第3课时 循环问题（课件） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九年级（上）25.3实际问题与一元二次方程25.3第3课时

循环问题第二十五章一元二次方程问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛一场)，受场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？解：设应邀请x

支球队参赛，每支球队要与其他

(x－1)支球队各赛1场.因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛.解方程，得

x1＝8，x2＝−7(不合题意，舍去).所以可列得方程

知识点：循环问题与一元二次方程1.某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了

10次手，有多少人参加聚会？解：设共有

x

人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手

x(x−1)

次，但每人都重复了一次，故根据题意得

解得

x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴

x＝5.答：共有5个人参加聚会．练一练单循环指所有参赛选手只相遇一次，如握手、单循环赛等；总次数

=

，其中n为参与对象的数量.归纳总结

问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛，如果有

n

支球队参赛，那么比赛的总场数为

n(n－1).假设这个人算得对，即

n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么

n(n－1)＝300.解方程，得

由于1201不是完全平方数，所以

n

不可能为整数.因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.由总场数为

n(n－1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，···，240，272，306，···.2.某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？解：设共有

x

个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得

x(x－1)＝72.

解得

x1＝9，x2＝−8(舍去).

∴

x＝9.答：共有

9个班级参赛．归纳：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列方程.双循环：指所有参赛选手相遇两次，如足球双循环赛、互发邮件等.双循环问题：总次数=n(n－1)，其中

n为参与对象的数量.归纳总结一元二次方程解决实际问题循环问题

双循环：n(n－1)1.[教材变式]某校九年级组织一次篮球比赛，

每两班之间都比赛一场，共进行了55场比赛，则该

校九年级共有班级个数为(

C

)A.9B.10C.11D.12C2.

一个两位数的个位数字与十位数字的和为

11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数.解：设个位数字为x，则十位数字为(11－x).由题意得x2＋(11－x)2＝85，解得x1＝2，x2＝9.当x

＝2时，两位数为92，当x＝9时，两位数为29.答：这个两位数为92或29.解：设个位数字为

x，则十位数字为

(11－x).由题意得

x2＋(11－x)2＝85，解得

x1＝2，x2＝9.

当

x＝2时，两位数为

92，当

x＝9时，两位数为29.答：这个两位数为92或29.3.商场以每件100元的价格购进纪念品，以每件150元的价格出售，平均每天可销售30件.经试验发现，纪念品的销售单价每提高1元，平均每天的销售量就减少10件.若销售这种纪念品每天获得的利润为520元，求销售单价.x解：设销售单价提高x元，由题意得(150－100＋x)(30－10x)＝520.化简得x2＋47x－98＝0，即(x－2)(x＋49)＝0.解得x1＝2，x2＝－49(舍去).故150＋2＝152(元).解得x1＝2，x2＝－49(舍去).故150＋2＝152(元).答：当销售单价为152元时，每天获得的利润为

520元.3.

商场以每件100元的价格购进纪念品，以每件150元的价格出售，平