2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)第18讲平面向量的数量积及其应用(学生版+解析)

第18讲平面向量的数量积及其应用题型梳理题型梳理易错分析易错点一混淆向量数量积运算与数乘运算题型方法题型一求平面向量的数量积题型二求平面向量的投影向量题型三平面向量的垂直问题题型四平面向量的模的问题题型五平面向量的夹角问题知识清单知识清单知识点01向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．知识点02平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积，记作.知识点03平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的．记为.知识点04向量数量积的运算律(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝＝．(3)(a＋b)·c＝.知识点05平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_______|a|＝_________夹角cosθ＝_____cosθ＝___________a⊥b的充要条件a·b＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.易错分析易错分析【易错点一】混淆向量数量积运算与数乘运算【例1】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量满足，，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【举一反三】【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知向量，满足，且，若，则（

）A． B． C．2 D．【变式2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知与的夹角，则.【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，，，求的长.题型方法题型方法【题型一】求平面向量的数量积【例1】（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2解题技巧计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义【举一反三】【变式1】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知菱形中，点，则．【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知，，对任意的单位向量恒成立，求的最大值．【题型二】求平面向量的投影向量【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）向量，，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【举一反三】【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·河北·模拟预测）设非零向量、的夹角为，，在方向上的投影向量为，则．【变式3】（2022·河南·模拟预测）已知向量，满足，，.(1)求与的夹角；(2)求在上的投影向量的模.【题型三】平面向量的垂直问题【例3】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【举一反三】【变式1】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（

）A． B．1 C．或1 D．4【变式2】（2023·海南海口·模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：.【变式3】（2020·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【题型四】平面向量的模的问题【例4】（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．解题技巧求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义．【举一反三】【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知平面向量满足，若，则（

）A．2 B． C． D．【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为．【变式3】（2023·全国·模拟预测）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．(1)，时，求CD的长度；(2)若CD为角C的平分线，且，求的面积．【题型五】平面向量的夹角问题【例5】（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．解题技巧求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)【举一反三】【变式1】（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为.【变式3】（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点．(1)求；(2)求．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·江西·模拟预测）若向量，，则（

）A． B． C． D．2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（

）A． B．2 C． D．4．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，求与在上的投影长度的比值为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量，，若，则实数（

）A． B．或 C．或1 D．二、多选题6．（2025·河北·模拟预测）已知平面向量，，若，则下列说法正确的是（

）A．与的夹角 B．C． D．在方向上的投影向量为7．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量，且在方向的投影向量为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．（2025·陕西汉中·一模）已知向量，，则（

）A．B．C．D．在方向上的投影向量坐标是三、填空题9．（2025·浙江嘉兴·二模）已知向量，若，则．10．（2025·辽宁·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为.11．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为．四、解答题12．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，．(1)求的坐标，的值；(2)若，求实数k的值；(3)若，求实数k的值．13．（2025·安徽·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)设的垂心为，若.①求的值；②求的值.14．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，且(1)求C；(2)若，的面积为，且，求线段的长．15．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求向量与的夹角的余弦值．16．（2025·河北张家口·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若的外接圆面积为，且，，求的长.第18讲平面向量的数量积及其应用题型梳理题型梳理易错分析易错点一混淆向量数量积运算与数乘运算题型方法题型一求平面向量的数量积题型二求平面向量的投影向量题型三平面向量的垂直问题题型四平面向量的模的问题题型五平面向量的夹角问题知识清单知识清单知识点01向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．知识点02平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.知识点03平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθe.知识点04向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.知识点05平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.易错分析易错分析【易错点一】混淆向量数量积运算与数乘运算【例1】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量满足，，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】对两边平方求出，再对平方运算可得答案.【详解】因为，，所以，可得，则.故选：D.【举一反三】【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知向量，满足，且，若，则（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由，利用向量数量积的运算即可求解.【详解】由题意有，解得，故选：B.【变式2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知与的夹角，则.【答案】6【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律求解即可.【详解】由与的夹角，则.故答案为：6.【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，，，求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）根据向量的线性运算得到，设，根据数量积的运算律及定义得到关于的方程，解得，最后由余弦定理计算可得.【详解】（1）由得，由余弦定理，又，所以；（2）因为，所以，设，则，整理得，解得或（舍去），所以，则.题型方法题型方法【题型一】求平面向量的数量积【例1】（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.解题技巧计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义【举一反三】【变式1】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将题干条件平方处理，得出，然后对待求表达式也平方处理即可得解.【详解】由，则，解得，于是，故.故选：B【变式2】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知菱形中，点，则．【答案】50【分析】连接，交于点，由菱形的特点可得为，的中点，且，进而根据平面向量的模的坐标表示及数量积的运算律求解即可.【详解】连接，交于点，则为，的中点，且，由，则，即，所以.故答案为：50.【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知，，对任意的单位向量恒成立，求的最大值．【答案】【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律、已知模求数量积【分析】根据，当且仅当在单位向量上的投影向量方向相同时等号成立，及题意得出恒成立，再根据数量积的运算律，转化为成立，进而得出，平方后即可求解.【详解】因为，当且仅当在单位向量上的投影向量方向相同时等号成立，所以由题意知，即恒成立，即恒成立，从而成立．因为恒成立，所以，即，所以，即的最大值为．【题型二】求平面向量的投影向量【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）向量，，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解.【详解】向量，，则，，所以向量在方向上的投影向量为.故选：D【举一反三】【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量【分析】先计算向量，再应用投影向量公式计算求解.【详解】，则向量，则在的投影向量为，故选:A．【变式2】（2025·河北·模拟预测）设非零向量、的夹角为，，在方向上的投影向量为，则．【答案】/【分析】由投影向量的定义可求得的值.【详解】由题意可知，在方向上的投影向量为，故.故答案为：.【变式3】（2022·河南·模拟预测）已知向量，满足，，.(1)求与的夹角；(2)求在上的投影向量的模.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的数量积公式，结合化简可得，再用向量的夹角公式计算可得从而求得；（2）根据，结合投影向量模的公式计算即可【详解】（1）因为，即，又，，所以，即，解得.所以.因为，所以.（2）因为，所以，所以在上的投影向量的模为.【题型三】平面向量的垂直问题【例3】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．【举一反三】【变式1】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（

）A． B．1 C．或1 D．4【答案】C【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出的值.【详解】因为，所以.因为，所以所以.解得.故选：C.【变式2】（2023·海南海口·模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：.【答案】（答案不唯一）【分析】设，由平行的坐标表示可得，再由数量积的定义可得，即可得出答案.【详解】由题意得，，则，设，得，且，满足条件的向量的坐标可以为（答案不唯一或者）.故答案为：（答案不唯一）【变式3】（2020·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，得，由此能求出．（2）由，得，推导出，，由此能求出．【详解】解：（1）平面向量，，，，解得，．（2），，，若，则，不满足上式，舍，，，．【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．【题型四】平面向量的模的问题【例4】（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．【详解】因为，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故选：D.解题技巧求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义．【举一反三】【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知平面向量满足，若，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】将两边平方，可得，继而根据，即可求得答案.【详解】由于，，故，即，则，故，故选：D【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为．【答案】1或【分析】结合平面向量的相关知识，将两边平方，计算即可.【详解】将两边平方，得，得，即，解得或．故答案为：或.【变式3】（2023·全国·模拟预测）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．(1)，时，求CD的长度；(2)若CD为角C的平分线，且，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，可得，然后根据向量的模长计算公式，即可得到结果；（2）根据题意，可得，然后结合三角形的面积公式即可得到，从而得到的面积.【详解】（1）当时，则所以，∴．（2）因为，即，∴，又，∴，则，∴．【题型五】平面向量的夹角问题【例5】（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，，所以.故选：B.解题技巧求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)【举一反三】【变式1】（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知向量，，利用向量减法求出和，再通过点积计算求出，通过模长计算求出和，利用向量夹角的余弦公式求解.【详解】，......故选：C.【变式2】（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为.【答案】/【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解.【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，则有，由有，所以，所以，所以，即，所以，故答案为：.【变式3】（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由为中点得，在中，通过余弦定理即可求；（2）建立平面直角坐标系，求，，由数量积夹角公式得，并计算即可.【详解】（1）因为，且为中点，所以.由余弦定理得：，即，所以，即．（2）如图，以为原点，直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，，设点，由可得：，即解得：，所以，，则，所以．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·江西·模拟预测）若向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量垂直的坐标运算，化简即可得到答案.【详解】由，得，因为，所以，所以.故选：A.2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量线性运算和向量数量积运算的坐标表示，求出参数，再求出结果.【详解】由，可得，因为，所以，即，解得，则，则.故选：A.3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】，根据垂直计算即可.【详解】因为为的高，所以,故选：A.4．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，求与在上的投影长度的比值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先根据向量数量积公式求出，再根据向量投影公式求出在上的投影长度，最后求它们的比值．【详解】因为．所以．所以向量在上的投影长度为，故与在上的投影长度的比值为．故选：B5．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量，，若，则实数（

）A． B．或 C．或1 D．【答案】B【分析】应用向量数量积的运算律将条件化为，再由向量模长的坐标运算列方程求参数值.【详解】由两边平方化简得，所以，即，化简得，解得或.故选：B二、多选题6．（2025·河北·模拟预测）已知平面向量，，若，则下列说法正确的是（

）A．与的夹角 B．C． D．在方向上的投影向量为【答案】AD【分析】根据数量积公式及题中条件即可判断选项A，B；根据数量积的运算律及垂直的向量表示即可判断选项C；根据在方向上的投影向量的计算公式即可判断选项D.【详解】∵，∴，∴.又，∴，故选项A正确；∵，∴，当且仅当时，，故选项B错误；∵，∴，即，∴或，故选项C错误；在方向上的投影向量，故选项D正确.故选：AD.7．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量，且在方向的投影向量为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B，由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误.【详解】对于A，因为，故，故，故A错误；对于B，因为，故，整理得，故，故，故B正确；对于C，由题设有在方向的投影向量为，故，故即，故C错误，对于D，由C的分析可得，故，故D成立.故选：BD.8．（2025·陕西汉中·一模）已知向量，，则（

）A．B．C．D．在方向上的投影向量坐标是【答案】BD【分析】应用向量的坐标运算求模长、夹角，结合投影向量的定义求投影向量，即可判断各项正误.【详解】对于A：，错误；对于B：，正确；对于C：，错误；对于D：在方向上的投影向量坐标是，正确.故选：BD.三、填空题9．（2025·浙江嘉兴·二模）已知向量，若，则．【答案】【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值.【详解】因为，故，即，故答案为：10．（2025·辽宁·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为.【答案】【分析】根据平面向量的坐标运算求，，再结合投影向量的定义求解即可.【详解】由，，得，，则向量在上的投影向量的坐标为.故答案为：.11．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为．【答案】【分析】可证，延长至，使得，连接，则为的垂直平分线，根据对称可求得的最小值.【详解】因为，故，故，故，所以，延长至，使得，连接，则为的垂直平分线，故，故，当且仅当共线时等号成立，而，故的最小值为.故答案为：