2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)专题05数列求和的方法(4种模型解题方法+强化训练)(学生版+解析)

专题05数列求和的方法题型归纳题型01倒序相加法求和 1题型02错位相减法求和 6题型03裂项相消法求和 11题型04分组（并项）法求和 16强化训练 21题型01倒序相加法求和如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.【例1-1】已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（

）A．4069 B．2023C．2024 D．4046【例1-2】已知，则（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094【变式1-1】（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（

）A．2024 B．4048 C．3036 D．2025【变式1-2】已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：.【变式1-3】已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前2024项和.题型02错位相减法求和1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.【例2-1】已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【例2-2】（2025·江西景德镇·三模）已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，．(1)求数列和的通项公式；(2)若为递增数列，，求数列的前项和．【例2-3】（2025·新疆·模拟预测）已知为等比数列，是，的等差中项．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【变式2-1】（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，．(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和．【变式2-2】（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）．(1)求，，的值；(2)已知数列满足，求的前项和．【变式2-3】（2025·辽宁大连·一模）已知首项相同的等差数列的公差与等比数列的公比大小相等，且，(1)求数列和的通项公式;(2)令，求数列的前项和.题型03裂项相消法求和1.裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.2.常见的裂项技巧①1n(n＋1)＝1n－1④1n＋n＋1＝【例3-1】（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：.【例3-2】已知等比数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前48项和.【例3-3】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记为数列的前n项和，且满足，．(1)求；(2)求；(3)令，记数列的前n项和为，证明：．【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列是等差数列，.(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求.【变式3-2】（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【变式3-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为.(1)证明：是常数列；(2)设，求数列的前项和.题型04分组（并项）法求和1.分组求和法常见题型①若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.②若数列{cn}的通项公式为cn＝a其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.并项求和法常见题型①数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和.②数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和.【例4-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（

）A．689 B．716 C．729 D．1597【例4-2】已知数列的前项和为，若则.【例4-3】（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列.(1)求和的通项公式；(2)求和的通项公式；(3)求的前项和.【变式4-1】（2025·陕西·一模）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和．【变式4-2】（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍．(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足，，且当，.（i）求证：；（ii）求数列的前项的和．【变式4-3】（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列各项均为正数，且满足，，，(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，试证明：，一、单选题1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，且，则（

）A．1364 B．1363 C．1264 D．12632．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．3．（2025·河南·三模）函数满足：，，且，则（

）．A．4900 B．4950 C．5000 D．50504．（2025·云南·模拟预测）已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则（

）A． B．C． D．5．（2025·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（

）A．9143 B．9145 C．10009 D．10154二、多选题6．（2025·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，则（

）A．为等差数列 B．C．数列为递增数列 D．数列的前项和为7．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则（

）A． B．数列是等差数列C． D．8．（2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和，若，则（

）A．的最小值为B．的最大值为C．存在数列，使得D．存在数列，使得三、填空题9．（2025·江西新余·模拟预测）设，函数表示不超过的最大整数．若正项数列中，，且当时，，为其前项和，则．10．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则.11．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列满足，则．（表示不大于的最大整数）12．（2025·贵州·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王子”.称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.设，当时，的值域为；当，..四、解答题13．（2025·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列．(1)写出的前6项；(2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和．14．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)给定正整数m，设函数，求．15．（2025·陕西·模拟预测）已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和．(1)求通项公式及；(2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和．16．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足(1)求证：为等比数列；(2)设，记的前项和，求满足的最小正整数．17．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列的首项，且满足（）.(1)证明：数列为等比数列；(2)若（），求数列的前项和.18．（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项积为，其中，数列的通项公式为.(1)求数列及的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)求证：.19．（2025·安徽·一模）已知函数为函数的导函数.(1)证明：；(2)若函数，请判断在区间上的零点个数，并说明理由；(3)若函数，证明：当时，.专题05数列求和的方法题型归纳题型01倒序相加法求和 1题型02错位相减法求和 6题型03裂项相消法求和 11题型04分组（并项）法求和 16强化训练 21题型01倒序相加法求和如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.【例1-1】已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（

）A．4069 B．2023C．2024 D．4046【答案】D【详解】由数列是公比为q（）的正项等比数列，故，，故，即有，由，则当时，有，故，故，故.故选：D.【例1-2】已知，则（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094【答案】D【详解】，即设①，则②①+②得，所以，又，所以.故选：D.【变式1-1】（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（

）A．2024 B．4048 C．3036 D．2025【答案】B【详解】，，则.因为令，得；；；…………又.故故选：B【变式1-2】已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：.【答案】【详解】因为函数是上奇函数，所以，所以，，两式相加得：，即.故答案为：【变式1-3】已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前2024项和.【详解】（1）因为点均在函数的图象上，所以，当时，，即，当时，，因为满足上式，所以；（2）因为，所以，因为，所以，所以①，又②，①+②，得，所以.题型02错位相减法求和1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.【例2-1】已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【详解】（1）由，得，又，是以1为首项，3为公比的等比数列，，，即数列的通项公式为.（2）由（1）知，，则，①得，②①－②得，故．【例2-2】（2025·江西景德镇·三模）已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，．(1)求数列和的通项公式；(2)若为递增数列，，求数列的前项和．【详解】（1）因数列为等差数列，则，解得，同理可得，因，则，又，得，因数列为等比数列，则，解得，若，则，公比为，公差为；若，则，公比为，公差为，则或．（2）因为递增数列，则，，则，则，，两式相减得，．【例2-3】（2025·新疆·模拟预测）已知为等比数列，是，的等差中项．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【详解】（1）设的公比为，因为为，的等差中项，所以，即，则，解得，所以.（2）设的前项和为，又，，①，②

①②得，所以.【变式2-1】（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，．(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和．【详解】（1）设公差为，公比为，，故，，，故，联立，解得或（舍去），故，；（2），设数列的前项和为，则，①，②两式①-②得，所以.【变式2-2】（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）．(1)求，，的值；(2)已知数列满足，求的前项和．【详解】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以;因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以;所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即.（2）由（1）可知，两式相减得.【变式2-3】（2025·辽宁大连·一模）已知首项相同的等差数列的公差与等比数列的公比大小相等，且，(1)求数列和的通项公式;(2)令，求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，由题意可知，根据题意可得，解得或，且，等比数列单调递增，，所以等差数列的通项公式为，等比数列的通项公式为.（2）由（1）可知，当，则①，②，②①得题型03裂项相消法求和1.裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.2.常见的裂项技巧①1n(n＋1)＝1n－1④1n＋n＋1＝【例3-1】（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：.【详解】（1）在等差数列中，，则.又，所以该等差数列公差.故.所以，故数列的通项公式为.（2）因为，所以，则化简得.因为，所以，故.【例3-2】已知等比数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前48项和.【详解】（1）设公比为，由，有，解得.又由，有，解得.故，即数列的通项公式为.（2）由，有.【例3-3】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记为数列的前n项和，且满足，．(1)求；(2)求；(3)令，记数列的前n项和为，证明：．【详解】（1）由可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，即．（2）当时，，又因为满足上式，故；（3），故，故．【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列是等差数列，.(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求.【详解】（1）由可得，故公差，所以，（2）由于，故【变式3-2】（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【详解】（1）由得，可知，两式相减得，即，，∵当时，，则是首项为1，公差的等差数列，的通项公式为；（2），，.【变式3-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为.(1)证明：是常数列；(2)设，求数列的前项和.【详解】（1）已知数列的前项和为.当时，.当时，，∴.当时，，∴，即，∴，当时也符合上式，∴数列是常数列.（2）由（1）知，∴，∴，，∴.题型04分组（并项）法求和1.分组求和法常见题型①若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.②若数列{cn}的通项公式为cn＝a其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.并项求和法常见题型①数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和.②数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和.【例4-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（

）A．689 B．716 C．729 D．1597【答案】C【详解】设等比数列的公比为，则，所以，则，故数列的前8项和为.故选：C.【例4-2】已知数列的前项和为，若则.【答案】【详解】由题意.故答案为：190.【例4-3】（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列.(1)求和的通项公式；(2)求和的通项公式；(3)求的前项和.【详解】（1）由，因为是等比数列，则公比为，所以，因为是等差数列，则公差为，所以.（2）由（1）得，则.（3）由（2）有.【变式4-1】（2025·陕西·一模）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和．【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，得，解得，则.（2）由（1）知，，因为数列是公比为3的等比数列，其首项为，则，则，所以.【变式4-2】（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍．(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足，，且当，.（i）求证：；（ii）求数列的前项的和．【详解】（1）设等差数列的公差为，则等比数列的公比为，，，，，解得：，，，，.（2）（i）由（1）得：，，，，令，又，，则，即，.（ii）记，则，；当时，，；经检验：，满足，综上所述：.【变式4-3】（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列各项均为正数，且满足，，，(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，试证明：，【详解】（1）正项数列中，，，由，得，则，即，，于是，令，则有，因此，即，，则是以2为公比，以为首项的等比数列，于是，即，解得，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，显然是等比数列，即，令函数，求导得，当时，，则，，函数在区间上单调递减，，所以一、单选题1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，且，则（

）A．1364 B．1363 C．1264 D．1263【答案】D【分析】根据题意推出，然后由累加法即可求解.【详解】由，可得①，则有②，③，④，将①②③④左､右分别相加，得，又，即，故得，所以，将以上式子左､右分别相加，得，又，所以.故选：D.2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得、，再借助等比数列求和公式计算即可得.【详解】由，则，由，则，故，则、、、，则.故选：A.3．（2025·河南·三模）函数满足：，，且，则（

）．A．4900 B．4950 C．5000 D．5050【答案】B【分析】利用递推式依次求得、、，最后令，，得到，应用累加法求得，最后应用分组求和及等差数列的前n项和公式求结果.【详解】令，则，可得，令，则，可得，令，则，可得，令，，则，可得，当时，则，显然也满足上式，所以，故.故选：B4．（2025·云南·模拟预测）已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，，令，可判断A；利用累乘法可得，判断B；利用二项式定理判断C；，利用错位相减法求解判断D.【详解】，，令，则，，则A错误；，当，，，，，，累乘得：，，，，而对于中令，得，矛盾，则B错误；，则C正确；，令，则，所以，所以，所以，则D错误．故选：C．5．（2025·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（

）A．9143 B．9145 C．10009 D．10154【答案】D【分析】由题意得，结合题意可得，当时，，利用等差数列的前项和公式求出这10项和，当时，，这些项的和为，利用分组求和法及等差数列、等比数列的前项和公式求解，再加上时的10项和即可求解.【详解】由题意得，，，，所以，当时，，共10项，这10项的和为,其余项有项，当时，，这些项的和为，所以.故选：.二、多选题6．（2025·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，则（

）A．为等差数列 B．C．数列为递增数列 D．数列的前项和为【答案】BCD【分析】对取倒数，采用构造法证明为等比数列，判断A；利用是首项为，公比为的等比数列，求判断B；对化简为，证明为递增数列判断C；，采用分组求和和错位相减法求和判断D.【详解】由得，则，即为等比数列，故A错误；由得，所以是首项为，公比为的等比数列，则，整理得，故B正确；由得，则数列为递增数列，故C正确；由得，数列为首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前项和为，设数列的前项和①，则②，①-②得，，即所以，所以前项和为，故D正确，故选：BCD．7．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则（

）A． B．数列是等差数列C． D．【答案】ACD【分析】令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确.【详解】对于A，由可得，即，所以，因此A正确，对于B，由可得，即，显然不是定值，因此数列不是等差数列，即B错误；对于C，结合B分析由可知，即数列是以为首项，公比为2的等比数列，因此可得，所以，即C正确；对于D，，即D正确.故选：ACD8．（2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和，若，则（

）A．的最小值为B．的最大值为C．存在数列，使得D．存在数列，使得【答案】ABD【分析】先求，再利用求，根据逐项验证即可判断.【详解】由，当时，，当时，，所以或，对于A：当时，的最小值为，故A正确；对于B：当时，，所以的最大值为，故B正确；对于C：由题意有为奇数，当时，，，由与的奇偶性相同，同理与的奇偶性相同，又与的奇偶性相反，所以与的奇偶性也相反，所以为奇数，所以数列中每项均为奇数，所以为5个奇数之和必为奇数不等于0，所以不存在数列，使得，故C错误；对于D：存在数列，，且，故D正确；故选：ABD.三、填空题9．（2025·江西新余·模拟预测）设，函数表示不超过的最大整数．若正项数列中，，且当时，，为其前项和，则．【答案】198【分析】由题知，继而可得，利用放缩法，结合裂项相消法可得即可求.【详解】由于当时，，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即．又，即，所以．由于，则，，所以，又由于，所以，故．故答案为：198.10．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则.【答案】【分析】应用得出，再应用裂项相消法计算求解.【详解】若，则；若，则.所以，，即.又也满足，所以.由于，所以.故答案为：.11．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列满足，则．（表示不大于的最大整数）【答案】3【分析】的两边同时除以，可得到，然后累加即可得到答案.【详解】当时，，易知当时．当时，，两边同时除以，可得到，即，所以，显然，故，，所以.故答案为：3.12．（2025·贵州·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王子”.称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.设，当时，的值域为；当，..【答案】【分析】第一空：分，，三种情况，计算可求值域；第二空，利用，可求得，结合，可求值.【详解】第一空：当，，所以，当，，，当，，所以，所以当时，的值域为；第二空：，所以，所以，又因为，所以，所以，所以.故答案为：①；②.四、解答题13．（2025·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列．(1)写出的前6项；(2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简可得，令，结合正弦函数的图象性质可得或，取其中的正数构成递增数列可得结果；（2）由错位相减法求和可得结果.【详解】（1）由题意．由，得．所以或．即或，取其中的正数构成递增数列．知的前6项为．（2）由（1）知，所以．所以．①．②①－②，得．所以.14．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)给定正整数m，设函数，求．【答案】(1)(2).【分析】（1）根据给定递推公式，变形并构造常数列求出通项公式.（2）由（1）求出及导数，再利用裂项相消法求出目标值.【详解】（1）在数列中，由，得，即，则数列是常数列，而，因此，解得，所以数列的通项公式是.（2）由（1）得，，函数，求导得则，而，所以.15．（2025·陕西·模拟预测）已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和．(1)求通项公式及；(2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）根据等差数列通项公式，代入，求得通项公式，再根据等差数列前项和公式求得.（2）由等比数列通项公式求出的表达式，结合第（1）问中通项公式得到的通项公式，即可得的公式，构造和分别处理两个求和部分，再通过错位相减、化简即可得到结果.【详解】（1）由已知得，，则，所以.（2）由已知得，，又由（1）得，所以，则.令，则，所以，即；令，则，所以.16．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足(1)求证：为等比数