2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)专题06数列与不等式(3种模型解题方法+强化训练)(学生版+解析)

专题06数列与不等式题型归纳题型01数列不等式恒（能）成立求参数最值 1题型02数列不等式恒（能）成立求参数取值范围 4题型03放缩的应用 7强化训练 10题型01数列不等式恒（能）成立求参数最值【例1-1】（2025·湖北·一模）已知数列的首项为，前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)求满足的的最小值；(3)已知，记数列的前项和为，求证：.【例1-2】（2025·青海西宁·二模）设为数列的前n项和，时，，已知．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值．【例1-3】（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)求的前n项和；(3)若时，恒成立，求正整数的最小值．【变式1-1】（2025·广东·模拟预测）已知数列，记集合．(1)对于有限数列3，7，2，9，写出集合T；(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组i，j；若不存在，说明理由．(3)若，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求n的最大值．【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）若整数数列满足，且对，均有，其中为的前项和，则称该数列为“数列”．(1)若数列的通项为，判断其是否为“数列”，并说明理由；(2)若数列为“数列”，正整数满足，证明：；(3)在所有“数列”中，求的最大值．【变式1-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）（1）已知，函数.证明：当时，；（2）设函数与的图象分别为，.点在上，且，在点处的切线交于点，.在点处的切线交于，由此构造出点列，.已知.（i）证明：；（ii）求，其中表示不超过的最大整数.题型02数列不等式恒（能）成立求参数取值范围 【例2-1】（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.【例2-2】（2025·广西南宁·三模）已知正项数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)对，将数列中不大于的项的个数记为．若恒成立，求实数的取值范围．【例2-3】（2025·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.【变式2-1】（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.(1)求的通项公式；(2)对于任意，求实数的取值范围.【变式2-2】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和；(3)若对恒成立，求实数的取值范围．【变式2-3】（2025·江西鹰潭·二模）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．(1)已知，，求，，，；(2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围；(3)已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：．题型03放缩的应用 【例3-1】（2025·山东聊城·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，数列的前项和为．正项等比数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，证明：．【例3-2】（2025·江苏·三模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列．①求的前20项和；②证明：．【例3-3】（2025·山东·一模）两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为．(1)求和；(2)证明：；(3)证明：．【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若数列共有项，且对任意的，都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列．(1)若，求和的值；(2)已知数列是公差不为0的等差数列，且，若，，求和的值；(3)若数列是各项均为正整数的递增数列，求证：．【变式3-2】（2025·广东揭阳·二模）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为.(1)写出，，以及，；(2)证明：数列是等比数列；(3)若，证明：对任意的都有.【变式3-3】（2025·河南·三模）若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”．(1)已知函数在区间上是一个“函数”，求a；(2)当时，．证明：函数在区间上是一个“函数”；(3)证明：．一、单选题1．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2025·山东日照·二模）已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（

）A．20 B．21 C．22 D．233．（2025·福建南平·三模）已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（

）A． B． C． D．5．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．8．（2025·辽宁·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多选题9．（2025·山西临汾·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（

）A．B．是单调递增数列C．若为数列的前项和，则D．若对任意，都有，则10．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，设，其中，分别为奇函数和偶函数，且，则（

）A．B．C．D．已知数列满足，，则11．（2024·广东河源·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则（

）A．B．C．D．满足的的最大值为12．（2025·广东·模拟预测）正整数数列满足：，则下列正确的有（

）A．若，，则的可能取值有6个B．若，则时，C．若，则时，D．若有最大值，则从某一项开始恒为常数三、填空题13．（2025·重庆·三模）对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围是.14．（2025·江苏·三模）已知数列满足，，.设，若不等式对于任意都成立，则正数的最大值为.15．（2025·广西桂林·一模）已知函数，其中，记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围为．四、解答题16．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项.(1)求数列的通项公式；(2)若恒成立，求实数的取值范围.17．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，．(1)求的通项公式；(2)若存在，使得，求实数的取值范围．18．（2025·陕西·模拟预测）已知数列满足．设．(1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式；(2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．19．（2025·江苏南京·一模）已知数列的前项和满足为常数，且.(1)求的值；(2)证明：为等差数列；(3)若，求的取值范围.20．（2025·宁夏·一模）已知数列满足．(1)证明：数列为等差数列；(2)设，记数列的前n项和为．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范围．21．（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．(1)证明：为等比数列；(2)设，证明：；(3)设，且数列的前项和为，证明：．22．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项．(1)求的通项公式及；(2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和．（i）若，求的最大值；（ii）设，证明：．23．（2025·四川·三模）已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、．(1)求双曲线的方程；(2)求点的坐标；(3)若、，记的面积为，证明：．24．（2025·贵州·三模）在数列中，，，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，数列的前项和为，证明：；(3)证明：.25．（2025·湖南·三模）已知函数，及一个如下所示的行列的数阵，第1列第2列第3列…第列…第列第1行……第2行……第3行…………第行…………第行……其中表示第行第列的数.在该数阵中，第1列的数从上到下组成公差的等差数列；第1行的数，对加上1后，得到的数列，，，…，，…，是公比的等比数列.已知，（其中，，…，；，，…，），且当时，恒成立.(1)求实数的值；(2)记第2行的数从左到右组成的数列为，第1列各数的和为.（i）求数列的通项公式；（ii）求证：.26．（2025·安徽黄山·二模）若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，．(1)若（是正整数），求，，的值；(2)若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列；(3)若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，）27．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列的前项和为，满足：，公差为整数且满足，正项等比数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)设，其中，求数列的前项和为；(3)定义为除数函数，即它的函数值等于的正因数的个数，例如：，记，求证：.28．（2025·重庆·模拟预测）已知.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若对任意，恒有.（i）求的取值范围;（ii）证明:对任意的正整数，.29．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，记，若满足，则称是上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数是上的“可控函数”，则函数也是上的“可控函数”，其中，例如．(1)判断函数是否为上的“可控函数”，并说明理由；(2)已知函数是上的“可控函数”，且的最大值为．（i）求函数的解析式；（ii）若数列满足，是数列的前项和．求证：．专题06数列与不等式题型归纳题型01数列不等式恒（能）成立求参数最值 1题型02数列不等式恒（能）成立求参数取值范围 11题型03放缩的应用 20强化训练 30题型01数列不等式恒（能）成立求参数最值【例1-1】（2025·湖北·一模）已知数列的首项为，前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)求满足的的最小值；(3)已知，记数列的前项和为，求证：.【详解】（1）由已知，则，即，则，，，，等式左右分别相加可得，则；（2）由（1）得，且，即，化简可得，又，即，所以满足的的最小值为；（3）依题意得，，则，又，所以，所以，即.【例1-2】（2025·青海西宁·二模）设为数列的前n项和，时，，已知．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值．【详解】（1）当时，，即，则，而，则，于是时，，整理得，又，所以数列是首项和公比都是2的等比数列.（2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则，因此，数列是首项为，公差为的等差数列，，所以数列的通项公式.（3）由（2）知，，，两式相减得，，则．不等式，当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此，所以实数的取值范围是，的最小值为.【例1-3】（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)求的前n项和；(3)若时，恒成立，求正整数的最小值．【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以.（2）由（1）可得，，当时，，当时，，故．（3）因为，,所以，整理得，解得或，因为，，所以正整数的最小值为．【变式1-1】（2025·广东·模拟预测）已知数列，记集合．(1)对于有限数列3，7，2，9，写出集合T；(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组i，j；若不存在，说明理由．(3)若，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求n的最大值．【详解】（1）由题，设，按照相邻两项，三项，四项分类列举如下：，，，，，，所以；（2）假设存在，使得，则，因为为偶数，所以与奇偶性相同，则与奇偶性不同，又因为，，所以必等于奇数因子（大于等于3）和偶数因子（大于等于3）的乘积，又，，即，解得，或，解得，或，解得，所以存在，使得；（3），先证明正整数中所有的奇数与形式的整数都无法由表示，因为为奇数，所以的因子为一奇一偶，而奇数没有偶数因子，没有奇数因子，无法由表示；其次证明除奇数与形式以外的数，都可以表示成的形式，若正偶数，其中，任何一个形式以外的偶数都能表示成该形式，则，解得，或，解得，满足条件，故存在，使得成立，由前面可知正整数以及奇数不是集合中的元素，所以的最大值为.【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）若整数数列满足，且对，均有，其中为的前项和，则称该数列为“数列”．(1)若数列的通项为，判断其是否为“数列”，并说明理由；(2)若数列为“数列”，正整数满足，证明：；(3)在所有“数列”中，求的最大值．【详解】（1）因为，所以，．所以，因为，所以不恒成立，即不恒成立．故不是“数列”．（2）因为为整数数列，，所以，由得，所以，所以．（3）设，则．对于，设，对于，，所以，对于，有，因此，故，所以，解得，当，，时取等号，所以的最大值为9．【变式1-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）（1）已知，函数.证明：当时，；（2）设函数与的图象分别为，.点在上，且，在点处的切线交于点，.在点处的切线交于，由此构造出点列，.已知.（i）证明：；（ii）求，其中表示不超过的最大整数.【详解】（1）因为，所以.令，则.当时，.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.因为，所以，即.所以在上单调递减，所以当时，.由此当时，.所以在上单调递减，.故当时，.（2）（i）令，则.所以在上单调递减.因为，所以当时，.令，则，所以在上单调递增.因为，所以当时，.所以.所以，，即，.若，则；若，则；若，则.若，则；若，则；若，则.由，知；由，知.所以在点处的切线斜率为.由题可知，所以.在点处的切线斜率为，因为，所以.所以.所以，.所以，即.（ii）由（i）知，化简得.令，则.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.所以当时，取得最大值，最大值为.所以当时，，即.所以，即.因为，所以.令，则.所以当时，单调递减，且，即.所以，所以，因为，所以.所以.因为，所以，所以.因为，所以，.所以累乘得，当时，，即.因为，且时，.所以.所以.题型02数列不等式恒（能）成立求参数取值范围 【例2-1】（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.【详解】（1）时，，解得或，因为，所以，时，，得，因为，所以，又，故数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以数列的通项公式为；（2）解法一：由，所以，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，因为对任意的，成立，所以，当为奇数时，即，所以，不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为，因为为奇数，所以时，，则当为偶数时，，所以，同理可得，因为为偶数，所以时，，则，综上，.解法二：由，当为偶数时，.当为奇数时，，所以（下同解法一）解法三：因为对任意的，成立，则，即求的最小值，令，当为奇数时，则，所以最小值一定在为奇数时取到，当为奇数时，，当时，，当时，，所以当为奇数时，，则的最小值为，所以.【例2-2】（2025·广西南宁·三模）已知正项数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)对，将数列中不大于的项的个数记为．若恒成立，求实数的取值范围．【详解】（1）当时，，得，所以．当时，联立，两式相减可得：，化简得，因为，所以，故数列是以，公差的等差数列，所以；（2）由，得，即，，是以4为首项，8为公比的等比数列，所以.因为，即，即，所以．【例2-3】（2025·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）对数列，设公比为，由题意，因为，所以.又.所以.（2）由.所以.所以，所以，两式相减得：，所以.（3）由.所以数列从第2项开始，单调递减.所以.由或.所以实数的取值范围是：.【变式2-1】（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.(1)求的通项公式；(2)对于任意，求实数的取值范围.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，因为，解得，又，得，所以.（2）由（1）可知，则，由可得，令，，当时，，当时，，则数列的最大项为，故，即实数的取值范围为.【变式2-2】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和；(3)若对恒成立，求实数的取值范围．【详解】（1）因为，所以，即，所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列.（2）又（1）可得，，所以①，则②，由①-②得：，所以（3）由（1）可得，，所以，即，记，因为，所以时，，即，当时，，即，所以，所以，所以实数的取值范围为.【变式2-3】（2025·江西鹰潭·二模）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．(1)已知，，求，，，；(2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围；(3)已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：．【详解】（1）因为，，所以，；由题意，则，又因为，所以．综上可知，，，，．（2）若，则．，因为，所以，即，故数列递增，所以要使对恒成立，则必有，即，所以，解得；故是对恒成立的必要条件．下面证明充分性：若，即，又，即，又，故成立；由，又递增，，则，故；故满足对恒成立，即是对恒成立的充分条件．综上所述，要使对恒成立，则的取值范围为．（3）由，即则为等差数列，又得．所以，因为，且，可得．由，得，则，，则，即，且，得，所以．题型03放缩的应用 【例3-1】（2025·山东聊城·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，数列的前项和为．正项等比数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，证明：．【详解】（1）由题意可得，所以因为，所以，即，所以，，设等比数列的公比为，则，，.（2）所以【例3-2】（2025·江苏·三模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列．①求的前20项和；②证明：．【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，即，由，取，得，即，解得，，所以；（2）①由（1）知，，所以，因为，所以，所以的前20项和为；②证明：因为，所以，所以当时，；当时，，综上可得.【例3-3】（2025·山东·一模）两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为．(1)求和；(2)证明：；(3)证明：．【详解】（1）对两个盒子中相同字母的卡片进行交换，则．若第1次交换的是相同字母的卡片，则第二次仍需将两个盒子中相同字母的卡片进行交换，此时概率为．若第1次交换的是不同字母的卡片，有种情况，不妨设将第一个盒子中的A和第二个盒子中的B进行交换，则第二次需要将第一个盒子中的B和第二个盒子中的A进行交换，此时概率为．于是．（2）用表示n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的事件，则有．对相同字母的卡片进行交换可知．假设第一个盒子里装有卡片X，Y，Y，第二个盒子里装有卡片X，Z，Z，注意到两个盒子中都有两张相同字母的卡片，因此，只需用第一个盒子中的任意一张写有字母Y的卡片交换第二个盒子中的任意一张写有字母Z的卡片即可变为两个盒子中都是A，B，C三种字母的卡片各一张的状态．所以．再由全概率公式可得，于是，．故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，于是，．从而有．（3）由于，于是．【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若数列共有项，且对任意的，都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列．(1)若，求和的值；(2)已知数列是公差不为0的等差数列，且，若，，求和的值；(3)若数列是各项均为正整数的递增数列，求证：．【详解】（1）由题意知，所以，又，所以．（2）设等差数列的公差为，由，知对任意的，都有，即，所以，所以，所以，因为，所以即所以.（3）证明：因为是各项均为正整数的递增数列，所以．由已知，所以，所以，即．【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，关键是理解定义，第三问关键是利用放缩法得到，再由裂项相消法求和.【变式3-2】（2025·广东揭阳·二模）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为.(1)写出，，以及，；(2)证明：数列是等比数列；(3)若，证明：对任意的都有.【详解】（1）由题意得，所以．（2）由题得，所以，，，，因此中的数对必由中的数对经运算得到，中的数对必由中的0或数对经运算得到，因为是数组，其中有一半的项为0，即个0，经过两次运算能在中产生个数对，因为中数对的个数为个，经过两次运算能在中产生个数对，所以，即，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）当为奇数时，，累加得，因为，所以（为奇数）．当为偶数时，，累加得，因为，所以（为偶数）．所以，故．因为当且为偶数时，.①当时，；②当且为奇数时，；③当且为偶数时，因为对任意的都有，所以综上所述，对任意的都有．【变式3-3】（2025·河南·三模）若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”．(1)已知函数在区间上是一个“函数”，求a；(2)当时，．证明：函数在区间上是一个“函数”；(3)证明：．【详解】（1）由在区间上是一个“函数”，所以任意，恒成立，即，令，，则，，要使恒成立，则，可得；（2）要证在区间上是一个“函数”，需证时，，证明如下：令，，则，令，则，即在上单调递增，且，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，即，令，，则，令，则，或时，，即在、上单调递增；时，，即在上单调递减；又，，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，即，综上，，故结论得证；（3）当，则，由（2）知且，故，所以，即有，令，则，有，所以，得证.一、单选题1．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】等差数列、的前项和分别为、，且，则，且当时，，因为，，，则，即的最小值为.故选：C.2．（2025·山东日照·二模）已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】B【详解】由题设，数列各项依次为，当时，，当时，，所以成立的n的最小值为21.故选：B.3．（2025·福建南平·三模）已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，且对任意的，都有成立，所以，所以.故选：D.4．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设数列的公差为，因为，成等比数列，所以，解得，所以，故.由，得，解得.

∵，∴的最大值为.故选：D.5．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设数列的公比为，由题意知，由，解得，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，解得.故选：A6．（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意令，所以，对比，可得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，显然当增大时，减小，此时增大，所以.故选：A.7．（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】由题可设等比数列的公比为，因为，，所以或，所以，，所以为单调递增数列，为单调递减数列，所以单调递增，故，故若恒成立，则的最小值为.故选：D8．（2025·辽宁·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】设等差数列的公差为，又，所以，由，所以，所以，所以，即①，又因为，所以②，由①②解得，所以，所以，由有，即，解得，所以使成立的的最大值是，故选：C.二、多选题9．（2025·山西临汾·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（

）A．B．是单调递增数列C．若为数列的前项和，则D．若对任意，都有，则【答案】ABC【详解】由，可得，故,也符合，故，，A正确，由于，故，因此是单调递增数列，B正确，，故，C正确，由可定，当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故，当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故，故对任意，都有，则，故D错误，故选：ABC10．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，设，其中，分别为奇函数和偶函数，且，则（

）A．B．C．D．已知数列满足，，则【答案】ABD【详解】根据题意可知，则，可得方程组，解得，带入，得，所以，所以A正确，，所以B正确.，上下同时除以得，所以C错误.已知，则，已知，已知在R上单调递增，所以在上单调递增，且，，所以在上值域为，且当时，，由，可得，由，可知，可得，同理可得，由，可得，即，可知.所以D正确.故选：ABD.11．（2024·广东河源·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则（

）A．B．C．D．满足的的最大值为【答案】ABC【详解】由，得，即①，则，又，所以，又，若，则，，不合题意，所以，则，，A正确；结合①知，，所以，则，又，所以，B正确；由，得，所以，由，所以，由，所以，所以，C正确；由，得，所以，由C知，，所以的最大值为，D错误.故选：ABC12．（2025·广东·模拟预测）正整数数列满足：，则下列正确的有（

）A．若，，则的可能取值有6个B．若，则时，C．若，则时，D．若有最大值，则从某一项开始恒为常数【答案】ACD【详解】我们把绝对值理解为距离，把数列画在数轴上，如图：其中，，点只能落在上，也就是会更靠近，A选项，，时，设表示的数分别为，则，，解得，，可能取4，5，6，7，8，9，共6个可能，A正确；B选项，当的变化方向与相同时，每次都至多增大，这就是说：若，则时，，B错误；C选项，当的变化方向与相反时，至多变化，此后每次变化，若方向相同，结合B可知，则至多变化，若方向相反，则变化的“步长”会一直严格减小，这就是说：若，则时，，C正确；D选项，由于变化过程中，左右两侧都有边界，若某次停下，即，可知此后恒为常数；若一直不停下，由于其左右两侧都有边界，的变化方向必须一直改变，而由选项C，只要变化方向改变，变化的“步长”就会一直严格减小，最后永远停下，D正确.故选：ACD三、填空题13．（2025·重庆·三模）对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围是.【答案】【详解】因为，所以，因为，故数列为递增数列，故，故，因为为有界数列，则，故，因此，实数的取值范围是.故答案为：.14．（2025·江苏·三模）已知数列满足，，.设，若不等式对于任意都成立，则正数的最大值为.【答案】【详解】因为数列满足，，，则，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故，由，可得，令，所以，，对任意的，，故，则，故数列为递增数列，所以，，因此，实数的最大值为.故答案为：.15．（2025·广西桂林·一模）已知函数，其中，记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围为．【答案】【详解】，设，则，令，，当，则，所以，得，则在单调递减，当，则，所以，得，则在单调递增，所以，即，所以恒成立，只需大于的最大值，令，则，可得，则的最大值为，所以，因为，则，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，故答案为：．四、解答题16．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项.(1)求数列的通项公式；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）数列的首项，可得，而，故，故，即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即.（2）若恒成立，即为，即恒成立，设，可得，.即数列是单调递减数列，可得，所以，即实数的取值范围是17．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，．(1)求的通项公式；(2)若存在，使得，求实数的取值范围．【详解】（1），，解得，；由，可知，；，，又，，即，解得或（舍去），．（2）由（1）知：可知，，解得，所以为等差数列，故，存在，有即又所以故，整理解得．所以的取值范围是.18．（2025·陕西·模拟预测）已知数列满足．设．(1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式；(2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【详解】（1）由，可得，即数列是首项和公比均为3的等比数列，则，即；（2）数列，则，可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立，可得，即的取值范围是.19．（2025·江苏南京·一模）已知数列的前项和满足为常数，且.(1)求的值；(2)证明：为等差数列；(3)若，求的取值范围.【详解】（1）因为，所以，又，所以.又，所以.（2）由（1）可得，所以，因此，相减得，得，所以为等差数列.（3）由（2）得，由，得.因为对恒成立，所以.20．（2025·宁夏·一模）已知数列满足．(1)证明：数列为等差数列；(2)设，记数列的前n项和为．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范围．【详解】（1）因为，即，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.（2）（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因为，所以，令，不妨设的第项取得最大值，所以，解得，所以的最大值为，所以，即m的取值范围是.21．（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．(1)证明：为等比数列；(2)设，证明：；(3)设，且数列的前项和为，证明：．【详解】（1）因为数列满足，且，可得，由，得，可得，由，得，可得，，以此类推可知，对任意的，且，所以，所以，可得，所以数列为等比数列，首项为，公比为.（2）由（1）可得，所以，故，易知数列是各项均为正数的单调递减数列，因为，所以，当时，，当时，，所以，所以，对任意的，，综上所述，.（3）因为，所以，令①，可得②，①②得，所以，故，故对任意的，.22．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项．(1)求的通项公式及；(2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和．（i）若，求的最大值；（ii）设，证明：．【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，，即①，，即②，将①代入②得，因为，解得，所以．（2）（i）令，即，解得，所以，即的通项公式为所以．又，所以．由，得，因为，所以的最大值为5．（ii）由（i）知，则，所以．设①，则②，①②得，所以．因为，所以．综上，．23．（2025·四川·三模）已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、．(1)求双曲线的方程；(2)求点的坐标；(3)若、，记的面积为，证明：．【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即，则点到渐近线的距离为，又因为，所以，因此，双曲线的方程为.（2）当轴，必然与轴重合，由曲线的对称性知的中点在轴上，的中点也在轴，故经过的定点也在轴上，设点，设直线的方程为，设点、，联立得，所以，，，由韦达定理可得，，故线段的中点，同理可知，直线的方程为，的中点为，即点，当时，由、、三点共线可得，得，解得，因此，.当时，，此时过，故.（3）由（2）可知，当时，定点，同理可知，也一定在轴上，考虑一般情况，假设点，设点，设直线的方程为，设点、，联立得，所以，，，由韦达定理可得，，故线段的中点为，同理，直线的方程为，线段的中点为，即点，当时，由、、三点共线可知，，即，整理可得，即当点时，，当时，，此时过，综上，.故当点时，、、、，由题意可知，的面积为，所以，所以.24．（2025·贵州·三模）在数列中，，，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，数列的前项和为，证明：；(3)证明：.【详解】（1）已知，即及，，化简得，又所以数列是首项为公差为的等差数列.（2）由（1）可知，所以，.又，所以，，.所以于是，，因为，所以，即.（3）定义，原不等式即下面证明，即，即证（*），设，则，于是在区间上是增函数.因为，有，不等式（*）成立.故原不等式成立.25．（2025·湖南·三模）已知函数，及一个如下所示的行列的数阵，第1列第2列第3列…第列…第列第1行……第2行……第3行…………第行…………第行……其中表示第行第列的数.在该数阵中，第1列的数从上到下组成公差的等差数列；第1行的数，对加上1后，得到的数列，，，…，，…，是公比的等比数列.已知，（其中，，…，；，，…，），且当时，恒成立.(1)求实数的值；(2)记第2行的数从左到右组成的数列为，第1列各数的和为.（i）求数列的通项公式；（ii）求证：.【详解】（1）函数的定义域为，.若，因为，所以恒有在上单调递增．又，所以当，不符合题意．若，当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以．要使时，恒成立，只需．设，则，所以当时，；当