2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)第03讲不等关系与不等式(学生版+解析)

第03讲不等关系与不等式题型梳理题型梳理易错分析易错点一比较大小时忽视0这个特殊值题型方法题型一比较数或式的大小题型二利用不等式的性质求取值范围知识清单知识清单1．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔ab，,a－b＝0⇔ab，,a－b<0⇔ab.))(a，b∈R)2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么.3．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔；性质2传递性：a>b，b>c⇒；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒；a>b，c<0⇒；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a>b>0，m>0⇒eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；若b>a>0，m>0⇒eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m).易错分析易错分析【易错点一】比较大小时忽视0这个特殊值【例1】（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【举一反三】【变式1】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（

）A． B．C． D．【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【变式3】（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．题型方法题型方法【题型一】比较数或式的大小【例1】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（

）A． B． C． D．解题技巧比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．【举一反三】【变式1】（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】（2020·山东·模拟预测）已知为实数，则(填“”、“”、“”或“”).【变式3】（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：．（2）设a，b，c为正实数，求证：．【题型二】利用不等式的性质求取值范围【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（

）A． B． C． D．解题技巧求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．【举一反三】【变式1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是.【变式3】（2023·浙江·模拟预测）已知中，内角所对的边分别为，且满足.(1)若，求；(2)求的取值范围．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·三模）已知，且，则（

）A． B．C． D．3．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（

）A． B． C． D．4．（2023·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（

）A． B．C． D．二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则8．（2025·河北廊坊·模拟预测）若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．9．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题10．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是．11．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则．12．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是.13．（2024·北京西城·二模）在数列中，，．给出下列三个结论：①存在正整数，当时，；②存在正整数，当时，；③存在正整数，当时，．其中所有正确结论的序号是．四、解答题14．（2024·重庆·一模）已知函数，曲线与有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用表示，并求的最小值；(2)求证：当时，；(3)已知，若方程有两个不等实根，证明：.15．（2025·河北·模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于.16．（2024·四川乐山·三模）设不等式的解集为.(1)证明：；(2)比较与的大小.17．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d均为正数，且．(1)证明:若，则;(2)若，求实数t的取值范围．18．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，．(1)试比较与的大小；(2)若恒成立，求的取值范围．19．（2025·云南·一模）定义：若函数对于定义域内的任意，都有，则称函数为“下凸函数”；反之，若，则称函数为“上凸函数”.已知函数（）.(1)当，，时，判断函数是“上凸函数”还是“下凸函数”，并说明理由.(2)若函数是“下凸函数”，求的取值范围.(3)若函数在区间上是“下凸函数”，在区间上不单调，且在区间上的最大值为，最小值为，求证：.第03讲不等关系与不等式题型梳理题型梳理易错分析易错点一比较大小时忽视0这个特殊值题型方法题型一比较数或式的大小题型二利用不等式的性质求取值范围知识清单知识清单1．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(a，b∈R)2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a>b>0，m>0⇒eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；若b>a>0，m>0⇒eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m).易错分析易错分析【易错点一】比较大小时忽视0这个特殊值【例1】（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据幂函数的性质判断C.【详解】对于A：当、，满足，但是，故A错误；对于B：当、，满足，但是，故B错误；对于C：因为在定义域上单调递增，若，则，故C正确对于D：当、，满足，但是，故D错误.故选：C【举一反三】【变式1】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误，取,则，无法得到，C错误，由于，则，所以，故选：D【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由题意可得，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得，A项:由单调递增，知，故选项A正确；B项:时选项B不正确；C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确；D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确．故选:AC．【变式3】（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断.【详解】对于A，，因为，所以，即，所以，故A正确；对于B，取，此时，故B错误；对于C，取，则，故C错误，对于D，若，则显然成立，若，则成立，若，则成立，综上所述，只要，就一定有，故D正确.故选：AD.题型方法题型方法【题型一】比较数或式的大小【例1】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果.【详解】由，且可得，即，则，又，即，化简可得，即，其中，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，综上所述，.故选：A解题技巧比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．【举一反三】【变式1】（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.【详解】当时，，且，故，C项错误；因为，，所以，故B项错误；，故D项正确.故选：D.【变式2】（2020·山东·模拟预测）已知为实数，则(填“”、“”、“”或“”).【答案】【分析】作差法解决即可.【详解】由题知，，当且仅当时，取等号.故答案为：.【变式3】（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：．（2）设a，b，c为正实数，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明.【详解】（1）因为，a，b为正实数，所以，所以，当且仅当时，取等号．（2）由（1），得．同理，得，所以，当且仅当时，取等号．【题型二】利用不等式的性质求取值范围【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由不等式的同向可加性得到结果.【详解】因为，得，，所以．故选：B．解题技巧求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．【举一反三】【变式1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D错误.故选：B.【变式2】（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是.【答案】【分析】根据，，得到，利用得到的取值范围，将表示成关于的三次函数，利用导数求最值即可求得取值范围.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，整理得，因为，解得，，设，则，令得或，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，，，所以，，所以的取值范围是.故答案为：.【变式3】（2023·浙江·模拟预测）已知中，内角所对的边分别为，且满足.(1)若，求；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及余弦定理求得，再由直角三角形求得答案.（2）由（1）得到，求得，再求出的范围，借助不等式性质求出范围.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，整理得，而，由余弦定理得，即，联立解得，，因此，，所以.（2）由（1）知，则，且，由，得，即，因此，所以的取值范围是.好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】由可得，故，故选：D2．（2024·北京·三模）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确；对于B中，例如，此时，所以B不正确；对于C中，由函数在上为单调递减函数，因为，所以，可得，所以C正确；对于D中，例如，此时，所以D不正确.故选：C.3．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解.【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误，对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误，对于选项C，由，得到，即，所以推不出，但可以得出，故选项C正确，对于选项D，由，得到，又，当且仅当时取等号，显然不满足题意，则，即，又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误，故选：C.4．（2023·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】由题意知为正数，且，所以，化简得，解得，当且仅当时取等号，所以，故A正确.故选：A.5．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得，利用指对数函数的单调性，通过构造函数判断单调性可推得，最后利用正切函数的单调性可得.【详解】由可得因，又，故,即；因，则由，由函数，，因时，，即函数在上单调递减，则有，故得；由，而，即，综上，则有.故选：B.【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较；（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.【详解】选项A：当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确；选项B：由得，所以，故选项B正确；选项C：令，满足，但不成立，故选项C错误；选项D：由得，因为，所以，所以，故选项D正确．故选：ABD.7．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【分析】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C.【详解】对于A，取，满足，但是，故A错误；对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以，所以，故B正确；对于C，因为，，又因为，所以，而，即，，所以，故C正确；对于D，设，即，则，解得，所以，又，则，且，所以，所以，故D正确；故选：BCD8．（2025·河北廊坊·模拟预测）若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先由对数函数的单调性得，利用作差法即可判断AB，构造函数即可判断C，构造函数，利用导数研究单调性即可判断D.【详解】因为在为增函数，由有，对于A：由，因为，所以，故A正确；对于B：由，当时，，即，故B错误；对于C：令，可知在上单调递增，由有，故C正确；对于D：令，则，由有，有，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，故D错误.故选：AC.9．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.【详解】且，则，，则，A正确；因为，，所以，B错误；因为，，，当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误；因为，当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合，所以不成立，故，即，D正确.故选：AD三、填空题10．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是．【答案】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】由可得，所以，故答案为：11．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则．【答案】（答案不唯一）【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.【详解】由题意可知的定义域为，且在上为增函数；下面证明该函数满足③：取任意的，，，则，当且仅当时取等号，即，即满足③，故答案为：12．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围.【详解】因为，所以，解得，所以，，因为不等式组恰有3个整数解，所以，故答案为：.13．（2024·北京西城·二模）在数列中，，．给出下列三个结论：①存在正整数，当时，；②存在正整数，当时，；③存在正整数，当时，．其中所有正确结论的序号是．【答案】②③【分析】根据递推关系求出，用差比较法可判定各选项.【详解】对于①：由，，可得，又，当时，因为，所以时，故①错误；对于②：，又，结合①的结论时，所以当时，，故②正确；对于③：，，所以当时，，所以，故③正确；故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题关键在于求出，根据递推关系分析出当时，进而判定①，利用差比较法结合结论①可判定②③.四、解答题14．（2024·重庆·一模）已知函数，曲线与有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用表示，并求的最小值；(2)求证：当时，；(3)已知，若方程有两个不等实根，证明：.【答案】(1)1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据公共点处切线相同可得，利用导数可求的最小值;（2）利用同构即证，结合导数可证该不等式成立；（3）结合（2）可得，从而可得不等式成立.【详解】（1），，设公共点的横坐标为，则，故，故，其中，设，则，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故.故的最小值为1.（2）由（1）可得，要证：即证：，即证：，即证：，设，则，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，故，即，故成立，故.（3）取，由（1）可得，结合（2）可得即因为方程有两个不等实根，故，故故，而，故，则，故，即【点睛】关键点点睛：证明函数不等式时可根据不等式的结构特征合理同构，从而得到比较容易证明的不等式，后者可利用导数证明.15．（2025·河北·模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于.【答案】(1)递减区间为，递增区间为；(2)证明见解析.【分析】（1）求出的导数，在时，探讨函数的单调性，求出的单调区间.（2）设大于1的极值点，由极值点的意义可得，利用导数可得，进而确定的极小值点，求出极小值，再作差比较大小即得.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，令，求导得，当时，，则函数在上单调递增，而，当时，；当时，，函数的递减区间为，递增区间为.（2）由函数存在大于1的极值点，设此极值点为，由（1）知1是的另一极值点，由，得，令函数，求导得，函数在上单调递增，，则，而，于是，因此，当时，，函数在上单调递减，，因此函数的极小值点不是1，应为，函数的极小值为，且，，即，所以函数的极小值小于.16．（2024·四川乐山·三模）设不等式的解集为.(1)证明：；(2)比较与的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）令，化简后，由，可求出，然后利用绝对值三角不等式可求证得结论；（2）结合利用作差法比较即可.【详解】（1）证明：记则，解得，即．，则．当且仅当时取等号.（2）由（1）知，所以则，∴，∴.17．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d均为正数，且．(1)证明:若，则;(2)若，求实数t的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质推理即得.（2）结合已知可得，再利用基本不等式求解即得.【详解】（1）由均为正数，，得，又，则，所以.（2）显然，而均为正数，则，又，当时取等号，而，因此，，所以实数t的取值范围.18．（2024·河南信阳·模拟预