增大D

例2

已知抛物线

y＝a(x

−3)2+2经过点

(1，−

2)．(1)指出抛物线的对称轴；(2)求

a

的值；解：(1)由

y＝a(x﹣3)2+2可知其顶点为

(3，2)，

对称轴为直线

x＝3.(2)∵抛物线

y＝a(x﹣3)2+2经过点(1，-2)，∴-2＝a(1-

3)2+2，∴

a＝-1.

(3)若点

A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，

试比较

y1与

y2的大小．∴y1＜y2.解：∵y＝﹣(x﹣3)2+2，∴此函数的图象开口向下，当

x＜3时，y随

x的增大而增大.∵点

A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，

O

画一画，填出下表：-22-2-4xy想一想：

怎样移动可以得到

？向下向下向下向下x=0x=0x=

-1x=

-1(0,0)(0,-1)(-1,0)(-1,-1)

向左平移1个单位长度平移方法11个单位长度向下平移24x-2-4yO-2-4例3

怎样移动抛物线

就可以得到抛物线

？

平移方法2向左平移向下平移1个单位1个单位24x-2-4yO-2-4怎样移动抛物线可以得到抛物线？

【归纳总结】y=ax2y=ax2±k

y=a(x±h)2y=a(x±h)2±k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律(设

h＞0，k＞0)：简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数a不变.二次函数y=ax2

与y=a(x±h)2±k的关系

【链接中考】1.将抛物线

y

=﹣5x2+1

向左平移

1

个单位长度，再向下平移

2

个单位长度，所得到的抛物线为()

A．y

=﹣5(x

+1)2﹣1

B．y

=﹣5(x﹣1)2﹣1

C．y

=﹣5(x

+1)2+3 D．y

=﹣5(x﹣1)2+3A

【想一想】b3___0k3___0问题：一次函数

y=kx+

b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：k1___0b1___0k4___0b4___0＜＞＞＜＞＞xyOy=k1x+

b1xyOy=k3x+

b3y=k4x+

b4y=k2x+

b2k2___0b2___0＜＜

试着画出二次函数

y=a(x-

h)2+k不同情况下的大致图象.(

按

a，h，k的正负分类

)a＞0，h＜0a＞0，h＞0a＜0，h＜0a＜0，h＞0

例4已知二次函数

y＝a(x－1)2－k的图象如图所示，则一次函数

y＝ax＋k的大致图象是(

)解析：根据二次函数开口向上得

a＞0，根据

－k是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出

k＞0，故一次函数y＝ax＋k的图象经过第一、二、三象限．故选A.A

【归纳总结】结论：①

a决定开口方向.

②

(h，k)决定顶点坐标.h

决定对称轴(直线

x=h).h＜0，对称轴在

y

轴的左侧；h＞0，对称轴在

y

轴的右侧；k＞0，顶点在

x轴的上侧；k＜0，顶点在

x轴的下侧.③

a，h(对称轴)决定函数的增减性.

说一说，对于二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)

图象性质中，字母

a，h，k

所起的作用.

例5

要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为

1.6m

处达到最高，高度为

3

m，水柱落地处离池中心

3.6

m，水管的长应为多少