二次函数 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册26.1.1二次函数第二十六章

二次函数26.1.1二次函数

同步练习题一、核心知识点梳理1.二次函数的定义一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$是常数，$$a\neq0$$）的函数，叫做二次函数。核心判定条件：自变量最高次数为2、二次项系数不为0、解析式为整式函数，三个条件缺一不可。2.二次函数一般形式解读$$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$$中，$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。$$a\neq0$$是二次函数的核心前提，$$b、c$$可以为0。3.特殊形式分类当$$b=0，c=0$$时，$$y=ax^2$$（最简二次函数）；当$$b=0$$时，$$y=ax^2+c$$；当$$c=0$$时，$$y=ax^2+bx$$，以上均属于二次函数。4.自变量取值范围纯二次函数解析式中，自变量$$x$$的取值范围是全体实数；若结合实际应用题，需根据实际场景限定自变量取值。二、基础巩固习题（一）选择题1.下列函数中，属于二次函数的是（

）A.$$y=2x+1$$B.$$y=\frac{1}{x^2}$$C.$$y=x^2-2$$D.$$y=x^3+x$$2.若函数$$y=(m-3)x^2+2x-1$$是二次函数，则$$m$$的取值范围是（

）A.$$m\neq3$$B.$$m=3$$C.$$m>3$$D.$$m<3$$（二）填空题3.二次函数$$y=5x^2-3x+2$$的二次项系数是________，常数项是________。4.若函数$$y=(k+2)x^2-3x$$是二次函数，则$$k$$的取值范围是________。三、综合提升习题（三）解答题5.判断下列函数是否为二次函数，说明理由。（1）$$y=1-3x^2$$（2）$$y=x(x-2)-x^2$$（3）$$y=\sqrt{x^2+1}$$6.已知函数$$y=(m^2-4)x^2+(m+2)x+3$$，当$$m$$为何值时，该函数为二次函数？7.已知二次函数$$y=x^2+bx+3$$，当$$x=1$$时，$$y=0$$，求该函数的解析式。四、参考答案与详细解析1.C解析：A是一次函数，B是分式函数，D是三次函数，只有C符合二次函数定义。2.A解析：二次函数二次项系数不为0，即$$m-3\neq0$$，解得$$m\neq3$$。3.5，2解析：对照二次函数一般形式，直接提取对应系数与常数项。4.$$k\neq-2$$解析：由$$k+2\neq0$$，可得$$k\neq-2$$。5.解析：（1）是二次函数，为整式函数，自变量最高次数为2，二次项系数不为0；（2）不是，化简得$$y=-2x$$，是一次函数；（3）不是，解析式含根号，不是整式函数。6.解：由二次函数定义得$$m^2-4\neq0$$，解得$$m\neq\pm2$$。答：当$$m\neq\pm2$$时，该函数为二次函数。7.解：将$$x=1，y=0$$代入解析式得：$$1+b+3=0$$，解得$$b=-4$$，函数解析式为$$y=x^2-4x+3$$。五、本节易错点总结1.判断二次函数必须先化简解析式，化简后无二次项则不是二次函数；2.含参数二次函数，核心限制条件为二次项系数不为0，切勿遗漏；3.分式、根式形式的函数一定不是二次函数，二次函数必须是整式函数。学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题；

3.能根据实际问题列二次函数关系式.（难点）探究

用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积

y

(单位：m²)会随矩形一边长

x(单位：m)的变化而变化，y与

x

之间有什么关系？分析：矩形的一边长

x

和面积

y都是变量，而且对于的每一个确定的值，

y都有唯一确定的值与其对应，即

y是

x

的函数，则根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为y=

x(20-

x)，即y=

-

x2

+

20x①探究点1：二次函数的概念分析：单循环问题问题1

n

支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数

m

与球队数

n

有什么关系？

每支球队

n

要与其他

个球队各比赛1

场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为(n

−

1)

，即

.②同理，

m是

n

的函数吗？探究点1：二次函数的概念②式表示比赛的场次数

m

与球队数n之间的关系，其中

m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数.

探究点1：二次函数的概念问题2

某种产品现在的年产量是

20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加

x

倍，那么两年后这种产品的产量

y

(单位：t)将由

x

的值确定，y

与

x

之间的关系怎样表示？分析：这种产品的原产量是

20t，一年后的产量是

t，再经过一年后的产量是

t，即两年后的产量

y

=__________，即

.③20(1+x)20(1+x)(1+x)20(1+x)2y

=20x2+40x+20同理，

y

是

x

的函数吗？探究点1：二次函数的概念③式表示了两年后的产量y

与每年的计划增产倍数

x

之间的关系，其中

x

和y

都是变量，而且对于

x

的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即

y是

x

的函数.y

=20x2+40x+20③想一想：上述问题中函数关系式有什么共同点?函数都是用自变量的二次整式表示的y

=

20x2

+

40x

+

20y=-

x2

+

20x探究点1：二次函数的概念二次函数的定义

一般地，形如

y

=

ax²

+

bx

+

c

(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.二次项系数自变量

解析式

y

=

ax²

+

bx

+

c

一次项系数常数项同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？探究点1：二次函数的概念例1

下列函数中哪些是二次函数?为什么?(x

是自变量)①y

=

(x

+

3)²

−

x²；②

y=

3

−

2x²；

③

y

=

x2

+

3x；④；⑤

y=x²+x³+25；

⑥y

=

ax2

+

bx

+

c.不一定是，缺少

a≠0

的条件.不是，等式右边是分式.不是，x

的最高次数是

3.不是，y

=

6x

+

9探究点1：二次函数的概念【方法归纳】(1)将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式；(2)a，b，c

为常数，且

a≠0；(3)等号左边是因变量

y，右边是关于自变量

x

的整式；(4)等式的右边自变量的最高次数为2.判断一个函数是否为二次函数的步骤：探究点1：二次函数的概念【链接中考】1.下列函数中，是二次函数的是()A.y

=8x2

+1B.y

=8x

+1D.A探究点1：二次函数的概念【归纳总结】

y

=8x2

y

=

20x2

+

40x

+

20

y

=

ax²

+

bx

+

c

(a≠0)

y=

3

−

2x²

y

=

ax²

+

c

(a≠0)

y

=

ax²

(a≠0)

y

=

ax²

+

bx

(a≠0)

b

=0

c

=0

b

=0，c

=0二次函数的一般形式：特殊形式成立条件函数解析式【合作探究】

探究点1：二次函数的概念例2若函数y=(m+1)xm²-2m

-1+(m

-3)x+4是二次函数，求

m的值.∴m=3.总结

本题易忽略二次项系数不为

0

这一限制条件，从而得出

m

=

-1的错误答案.解：由题意得m²-2m

-1=2，m

+1≠0，探究点1：二次函数的概念【链接中考】2.已知

y=(m²

-

m)x²+mx

-

2(m为常数)，根据下列条件求

m的值：(1)

y

是

x的一次函数；

(2)

y

是

x的二次函数；∴

m=1.(2)y

是

x的二次函数，只须

m2-

m≠0.

∴m≠1且

m≠0.解：(1)由题意得m²-

m=0，m

≠0，探究点1：二次函数的概念探究点2：根据实际问题列二次函数关系式例3(1)

一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积

S

关于半径

r的函数解析式.解：(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以

S

=

2πr²+2πr·r，即S

=

4πr²

(2)

一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是

x

，写出两年后产品的年销售量

y

(单位：万件)关于

x

的函数解析式.(2)一年后产品的年销售量为

8(1－x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以y=8(1－x)2即

y=8x2－16x＋8.探究点2：根据实际问题列二次函数关系式【练一练】1.

如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园

ABCD，设

AB边长为

xm，求菜园的面积

y(单位：m2)与

x(单位：m)的函数关系式.x解：矩形面积(

y)=长×宽实际问题注意取值范围：0＜x＜30.

【练一练】2.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第

1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润

6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少

5件.若生产第

x

档次的产品一天的总利润为

y元(其中

x

为正整数，且

1≤x≤10)，求出

y关于

x的函数关系式.∴

y＝[6＋2(x－1)][95−5(x－1)].解：由题意得，第

x

档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)

元，产量减少了5(x－1)件．即

y＝－10x2＋180x＋400(其中

x是正整数，且1≤x≤10).知识点1

二次函数的定义

CA.

4个

B.

3个

C.

2个

D.

1个

3【点拨】当函数的二次项系数包含字母时，要注意二次