【初等代数思维向抽象代数思维转变的一些实例综述1200字】

初等代数思维向抽象代数思维转变的一些实例综述1.1关于反函数在中学课程中,反函数之定义:一般地,设函数,其值域为,若能找到一个函数,使得,如果对于值域中的每一个,在中有且只有一个与之对应,则式子叫做函数的反函数,记作.由此,我们可知函数存在反函数的两个充分条件为(1)把看成关于的方程,就能求出其相对应的反函数;(2)解析式对应的函数值必须唯一.若由此为切入点,引出反三角函数的概念,则学生或许会产生疑问:“为何会有反函数?”若将其当作自变量为的方程,如何利用方程的变形求出其反函数REF_Ref72271748\r\h[5]?显然,上述反函数的定义无法解答此疑问.假如利用逆映射的概念去定义反函数,将其引入,学生会不会更容易接受呢?设是一个映射,如果在之下,集合中任意不同的元素在集合中之像皆互异,则称为单射;若集合中的每一个元素在集合中都有逆像,则称为满射.而既单又满的映射叫作一一映射或双射.如果是一一映射,那么必存在集合到集合的映射,即逆映射,记为.定义1.1.1REF_Ref72271748\r\h[5]函数的映射若存在逆映射,则此逆映射所确定的函数叫做函数的反函数.我们则有的映射显然为一一映射,从而它有逆映射.因此,根据以上定义得有反函数,记作.由此可见,前者即由初等代数思维方式定义的反函数只是反函数存在的表面,而后者由抽象代数思维方式定义的反函数才是反函数的实质.抽象代数使反函数的概念更具广泛性,所以映射、一一映射的观点在反函数中的这一渗透,将会使学生更好地理解反函数的概念REF_Ref72271748\r\h[5].1.2关于运算在抽象代数中,运算的概念:定义映射,称之为非空集合中的元代数运算.当时,一元运算与从到的映射两者是统一的.如既可以看成是的开算术平方根;也可看成当时,函数的函数值[5].当时,其为二元运算.例如,在整数集中数目的加法与乘法运算:已知,求它们的最大公约数与最小公倍数REF_Ref72271748\r\h[5].从以上概念的定义中可知,运算之实质为映射,其结果应具有唯一性.因此,中学教材中提到的“实数集上的开平方运算”并不严谨,这也为强调算术根的重要性提供了理论依据.再者,中学数学中常把“开方运算看成是乘方运算的逆运算”,从严格意义上看也是不严谨的.因为对一元运算来说,其存在逆运算就是对应的逆映射存在与否的问题REF_Ref72271748\r\h[5].一般有:定义1.1.1[5]若映射是双射,则存在一个双射,使,(分别为上的恒等映射).此时称为的逆映射,记为.现令.因为,即;,即.1.3序关系与大小比较众所周知,复数没有大小,故不能排序.那么,它的理论依据是什么?为讨论这个问题我们给出定义1.3.1设是集合上的一个关系且满足条件(1)且.(2)且,则称是上一个“偏序关系”,叫偏序集.若“”还满足(3)则或或,则称为全序集.说到比较数之大小,则数集上的全序关系与数集上的代数运算应有关系,即:(4)若,则.(5)若,则.我们用反证法证明:复数无法比较大小,所以复数不属于有序域.证:设复数之间存在一种关系,且为全序关系,能使复数域成为有序域.接着,我们用虚数单位说明之.由于是全序关系,必有或.如果,根据符号规则可得,则有,得,这与矛盾,所以.如果,根据