2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)第06讲函数的概念及其表示(学生版+解析)

第06讲函数的概念及其表示题型梳理题型梳理易错分析易错点一对抽象函数定义域的理解不透彻题型方法题型一函数的定义域题型二判断相同函数题型三函数的值域与最值题型四分段函数问题知识清单知识清单1．函数的概念一般地，设A，B是，如果对于集合A中的一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：、、．(2)如果两个函数的相同，并且完全一致，则这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有、图象法和．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．易错分析易错分析【易错点一】对抽象函数定义域的理解不透彻【例1】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【举一反三】【变式1】（2021·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是【变式3】（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.题型方法题型方法【题型一】函数的定义域【例1】（2025·江西·模拟预测）已知集合，，则（

）A．{0，1，3} B． C．{1，3} D．解题技巧(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．【举一反三】【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数实数b的取值范围．【变式3】（2023·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域．【题型二】判断相同函数【例2】（2023·四川·模拟预测）与函数是相同函数的是（

）A． B． C． D．【举一反三】【变式1】（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式2】（2020·广东中山·模拟预测）下列各组表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式3】（多选）（2021·江西·模拟预测）下列各组函数中表示同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【题型三】函数的值域与最值【例3】（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（

）A． B． C． D．【举一反三】【变式1】（2020·辽宁·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．3【变式2】（2025·安徽·一模）函数的值域为.【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．(1)求的值域；(2)求不等式的解集．【题型四】分段函数问题【例4】（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．解题技巧分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．【举一反三】【变式1】（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（

）A．1 B．4 C．5 D．2024【变式2】（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为.【变式3】（2022·山东济南·二模）已知函数(1)若，求m的值；(2)若，求a的取值集合．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与2．（2024·云南曲靖·二模）函数的值域为（

）A． B． C． D．3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（2025·福建福州·模拟预测）已知，，，，（

）A． B．0 C．1 D．25．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2024·青海海南·二模）函数的定义域为（

）A． B．C． D．7．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（

）A．2 B．3 C．6 D．9二、多选题8．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（

）A．函数与表示同一函数B．函数与是同一函数C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点D．函数，则09．（2023·海南·模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（

）A． B．C． D．10．（2025·辽宁辽阳·二模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．是奇函数 D．在上单调递减11．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．函数的值域为三、填空题12．（2023·广东佛山·模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数.①定义城为，②导函数；③值域为13．（2022·上海·模拟预测）若，则函数的值域为.14．（2025·上海静安·模拟预测）已知集合，则．15．（2023·陕西西安·模拟预测）函数的最大值是；最小值是.16．（2022·上海·模拟预测）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为.四、解答题17．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)证明：当时，恒成立.18．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，记的值域为集合，的值域为集合.(1)求；(2)若，求实数的取值范围.19．（2022·江西·二模）已知函数的定义域为M．(1)若，求实数a的取值范围；(2)求．20．（2024·上海闵行·一模）已知(1)若，求函数的值域；(2)若存在，使得，求实数的取值范围．第06讲函数的概念及其表示题型梳理题型梳理易错分析易错点一对抽象函数定义域的理解不透彻题型方法题型一函数的定义域题型二判断相同函数题型三函数的值域与最值题型四分段函数问题知识清单知识清单1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．易错分析易错分析【易错点一】对抽象函数定义域的理解不透彻【例1】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，则，可得，所以，函数的定义域为，对于函数，则有，解得，因此，函数的定义域为.故选：C.【举一反三】【变式1】（2021·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出复合函数的定义域即可得．【详解】解：由题意可得，解得．因为有定义，所以当时，由，得；当时，由，得；当时，，恒成立．综上，实数的取值范围是．故选：D．【变式2】（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是【答案】【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得.【详解】由函数的定义域是，得，则，由，解得，所以的定义域是.故答案为：【变式3】（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.【详解】由函数的定义域为，则有，令，解得.故答案为：.题型方法题型方法【题型一】函数的定义域【例1】（2025·江西·模拟预测）已知集合，，则（

）A．{0，1，3} B． C．{1，3} D．【答案】A【分析】根据函数定义域求出集合的范围,根据集合求交集的方法求解.【详解】由题意知,解得则集合,则.故选：A.解题技巧(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．【举一反三】【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义，则有，解得或，所以函数的定义域是.故选：C【变式2】（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数实数b的取值范围．【答案】2【分析】利用函数的定义域求解即可.【详解】函数，故，即函数的定义域为，故.故答案为：2；【变式3】（2023·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域．【答案】.【分析】由题意列出不等式组解之即得.【详解】由函数的定义域为，则要使函数有意义，则，解得,∴函数的定义域为.【题型二】判断相同函数【例2】（2023·四川·模拟预测）与函数是相同函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，对原不等式等价变形即可.【详解】由得，所以．故选：C．【举一反三】【变式1】（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得．【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数；对于B中，函数和的定义域都是，但对应法则不同，所以不是同一个函数；对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数.故选：A．【变式2】（2020·广东中山·模拟预测）下列各组表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】两个函数若是同一函数，需定义域和对应关系相同，根据定义判断选项.【详解】A.的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；B.和的定义域是，且，两个函数的解析式相同，所以是同一函数；C.，，两个函数的定义域都是，两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；D.的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B【变式3】（多选）（2021·江西·模拟预测）下列各组函数中表示同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AB【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断．【详解】A中两个函数定义域都是，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；B中两个函数定义域都是，对应法则都是取平方，是同一函数；C中定义域是，的定义域是，不是同一函数；D中的定义域是，的定义域是，不是同一函数．故选：AB．【题型三】函数的值域与最值【例3】（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二次函数与对数函数的性质即可得解.【详解】对于，有，解得，对于，其图象开口向下，对称轴为，当时，，当时，，所以当时，，即，又在其定义域内单调递增，所以，则，则的值域为.故选：D.【举一反三】【变式1】（2020·辽宁·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】由偶函数的定义化简可求得，则，借助基本不等式和余弦函数性质即可得解.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，化简可得：，解得：，即.又因为，，所以（当且仅当时两个“”同时成立）.故选：C.【点睛】本题考查偶函数的定义，考查求函数的最值，合理利用基本不等式和函数性质是解答本题的关键，属于中档题.【变式2】（2025·安徽·一模）函数的值域为.【答案】【分析】由函数的单调性即可求解.【详解】因为与在上均为减函数，且当时，，所以，故的值域为.故答案为：【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．(1)求的值域；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解函数的值域；（2）由（1）中的分类讨论结果代入（2）中不等式，依次解出取并集即可得解.【详解】（1）当时，．当时，．当时，，进一步当时，，当时，．所以的值域为．（2）当或时，，解得．当时，，即，解得．综上，不等式的解集为．【题型四】分段函数问题【例4】（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.解题技巧分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．【举一反三】【变式1】（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（

）A．1 B．4 C．5 D．2024【答案】A【分析】通过计算求得函数的周期即可得到答案.【详解】因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，，为3的倍数，则．故选：A【变式2】（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为.【答案】【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解．【详解】因为，当时，，当时，函数单调递减，故，综上，函数的值域为．故答案为：．【变式3】（2022·山东济南·二模）已知函数(1)若，求m的值；(2)若，求a的取值集合．【答案】(1)3或-2(2)【分析】（1）结合分段函数解析式列方程，由此求得的值.（2）首先判断的取值范围，然后解一元二次不等式求得的取值集合.【详解】（1）当时，，解得或（舍去）；当时，，解得.∴m的值为3或-2.（2）对任意实数，，，，解得.∴a的取值集合是.好题必刷好题必刷一、单选题1．（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【分析】对于A：由定义域不同,即可判断；对于B：由定义域不同，即可判断；对于C：由对应关系不同，即可判断；对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数.【详解】对于A：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，所以A错误；对于B：的定义域为，的定义域为R，定义域不同，所以B错误；对于C：，对于，对应关系不同，故C错误；对于D：定义域为R,，定义域为R，二者对应关系相同，定义域相同，为同一函数.故选：D2．（2024·云南曲靖·二模）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把的值代入解析式计算即可得答案.【详解】当时，，当时，，当时，，故的值域为.故选：B.3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先利用函数的定义域求得集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断.【详解】∵函数的定义域为，所以，令，解得，即，即，∵，∴“”是“”的必要不充分条件，故选：C.4．（2025·福建福州·模拟预测）已知，，，，（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据多项式函数的性质及代数运算，利用二进制分解和系数符号的确定可求.【详解】若每个，则，又.所以综合减少了.因为，，.所以.所以，.所以.故选：A.5．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为在单调递增，在单调递增，所以当时，单调递增，则，又函数的值域为，所以时，函数的值域要取到的所有实数，所以，当时，即时，函数单调递增，时，，当时，，即，所以，即的取值范围是.故选：C6．（2024·青海海南·二模）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可.【详解】∵函数，∴，解得．故选：D．7．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值.【详解】由函数的值域为，得，由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得，则，则，而函数与的值域相同，所以函数的最大值为3.故选：B二、多选题8．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（

）A．函数与表示同一函数B．函数与是同一函数C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点D．函数，则0【答案】BC【分析】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可判断D.【详解】对于A：，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；对于B：函数与定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B正确；对于C：根据函数的定义可知，函数的图象与直线的图象至多有一个交点，故C正确；对于D：因为，所以，则，故D错误.故选：BC9．（2023·海南·模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】令可得，令可得．当时,,根据已知条件得,即，所以.【详解】对任意,恒有，令可得，因为当时,故，所以，令可得，所以，当时,,根据已知条件得,即，所以.故选：ABC.10．（2025·辽宁辽阳·二模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．是奇函数 D．在上单调递减【答案】BCD【分析】A.由分式函数的定义域求解判断；B.由正弦函数的值域判断；C.由函数奇偶性的定义判断；D.由复合函数的单调性判断.【详解】的定义域为，值域为，A错误，B正确．是奇函数，C正确．当时，，函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以在上单调递减，D正确．故选：BCD11．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．函数的值域为【答案】ABD【分析】利用分段函数的赋值思想不断求值和递推求值，再结合复合函数单调性求值域，从而可判断各选项.【详解】对于A，根据题意，由，故A正确；对于B，根据题意，由，故B正确；对于C，根据题意，由，故C错误；对于D，由于当时，函数，满足，所以图象关于直线对称，当时，，所以，，即；当时，，故，；当时，由于，所以此时；当时，由于，所以此时，以此类推，根据定义域为，所以可得函数的值域为，故D正确.故选：ABD.三、填空题12．（2023·广东佛山·模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数.①定义城为，②导函数；③值域为【答案】（答案不唯一）【分析】取，验证定义域，导数，值域即可.【详解】取，因为，解得，所以的定义城为，符合①；，符合②；因为，所以的值域为，符合③.故答案为：（答案不唯一）13．（2022·上海·模拟预测）若，则函数的值域为.【答案】【分析】先求出函数的值域，即可求出函数的值域．【详解】因为，，令，因此，即的值域为．故答案为：．14．（2025·上海静安·模拟预测）已知集合，则．【答案】【分析】分别求解集合与集合，再根据并集的定义求出.【详解】，，所以.故答案为：15．（2023·陕西西安·模拟预测）函数的最大值是；最小值是.【答案】2【分析】确定函数定义域，然后将两边平方，求得其最大值和最小值，即可求得答案.【详解】由可得，即函数定义域为，则，当时，取最小值0，故取到最大值4，则函数的最大值为2；当时，取最大值1，