计量经济学 课件 第6-12章 虚拟变量回归模型- 因果识别方法概述

1第6章虚拟变量回归模型14-6月-262第6章虚拟变量回归模型

6.1虚拟变量的定义

6.2含有虚拟变量的模型形式及其估计

6.3虚拟变量的设置原则14-6月-2636.1虚拟变量的定义1、虚拟变量通常指的是变量只能取0或1两个值，是最为常见和普遍的定性变量。

例如：X是表示某人性别的二元变量，若某人为女性，则X=1；若某人为男性，则X=0。此处，女性为对照组，男性为基准组。以上二者也可对调，基准组和对照组的作用是将两个不同组别区分开。14-6月-2646.1虚拟变量的定义1、虚拟变量因此，虚拟变量又称为二值变量(binaryvariable)，或指示变量(indicatorvariable)，通常记为D。

例如，反应被观测员工是否接受了公司补助的虚拟变量可取为：14-6月-26

其中，为员工的薪金；为虚拟变量，具体而言，若该员工是男性，，若是女性，；

为工龄、受教育年限等其它与员工薪金相关的因素。1、平行回归指的是包含虚拟变量方程的不同组别回归斜率相同，截距不同。一个以性别为虚拟变量来考察员工薪金的平行回归模型如下：6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计514-6月-26

模型（6.1）中性别虚拟变量的引入采取了加法方式，即模型中将虚拟变量以相加的形式引入模型。在该模型中，在独立同分布的假定下，则男员工的平均薪金为：女员工的平均薪金为：1、平行回归

6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计614-6月-26

从图6.1看出，当其他条件在两组别间不变，单单因为性别不同，造成了两个组别在薪金方面的差异。1、平行回归

6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计714-6月-26

1、平行回归

6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计814-6月-26例6.1运用2018年中国家庭追踪调查数据研究不同性别在实习税后工资（千元）上的平均差距，得出的结果如下：在以上回归中，是虚拟变量，若观测个体为女性，；否则。从以上结果可以看出，在其他条件不变的情况下，即给定相同水平的（年龄）、（每周工作时间）、（教育总支出）时，平均而言，男性的实习工资比女性高出750元。负截距的（这里是男性组的截距）实际意义较小。

2、并行回归

指的是包含虚拟变量方程的不同组别回归截距相同，斜率

不同；6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计914-6月-26中国农村居民的边际消费倾向与城市居民的边际消费倾向不同吗？一个以居民户籍所在地为虚拟变量来考察居民边际消费倾向的并行回归模型如下：其中，若该居民是农村居民，;若该居民为城镇居民，。

和分别表示居民家庭人均年消费支出与年可支配收入。

为其他与居民家庭人均年消费相关的因素。

2、并行回归

6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计1014-6月-26农村居民的人均年消费支出：城镇居民的人均年消费支出：如果估计系数显著地区别于0，则可判定在其他条件不变时，仅由于年可支配收入不同，所导致的农村居民与城镇居民的边际消费倾向有显著组间差异。

2、并行回归

6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计1114-6月-26例6.2仍然用2018年中国家庭追踪调查数据研究不同性别通过影响年龄边际回报率，从而影响实习税后工资（千元）水平这一问题，得出以下运行结果：交互项对应系数的具体含义为：在其他条件不变的情况下，同时控制每周工作时长和教育总支出时，年龄每增加一年，工资变化受到性别差异的影响。年龄每增加一年，平均而言女性的实习税后工资增加320元，而男性实习税后工资则增加360元，女性工资比男性工资平均少了40元。

3．相异回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计1214-6月-26指的是包含虚拟变量方程的不同组别回归截距不相同，斜率也不相同。一个以学区主要族裔为虚拟变量以考察学生成绩的相异回归模型如下：其中，为第个学区的学生平均成绩，为虚拟变量，具体而言，若第个学区为亚裔群族，；若不是，。

3．相异回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计1314-6月-26亚裔群族的学生平均成绩：非亚裔群族的学生平均成绩：为第个学区的生师比、教师平均受教育年限及教师每周工作总时长等其它与学生成绩相关的因素。

3．相异回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计1414-6月-26例6.3继续使用2018年的中国家庭追踪调查数据，研究不同性别带来的实习税后工资（千元）初始水平差异以及由性别导致年龄边际回报率差异的相关问题。

3．相异回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计1514-6月-26女性对应的回归线为：男性对应的回归线为：在其他条件不变时，对于女性来说，年龄每增加一年，实习工资平均增加430元，对于男性来说，年龄每增加一年，平均工资增加280元。的交互项系数0.15表示的是以工资刻画的年龄边际回报率在男女性别组间的差异。

4.折线回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计1614-6月-26

当时，，两式估计的GDP相等，两个组别间的回归在转折期连接成一条折线。具体见下图6.4。在时间为时，经济发生了转折，转折后对GDP影响的斜率发生了改变，其变化的大小取决于的大小。

4.折线回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计1714-6月-26

为了更加全面地研究带有虚拟变量的模型估计及系数，现将例6.1、6.2和6.3中的因变量全部替换为，在这种情况下，如何解释虚拟变量的估计系数？根据例6.1中平行回归的基本形式进行估计，有以下结果：以上回归中的系数意味着，在控制年龄、每周工作时长、教育总支出不变后，平均而言，仅仅因为性别差异，女性比男性平均少挣了的工资。

4.折线回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计1814-6月-26

在保持所有其他因素不变的情况下，通过计算预期工资的精确百分数差异，女性与男性工资差异的比例：将它求指数函数并减去1，则得到这个更精确的估计值意味着，一个女性的工资比一个与她相当的男性的工资大约低15.6%。

4.折线回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计1914-6月-26

根据例6.2并行回归的基本形式，将因变量转化为自然对数形式并保持并行回归形式不变，有以下运行结果：此处交互项对应的系数则意味着：在控制每周工作时长和教育总支出后，年龄每增加一年，女性的年龄边际回报率比男性的年龄边际回报率低。

4.折线回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计2014-6月-26

同样，计算预期工资的精确百分数差异。在保持所有其他因素不变的情况下，女性的年龄边际回报率与男性的年龄边际回报率差异的比例：。从上式我们得到：将它求指数函数并减去1，则得到这个更精确的估计值意味着，一个女性的年龄边际回报率比一个与她相当的年龄的教育边际回报率大约低0.7%。

4.折线回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计2114-6月-26

根据例6.3相异回归的基本形式，将因变量转化为自然对数形式并保持相异回归形式不变，有以下运行结果：在以上回归中，女性对应的回归线为：男性对应的回归线为：

4.折线回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计2214-6月-26

根据估计可知，对于女性来说，年龄每增加一年，实习工资增加，对于男性来说，年龄每增加一年，实习工资增加，而这两者之差，即为交互项的系数，这可理解为，在其他条件不变的情况下，女性的年龄边际回报率比男性的年龄回报率高（）。但是从纵截距来看，女生初始的工资水平大大低于男性工资水平。

4.折线回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计2314-6月-26

计算预期工资的精确百分数差异。在保持所有其他因素不变的情况下，女性的教育边际回报率与男性的教育边际回报率差异的比例：。从上式我们得到：将它求指数函数并减去1，则得到这个更精确的估计值意味着，一个女性的年龄边际回报率比一个与她相当的男性的年龄边际回报率大约高9.7%。

4.折线回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计2414-6月-26

例6.4降低学生-教师比对测试成绩的影响是否取决于仍然在学习英语的学生比例的高低呢？一种解决方法是采用某种模型设定形式，以能够反映两条不同的回归线，且这两条回归线依赖于英语学习者比例的高低。从而利用“斜率不同，截距不同”的设定形式，可得：其中，二元变量表示在学区内仍然在学习英语的学生比例是否大于10%，当大于10%时取值为1，否则取值为0。

4.折线回归6.2含有虚拟变量的模型形式

及其估计2514-6月-26

对于英语学习者的比例较低（）的学区，估计的回归线为：；对于英语学习者的比例较高（）的学区，估计的回归线为：根据以上估计可知，在英语学习者比例较低的学区学生-教师比减少1个单位引起测试成绩的预测值提高0.97分，而在英语学习者比例较高的学区，这一值为2.25。这两种效应之差（1.28分）即为上式中交互项的系数。

6.3虚拟变量的设置原则2614-6月-26

在构建虚拟变量以区分组别时应遵循以下原则：即使用（n-1）个虚拟变量以区分n个组别。若错误地使用n个虚拟变量区分n个组别，会产生完全多重共线性问题。这种情况为“虚拟变量陷阱”（dummyvariabletrap）。然而，存在的一种特殊情况是，若上述模型中没有截距项，则模型因变量的初始差异则会被纳入其中一个虚拟变量中，此种情况允许使用n个虚拟变量区分n个组别。

6.3虚拟变量的设置原则2714-6月-26

例如，已知国有上市公司的利润除受到政策、人口、资本是否密集等定量变量的影响外，还受到上市公司所处的地理位置的影响。要考虑一个上市公司所处的地理位置对其利润的影响，通常按照我国七大地理分区进行分类。对于我国七大地理分区，此处使用六个虚拟变量进行区分的细节如下：如果以上虚拟变量均为零，则表明该地区为西北。

6.3虚拟变量的设置原则2814-6月-26

则衡量我国上市公司利润的回归模型可写为：在上述模型中，若再引入第七个虚拟变量，则衡量我国上市公司利润的回归模型变为：其矩阵形式为：

6.3虚拟变量的设置原则2914-6月-26

以读取七个观测值为例，其中上市公司所处的地理位置均通过分别（错误地）进行了刻画和描述，不难发现：显然，中的第一列可表示成后七列的线性组合，从而出现完全多重共线性问题，导致参数无法唯一求出。这就是所谓的“虚拟变量陷阱”。30第7章多重共线性问题14-6月-2631第7章多重共线性问题7.1多重共线性的概念和原因7.2多重共线性问题的后果7.3多重共线性问题的检验7.4多重共线性问题的处理14-6月-26327.1多重共线性的概念和原因1、完全多重共线性

一个自变量刚好是其他自变量的线性组合如果存在不全为0的k个常数λj，

λ1X1i+λ2X2i+…+λkXki=0

i=1,2,…,n

其中:

λj不全为0，则称为解释变量间存在完全共线性（perfectmulticollinearity）。矩阵X至少有一列向量可由其他列向量（不包括第一列）线性表出，它是非满秩的。（例子：虚拟变量陷阱）模型设定问题识别问题14-6月-26332、近似多重共线性如果存在

λ1X1i+λ2X2i+…+λkXki+vi=0

i=1,2,…,n

其中λj不全为0，vi为随机误差项，则称为近似共线性（approximatemulticollinearity）或交互相关(intercorrelated)。主要是数据问题，也有模型设定问题

7.1多重共线性的概念和原因14-6月-2634

3、为什么会存在多重共线性？主要源于模型的设定以及数据本身两个方面的原因。首先是由于模型设定错误或者引入滞后变量，从而导致线性回归模型的多重共线性。例如前面提到的虚拟变量陷阱问题。模型中滞后变量的引入也可能产生多重共线性问题。许多宏观经济变量的当前值和其滞后值之间存在较强的线性相关性，例如当前收入与前期收入、当前价格与前期价格等。7.1多重共线性的概念和原因14-6月-2635

3、为什么会存在多重共线性？其次，从数据方面而言，许多经济变量的变化往往表现出较强的共同趋势。例如，许多时间序列变量数据表现出明显地同时增长或下降（例如经济繁荣时期不断增长的投资、收入、消费与产出，而在经济衰退时期，它们可能同时趋于下降）；而就截面数据而言，较大规模的地区、企业往往投入较多的资本和劳动力，具有较高的产出，而较小规模的地区、企业则有较小的资本和劳动投入，较低的产出。7.1多重共线性的概念和原因14-6月-2636

3、为什么会存在多重共线性？一般而言，相对于截面数据，采用时间序列数据的模型，更易存在多重共线性问题；而面板数据同时包含了时间和截面维度的信息，较大程度上降低了多重共线性的可能性。此外，可获得数据样本的限制也可能增加多重共线性问题存在的可能性。在实际中，我们往往因为数据的可获得性或者数据收集的成本问题，很难获得充足的数据样本，而样本容量越小，越可能产生多重共线性问题，越大的数据样本，可能降低变量之间的多重共线性，尤其是时间序列变量，更是如此。7.1多重共线性的概念和原因14-6月-26377.2多重共线性问题的后果如果解释变量存在完全多重共线性问题，参数估计不可得，其方差变为无穷大；如果解释变量存在近似多重共线性问题，那么1、普通最小二乘法估计量的方差和标准差变大；2、参数估计的t统计量变小，t检验不显著或者显著性降低；3、置信区间变宽，估计值的精确度下降；4、F检验往往显著，拟合优度R2值较高；5、OLS估计量及其标准差对数据的微小变化非常敏感，回归模型缺乏稳健性。14-6月-2638以二元线性模型

y=

0+

1x1+2x2+为例:

恰为X1与X2的线性相关系数的平方r2，即X1对X2回归的拟合优度。由于r2

1，故1/(1-r2)114-6月-2639多重共线性使参数估计值的方差增大，1/(1-r2)为方差扩大因子(VarianceInflationFactor,VIF)当完全不共线时,r2=0

当近似共线时,0<r2<1方差膨胀因子表相关系数平方00.50.80.90.950.960.970.980.990.999方差膨胀因子12510202533501001000当完全共线时，r2=1，14-6月-26407.2多重共线性问题的后果6、回归系数符号有误；7、难以衡量各个解释变量对回归平方和（ESS）或者R2的贡献。总之，随着多重共线性程度的提高，参数方差会急剧上升到很大的水平，理论上使最小二乘法估计的有效性、可靠性和价值都受到影响，实践中参数估计的稳定性和可靠程度下降。尽管有不完全的多重共线性，OLS估计量仍然是最优线性无偏估计量，但不再是一致的。14-6月-26417.3多重共线性的检验1、直接观察法F检验的显著性较高，拟合优度R2非常大（一般在0.9以上）、但许多回归系数没有通过t检验，甚至部分变量的回归系数符号与预期相反。2、相关系数检验法解释变量两两之间的样本相关系数绝对值比较大（例如大于0.8或者0.9）。14-6月-26427.3多重共线性的检验例7.1给出我国1978-2007年货物进口额名义值NIM（亿元）、国内生产总值名义值NGDP（亿元）、消费价格指数CPI（1978=100）以及生产者价格指数PPI(1978=100）的数据，试建立我国进口需求与GDP、价格指数之间的关系模型。14-6月-26433、辅助回归检验方法分别以每个解释变量对其他的k-1解释变量进行回归，得到k个回归方程的拟合优度，找出其中最大的拟合优度，例如，接近于1，则意味着解释变量可能与其他解释变量的一个或多个有较高的线性相关程度；进一步针对其对应的方程进行F检验确定其显著性，如果F统计量显著，就可以判断解释变量与其余解释变量之间存在多重共线性。当然还可以借助于回归系数的t检验，确定与共线性程度较高的一个或多个解释变量。

7.3多重共线性的检验14-6月-26444、方差膨胀因子检验法方差膨胀因子检验方法是建立在辅助回归的基础上。对于包含k个解释变量的多元线性回归模型而言，第i个变量的参数估计值的方差为

其中表示第j个解释变量对模型中其他的k-1个解释变量辅助回归方程的决定系数，第j个解释变量的方差膨胀因子（varianceinflationfactor,VIF）定义如下：7.3多重共线性的检验14-6月-2645已知记为，为。7.3多重共线性的检验4、方差膨胀因子检验法14-6月-2646当时，当时，自变量xj的方差膨胀因子定义为矩阵(X’X)-1中第k个对角元素，即4、方差膨胀因子检验法7.3多重共线性的检验14-6月-2647上式中表示把xk作为因变量，其余自变量作为自变量进行回归得到的决定系数。这个值越大，表示该变量与其余自变量的线性依存程度越强，则自变量的共线性越严重。常以方差扩大因子是否大于10来判断第k个解释变量是否存在较强的、必须加以处理的多重共线性。

还可以用所有自变量所对应的方差扩大因子的平均数，当其大于10时，表示变量间存在严重的共线性。7.3多重共线性的检验4、方差膨胀因子检验法14-6月-2648VIF的EViews计算首先建立以某个自变量为因变量、其余自变量为自变量的多元回归方程.然后计算VIF，命令如下：scalarvif=1/(1-equation_name.@R2)其中R2是R2，调用系数格式为

equation_name.@coefs(n)7.3多重共线性的检验4、方差膨胀因子检验法14-6月-2649例7.2美国机动车汽油消费的影响因素分析给出1950-1987年间美国机动车汽油消费量和影响消费量的变量数值。其中格变量表示：QMG为机动车汽油消费量（单位：千加仑）；CAR为汽车保有量；PMG为机动车汽油零售价格；POP为人数；RGNP为按1982年美元计算的GNP（单位：十亿美元）；PGNP为GNP指数（以1982年为100）。以汽油消费量为因变量，其他变量为自变量，建立回归模型。变量CAR与POP、RGNP之间相关系数较大，存在多重共线性。7.3多重共线性的检验4、方差膨胀因子检验法14-6月-2650例7.3

给出1960至1982年期间美国的鸡肉消费及其各种影响因素的数据。其中：qc表示平均每人鸡肉消费量，inc表示每人实际可支配收入，pc、pp、pb分别代表鸡肉、猪肉以及牛肉的实际零售价格，试图建立美国鸡肉需求的影响因素模型初步回归分析（直接观察法）相关系数矩阵辅助回归方程及其方差膨胀因子7.3多重共线性的检验4、方差膨胀因子检验法14-6月-2651辅助回归方程及其方差膨胀因子

14-6月-26525、状态指数检验法根据矩阵代数知识，设矩阵X’X的行列式等于其所有特征值的乘积，如果存在多重共线性，就意味着行列式的值为0或接近于0，那么特征值中至少有一个为0或近似等于0，因此利用X’X的特征值可以检验多重共线性。将X矩阵的每一列向量{Xj}除以其模实现标准化，然后再求X’X矩阵的特征值，取其中最大的除以最小的后再求平方根，得到该矩阵的“状态数”，记为：

通常当大于20或30时，认为存在较明显的多重共线性。

7.3多重共线性的检验14-6月-2653确定哪些解释变量的系数受到多重共线性的影响：先计算各个特征值的“状态指数”

这些状态指数的水平在1到之间，很可能有好几个超过20-30的“危险”水平。7.3多重共线性的检验5、状态指数检验法14-6月-26547.4多重共线性的克服和处理1、增加样本容量，改变样本数据类型2、删减或者替换变量，改变模型中的变量形式通过多重共线性检验，找出“贡献”于多重共线性问题的主要变量；结合研究目标和经验判断，删除一些对被解释变量影响不大、经济意义模糊的，或者我们不是很感兴趣的变量，从而降低多重共线性程度。而对于一些导致多重共线性但又在模型起关键作用的解释变量，我们可以替换变量、改变变量进入模型中的形式或者代理指标数据，以达到消除或降低模型中存在的多重共线性。14-6月-26553、变换回归方程的形式，重新设定模型对原有回归方程进行一阶差分利用先验信息改变回归方程的形式例7.4

重新估计我国进口需求函数模型（采用实际进口额和实际GDP）7.4多重共线性的克服和处理14-6月-2656差分方程线性回归模型为且已知X1和X2之间存在多重共线性问题。作如下变换：

改用差分方程进行回归，受多重共线性的影响比较小。7.4多重共线性的克服和处理14-6月-2657先验信息参数约束例：生产函数，经对数变换为：

如果预先知道所研究的经济有规模报酬不变的性质，即函数中的参数满足就可以克服多重共线性。7.4多重共线性的克服和处理14-6月-26584、逐步回归方法首先将被解释变量对最重要的某个解释变量进行回归，或者分别对所有解释变量依次回归，根据统计检验、经济意义以及理论分析，从中选择一个最优的回归方程，作为基准方程；然后在此基础上，分别逐个引入其他的解释变量进行回归，从中选择最优的回归结果；继续引入其他的解释变量，重复前述过程，不断纳入新的解释变量，扩大回归方程的规模，直到确定最后的回归方程、无法引入新的变量时为止。7.4多重共线性的克服和处理14-6月-26597.4多重共线性的克服和处理14-6月-264、逐步回归方法增加新的解释变量，选择最优回归方程的基本标准如下：（1）如果增加新的解释变量后，相对于初始回归方程而言，新方程的修正拟合优度变大，解释变量的回归系数符号正确，在统计上显著，则认为这个新的解释变量对回归模型是有利的，可以保留作为回归模型的解释变量。（2）如果引进新的解释变量后，回归方程的修正拟合优度并没有明显增加，同时对其他回归系数也并无显著影响，则可以舍弃该变量。607.4多重共线性的克服和处理14-6月-264、逐步回归方法（3）如果增加新的解释变量后，不仅明显改善了修正拟合优度，而且对其他回归系数的数值或符号具有明显影响，则可认为新变量的引进导致了多重共线性问题。可以按照前述方法，考察解释变量间线性相关的形式和程度，结合经济意义上的判断，删减变量；如果这个新的解释变量，在理论上对于被解释变量非常重要，则不能简单舍弃，可以改善模型的形式，设定更合理的回归模型进行估计。61例7.3（续）采用逐步回归方法重新估计美国鸡肉需求模型7.4多重共线性的克服和处理14-6月-2662例7.5中国粮食生产函数根据理论和经验分析，影响粮食生产（Y）的主要因素有：农业化肥施用量（X1,万吨）；粮食播种面积(X2，万公斤)

成灾面积(X3，千公顷);农业机械总动力(X4，公顷);

农业劳动力(X5，万人)已知中国粮食生产的相关数据，建立中国粮食生产函数：

Y=

0+

1X1+

2X2+

3X3

+

4X4

+

4X5

+

14-6月-26631、用OLS法估计上述模型：

R2接近于1；给定=5%，得F临界值F0.05(5,12)=3.11

F=638.4>15.19，故认上述粮食生产的总体线性关系显著成立。但X4

、X5

的参数未通过t检验，且符号不正确，故解释变量间可能存在多重共线性。(-0.91)(8.39)(3.32)(-2.81)(-1.45)(-0.14)14-6月-26642、检验简单相关系数发现：X1与X4间存在高度相关性。列出X1，X2，X3，X4，X5的相关系数矩阵：14-6月-26653、找出最简单的回归形式可见，应选第1个式子为初始的回归模型。分别作Y与X1，X2，X4，X5间的回归：(25.58)(11.49)R2=0.8919F=132.1DW=1.56(-0.49)(1.14)

R2=0.075F=1.30DW=0.12(17.45)(6.68)R2=0.7527F=48.7DW=1.11(-1.04)(2.66)R2=0.3064F=7.07DW=0.3614-6月-26664、逐步回归

将其他解释变量分别导入上述初始回归模型，寻找最佳回归方程。5、结论回归方程以Y=f(X1，X2，X3)为最优：14-6月-2667第8章异方差问题14-6月-2668第8章异方差问题

8.1异方差的概念

8.2异方差问题的后果

8.3异方差问题的检验

8.4异方差问题的处理14-6月-26698.1异方差的概念14-6月-26若对任意的i=

1,…,n，给定Xi时，εi的方差为常数且不随着Xi的变化而变化时，则称误差项εi是同方差的（homoskedasticity），否则称误差项εi是异方差的（heteroskedasticity）。708.1异方差的概念14-6月-26具体而言，对于模型同方差性假设为如果出现即随机扰动项的方差不是固定不变的常数，而是随着某一个（或几个）自变量Xi的变化而变化，则认为出现了异方差问题。718.1异方差的概念14-6月-26不难看出，伴随着X的增大，εi相对于其均值的偏离程度也越来越大。也就是说，因变量Y（或随机扰动项）的方差是随着X的增大而逐步增大的，表明此处存在异方差。X=15728.1异方差的概念14-6月-26以不同性别工人收入的影响因素为例，设Malei为二元变量，该工人为男性时取1，为女性时取0。由此工人的收入（Salaryi）对其性别的二元变量回归为：由于解释变量是二元变量，故βi表示两组样本的总体均值之差，即男性工人和女性工人的平均收入之差。同方差的定义指的是εi的方差不随着解释变量的变化而变化。值得注意的是，εi的方差即因变量Salaryi的方差。738.1异方差的概念14-6月-26原因在于，若将式（8.1）写成针对男性和女性工人的两个单独等式，则有：男性工人的收入：女性工人的收入：因此，对于女性工人而言，εi表示第i个女性工人的收入与女性总体平均收入β0的偏差；对于男性工人而言，εi表示第i个男性工人的收入与男性总体平均收入（β0+

β1）的偏差。“随机扰动项的方差不随性别虚拟变量Malei的变化而变化”等价于“男性工人收入的方差和女性工人收入的方差相同，且都为同一常数”。748.1异方差的概念14-6月-26

异方差主要出现在截面数据分析中，例如大公司的利润变化幅度要比小公司的利润变化幅度大，即大公司利润的方差比小公司利润的方差大。这取决于公司的规模、产业特点和研究开发支出多少等因素。又如高收入家庭通常比低收入家庭对某些商品的支出有更大的方差。例8.1：人均家庭支出（cum)和可支配收入（in)的关系模型给出中国1998年各地区城镇居民平均每人全年家庭交通及通讯支出（cum)和可支配收入（in)的数据，估计两者之间的关系模型758.2异方差问题的后果14-6月-26若存在异方差问题，仍采用普通最小二乘法估计模型参数，参数的无偏性仍然存在，但不具有有效性。利用同方差适用的标准误差计算的t统计量即使在大样本情况下将不再服从标准正态分布。检验假设的统计量不再成立，建立在t分布和F分布之上的置信区间和假设检验不可靠。当结果导致存在异方差性时，使用同方差适用的t统计量进行t检验时所使用的临界值将产生偏误，即参数的显著性有可能由于忽略异方差问题而被错误提升（降低），导致进行t检验失去了意义。768.2异方差问题的后果14-6月-26类似地，如果误差项是异方差的，一般情况下，即使是大样本，我们利用同方差适用的标准误差所构造的置信区间包含估计量真值的概率也不再是。以上性质同样适用于F检验。另外，由于因变量预测值的方差中包含有参数估计量的方差，所以当模型存在异方差时，OLS估计下的参数估计量的方差不再具有最小方差性，使得因变量预测值的波动较大，预测的准确性较低。总而言之，当模型存在异方差问题时，使用OLS方法所得到的参数估计不再是最优线性无偏估计。778.2异方差问题的后果14-6月-26例8.2利用中2018年中国家庭追踪调查数据，整理了1634个工人的若干数据，但这里只考虑工作总收入wage（千元）与教育educ（受教育程度）和性别female（“女”=1，“男”=0）、年龄age的关系。假定其他变量保持不变，考虑如下模型：正常情况下我们预期工作总收入与受教育程度正相关，与性别负相关。回归结果如下：788.2异方差问题的后果14-6月-26798.2异方差问题的后果14-6月-26回归结果显示，受教育程度和性别与工作总收入高度相关，与预期结果一致。但这是在古典假定的条件下。需要考虑，在这1634个工人中他们的受教育程度是不同的，因此很可能不满足同方差假定。如果是真的，那么估计标准误和t值就不再可靠。为了验证猜想，先做残差平方图，见图8.2:808.2异方差问题的后果14-6月-26然后做残差平方对各回归元的散点图，见图8.3：图8.3a和图8.3b表明数据有较大的变异性，说明回归模型很可能存在较大的异方差818.3异方差问题的检验14-6月-26（一）初步检验（残差的图形检验）（二）布罗施-帕甘检验（Breusch-Pagantest）（三）戈里瑟检验（Glejsertest）（四）怀特检验（Whitetest）828.3异方差问题的检验1、异方差问题的初步检验

14-6月-26在开展传统的异方差问题检验前，可以先对Y-X进行简单的散点图描述，以便直观地观察被观测个体的因变量相对于自变量变化的分布情况。或者以某一变量（通常取因变量）作为横坐标，以随机项的估计量e或e2为纵坐标，根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。如果存在相关性，则存在异方差。通常的方法是先产生残差序列，再把它和因变量一起绘制散点图。838.3异方差问题的检验1、异方差问题的初步检验

14-6月-26如图8.4所示，（a）图为同方差，从图中可观察到观测个体较为均匀地分布在回归直线的周围；（b）图为单调递增型，从图中可观察到随着X的增加，Y距离回归直线越来越远，即其方差越来越大：随Xi的增大而增大；848.3异方差问题的检验1、异方差问题的初步检验

14-6月-26（c）图为单调递减型,可以观察到随着X的增加，Y距离回归直线越来越近，即其方差越来越小：随Xi的增大而减小；（d）图为复杂型，随着X的变化，Y的方差变化未呈现任何明显的单调关系：与Xi的变化呈复杂形式。858.3异方差问题的检验1、异方差问题的初步检验

14-6月-26其次，也可用对X进行回归，并依据回归中具有显著性参数估计的自变量X,作散点图进行初步判断。具体而言，回归可依据以下形式展开：假设以上回归中系数δ1的估计量显著区别于零，则可以Xi1为横轴，以为纵轴，对进行描点，观察个体i的残差平方对X是否形成一条斜率为零的直线，如图8.5所示。868.3异方差问题的检验1、异方差问题的初步检验

14-6月-26图（a）表明不随X的变化而变化，呈现明显的同方差性；图（b）表明随着X的增加，也增加，呈单调递增特点；图（c）表明随着X的增加，减小，呈单调递减特点；图（d）表明随着X的增加，先减小后增加，二者之间呈凸性函数变化特点。878.3异方差问题的检验2．布罗施-帕甘（Breusch-Pagan）检验14-6月-26对于线性模型在随机扰动项具有零条件均值的基本假设下，布罗施-帕甘检验（B-P检验）的原假设为：备择假设为此处存在异方差。888.3异方差问题的检验2．布罗施-帕甘（Breusch-Pagan）检验14-6月-26布罗施-帕甘检验的基本步骤如下：（1）用OLS估计原始模型（8.2），得OLS残差平方；（2）将作为因变量，并引入模型（8.2）中的自变量作为新方程中的自变量，进行式（8.3）中的回归；

（3）构建联合检验原假设：

并计算与之相对应的F统计量（8.5）或LM统计量（8.6），同时计算其值。898.3异方差问题的检验2．布罗施-帕甘（Breusch-Pagan）检验14-6月-26其中来自回归（8.3）。式（8.5）与式（8.6）所构造的F统计量与LM统计量在大样本下渐近服从分布与分布。此处，关于回归（8.2）的异方差检验就转化为关于回归（8.3）中全部参数是否联合为零的F（或LM）检验。若对应p值较小（例如），即低于选定的显著性水平，那么我们将拒绝联合假设（8.4），说明回归（8.2）存在异方差性，需要予以纠正。908.3异方差问题的检验3．戈里瑟（

Glejser）检验14-6月-26（1）通常拟合和Xj

之间的回归模型：根据图形中的分布选择（2）再检验零假设β＝0（不存在异方差）。如果零假设被拒绝，则表明可能存在异方差。

918.3异方差问题的检验3．怀特（White）检验14-6月-26怀特检验（1984）提出在回归方程（8.3）中增加所有自变量的平方和交叉项乘积，以验证与自变量及其非线性形式的弱相关关系。假设一个二元回归模型为异方差的怀特检验步骤如下。928.3异方差问题的检验3．怀特（White）检验14-6月-26（1）用OLS估计模型（8.7），得到OLS残差平方。同时计算自变量的平方，与；（2）利用回归（8.7）中的残差平方作为因变量，以，，，和作为自变量，进行方程（8.8）中的回归。记下这个回归中的拟合优度；（3）检验以下原假设：利用回归（8.8）得到的拟合优度构建F统计量（8.5）或LM统计量（8.6），并计算其值。若值小于某一选定的显著性水平，那么我们将拒绝联合假设，说明回归（8.7）存在异方差性，需要予以纠正。938.3异方差问题的检验3．怀特（White）检验14-6月-26等价怀特（White）检验的具体步骤：（1）用OLS估计模型（8.7），得到OLS残差平方和拟合值的平方；（2）做如下回归，并记下拟合优度：（3）构建F统计量（8.5）或LM统计量（8.6），并计算其值。若值小于某一选定的显著性水平，那么我们将拒绝联合假设，说明回归存在异方差性，需要予以纠正。948.4异方差问题的处理1．异方差稳健标准误法14-6月-26异方差稳健标准误方法可对由异方差问题引起的错误低估参数估计量标准误进行纠正。当回归模型随机扰动项出现异方差时，普通最小二乘法虽然能保证系数估计的无偏性，但却无法保证系数估计量方差或标准差的正确估计，从而无法保证普通最小二乘估计量的有效性。因此，一种较为简单的，仅仅针对异方差修正的估计方法是：基于简单最小二乘法，采用异方差稳健标准误，改变异方差带来的错误低估参数标准误问题，从而达到同方差性的修正效果（怀特，1980）。958.4异方差问题的处理1．异方差稳健标准误法14-6月-26具体而言，采用普通最小二乘估计的残差平方代替，对参数估计量的方差进行计算。即使用普通最小二乘估计的残差的平方代替，将参数估计的方差由（8.9）中的估计形式转化为（8.10）：怀特（1980）证明了大样本下，式（8.10）是式（8.9）的有效一致估计。式（8.10）的平方根称为的异方差稳健标准误（heteroskedasticity-robuststandarderror）。968.4异方差问题的处理1．异方差稳健标准误法14-6月-26一旦得到了以上提及的异方差稳健性标准误，构建一个异方差稳健性t统计量就很容易。具体而言，在提前选定了假设值的前提下，异方差稳健性统计量与常规的OLS统计量的差别在于，异方差稳健性

统计量的分母应为（8.10）中的平方根。而由此进行的异方差稳健检验，我们通常认为是克服了异方差后的有效且一致的结果。978.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26加权最小二乘法的运用，通过对整体回归方程进行加权处理，使其随机扰动项的方差理论上不再随着一个或多个自变量的变动而发生改变，从而使最小二乘法的运用符合高斯-马尔可夫假定，进而得到最优线性无偏估计量。然而，此处另一个较为关键的问题是，在进行加权最小二乘估计方法前，是否已获知真实的随机扰动项方差的信息，及其与的相关形式。因此，在使用加权最小二乘法时，应分为当未知或已知时的两种情况展开讨论。988.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26具体而言，对以下方程采用简单最小二乘法估计，并将该回归中的残差作为因变量，将等作为自变量进行简单回归：998.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26首先，当误差方差已知时，将原模型式（8.11）同时除以可得：因此，进行变换后，原模型变换为其中，是加权变换后新模型的随机扰动项。明显地，

具有同方差性。1008.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26模型（8.14）中的因变量和自变量分别如下：当未知时，我们可：（1）假设误差方差与成比例，并采用平方根变化的方式处理异方差问题；（2）假设误差方差与成比例，并采用线性变化的方式处理异方差问题。将回归残差平方对式（8.11）中具有显著性系数的自变量（例如）进行描点。若得到图8.6或类似图形，则表明误差方差与解释变量具有相关性。1018.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-261028.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26式（8.15）说明误差方差随着的变动而变动，且二者之间存在某种线性关联。在式（8.15）的假设下，可将原始模型进行以下变换：因此，进行平方根变换后，原模型变换为其中，是加权变换后新模型的随机扰动项。1038.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26明显地，具有同方差性，其方差不再随着自变量的变动而变动。另外，模型（8.17）中的因变量和自变量分别如下：值得注意的是，模型（8.16）通过平方根变换后，已经没有截距项了，即（8.17）是一个过原点的回归。1048.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26另外，假设误差方差与成比例时，人们一般采用线性变换的方式以克服原模型中的异方差问题。与前述内容类似，若原回归中估计的残差方差与某一个自变量的相关关系如图8.7所示，则表明误差方差与的构成相关关系，即1058.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26式（8.18）说明误差方差随着的变动而变动，且二者之间存在某种线性关联。1068.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26在式（8.18）的假设下，可将原始模型进行以下变换：因此，进行线性变换后，原模型变换为其中，是加权变换后新模型的随机扰动项。1078.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26明显地，具有同方差性，其方差不再随着自变量的变动而变动。另外，模型（8.20）中的因变量和自变量分别如下：值得注意的是，模型（8.19）通过以上线性变换后，已经没有截距项了，（8.20）是一个过原点的回归。1088.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26一般情况下，对异方差问题进行加权最小二乘估计的具体步骤如下：（1）对方程（8.2）进行回归，并得到残差，并在检验过程中已经知道：1098.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26假定我们通过前期的估计，已得知随机扰动项的方差是与哪一个或多个自变量发生扰动，且已知晓扰动的具体函数形式为；假设这一函数形式是正确的，在不改变等式的前提下则可以使用（1/）同乘回归（8.2）的等号两边，得到以下加权形式：1108.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26不难发现，该加权回归中，新的随机扰动项及其方差分别为且因此在此转换基础上，运用OLS方法所得到的参数估计为最优线性无偏估计。1118.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26（2）通过先将OLS残差进行平方，然后再取自然对数而得到；（3）把作为因变量，进行以下回归，

并得到拟合值；（4）求出方程（8.22）中拟合值的指数，；（5）以为权重用加权最小二乘法重新估计方程（8.2）。1128.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26由此可见，普通最小二乘法是权重为1的加权最小二乘法。因此加权最小二乘法也可称为广义最小二乘法（generalizedleastsquares,gls），实施加权最小二乘法中的权重即为。上述步骤中只是简单的给出了加权最小二乘法的实现步骤，下面具体介绍权重的由来。1138.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26现假设的方差具有如下指数函数的形式：则可等价地写出：其中，可看成条件均值为1的随机项，如果假设与各独立，进一步有其中，为独立同分布的随机扰动项。1148.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26因此对回归（8.24）使用最小二乘法所得到的参数估计是最优线性无偏估计。但事实上，我们只能使用的观测值来代替，进行回归（8.24）的估计。则可得到各的一致估计量。于是，在大样本下可得到的方差的一致估计量。1158.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）14-6月-26令，有。假设，展开可得下式：从而，估计的权为其中，为权数，为其估计量。同时有116第9章自相关问题14-6月-26117第9章自相关问题9.1自相关的界定及其后果

9.2自相关问题的检验

9.3自相关问题的处理14-6月-261189.1自相关的界定及其后果1.自相关问题的成因

时间序列的惯性。惯性是大多数经济时间序列所特有的属性。如失业率、汇率、工业生产指数或股票价格等时间序列都呈现出明显的周期性，并呈现出经济活动中的循环或自持式波动。

在涉及时间序列的研究中，连续时间段上的观测值之间关联性或依赖性较强，正是由于这种关联性和依赖性（称之为“惯性”）造成了时间序列中的自相关问题。14-6月-261199.1自相关的界定及其后果1.自相关问题的成因14-6月-26模型设定的误差。模型设定的误差（misspecification）指的是模型在设定的过程中存在遗漏变量或采用了错误的函数形式等，从而导致得到的残差呈现出系统变化模式。如本来应该估计的模型为式（9.3）但实际估计的模型是式（9.4）因此，式（9.4）中。由于遗漏了变量，此处会产生自相关问题，即，其中。1209.1自相关的界定及其后果1.自相关问题的成因14-6月-26经济指标的滞后及依赖性。经济时间序列，对于某一相关政策实施，存在较强的滞后性及依赖性。这一现象放入时间序列，反映出该时间序列指标存在自相关问题。数据处理。在实证分析中，往往需要对原始数据进行处理和加工，其中部分数据是通过已知数据生成的。因此，新生成的数据与原数据间就存在系统关联，表现出自相关性。1219.1自相关的界定及其后果2.自相关问题的后果14-6月-26同异方差问题相似，只要解释变量是严格外生的，自相关问题不会造成参数估计的偏误，即存在自相关问题时，OLS估计量仍是线性及无偏的。然而由于自相关问题会引起参数的方差偏误，因此参数估计的有效性将被削弱。这是因为有效性是建立在随机扰动项是同方差和无序列相关的基础上的。1229.1自相关的界定及其后果2.自相关问题的后果14-6月-26在显著性检验中，t检验要求参数方差的估计必须是准确的。换言之，如果计量经济学模型出现序列相关时，仍采用OLS进行估计，被估计的参数标准误有可能被严重低估（高估），从而导致t统计量被错误放大（缩小），检验准确性降低，失去了检验的意义。进一步说明，存在自相关时，t检验和检验都不再可靠。时间序列中若存在自相关问题，拟合优度及其调整值也相应失效。拟合优度及其调整值与参数估计的方差有关，如果参数的方差估计有偏误，就会降低估计的精度。1239.2自相关问题的检验14-6月-26这些检验方法的基本思路是通过OLS方法估计出随机扰动项的观测值，即残差，由于残差是的估计值，因此可用代替不可观测的并观察其性质，从而判断回归中的随机扰动项是否存在自相关问题。1249.2自相关问题的检验1．图形法14-6月-26由于残差可以作为的估计，如果存在序列相关，必然会由观测值-残差项反映出来，因此，通过将当期观测值和前一期观察值绘制成散点图的方式，判断当前时间序列回归

中随机扰动项是否存在自相关问题。1259.2自相关问题的检验1．图形法14-6月-26若此处存在一阶自相关，那么其自相关模式可阐述如图9.1。为正的自相关，由下图a表示；为负的自相关，由下图（b）表示；当时，表示不存在自相关问题。1269.2自相关问题的检验2．回归检验法14-6月-26以一阶自相关为例，回归检验法指的是以为被解释变量，以为解释变量，构建一阶自回归方程:其中，是独立同分布的白噪声（whitenoise），更多高阶自回归方程及其相关知识点将在时间序列部分予以详细介绍。对以上一阶自回归方程进行OLS估计并检验其参数的显著性:1279.2自相关问题的检验2．回归检验法14-6月-26由于和均不可观测，因此进行OLS估计时，人们通常使用和分别进行代替。如果此处一阶自相关系数显著的区别于零，则说明原模型存在序列相关性。此法的难点在于，如何准确有效地确定自回归的方程形式。在时间序列的相关章节里，关于自相关系数（auto-correlationfunction,acf）和偏自相关系数（partialauto-correlationfunction,pacf）的检验能够有效确定该时间序列的回归方程形式。1289.2自相关问题的检验3．杜宾-沃森检验法14-6月-26杜宾-沃森检验（DW）是杜宾和沃森（DurbinandWatson,1951）提出的一种检验序列自相关的方法，该方法的使用需满足以下条件：首先解释变量是外生变量；其次随机扰动项需满足如式（9.2）所示的一阶自回归形式，且模型中应含有截距项。1299.2自相关问题的检验3．杜宾-沃森检验法14-6月-26杜宾-沃森检验的假设是:即原假设是不存在一阶自回归。根据以上原假设和备择假设构造统计量：1309.2自相关问题的检验3．杜宾-沃森检验法14-6月-26通过计算统计量，同时根据样本容量和解释变量个数通过查询DW分布临界值表，得到临界值和，并按照下列原则比较统计量与以及的大小关系，从而判断模型是否存在一阶自相关。若，则存在正自相关；若，则不能确定；若，则无自相关；若，则不能确定；若，则存在负自相关；1319.2自相关问题的检验3．杜宾-沃森检验法14-6月-26通过观察上述规则可得，当统计量在2附近时，模型不存在一阶自相关。详情如下图所示：1329.2自相关问题的检验3．杜宾-沃森检验法14-6月-26相关证明过程如下。首先按照上式展开统计量：当较大时，、、大致相等，则上式可以简化为：其中，1339.2自相关问题的检验3．杜宾-沃森检验法14-6月-26因此，结合前期测算的统计量，可得：如果存在完全一阶正相关，则；如果存在完全一阶负相关，则；如果存在完全不相关，则.1349.2自相关问题的检验3．杜宾-沃森检验法14-6月-26然而，通过观察图9.2可以看到，当统计量位于以下区域，即和时，杜宾-沃森检验无法判断此时是否存在一阶自相关。杜宾-沃森检验只能用于检验是否存在一阶自相关，该检验对于检测其他高阶自相关形式并不适用。综上所述，杜宾-沃森检验的运用具有较大的局限性。1359.2自相关问题的检验4．游程检验法14-6月-26游程为同一符号或属性（例如+或-）的一个不间断历程。例如，记残差的符号（+或-）有：总共有20个残差构成了5个游程。其中一个7个正直的游程（其长度为7）。若游程太多，则意味着残差在不断地变换符号，表明存在负的序列相关；如果游程太少，则意味着存在正的自相关。1369.2自相关问题的检验4．游程检验法14-6月-26令为观察值的总个数，表示+号（正的残差）的个数，表示-号（负的残差）的个数，k表示游程个数。在残差相互独立的零假设下，史威德（Swed）和艾森哈特（Eisenhart）建立了游程检验的临界值。如果实际游程个数小于或等于下临界值，或是大于或等于上临界值，则可以拒绝零假设，则说明所观察的序列是随机的。1379.3自相关问题的处理1．自相关稳健标准误14-6月-26自相关稳健标准误法，又称纽维-韦斯特方法（NeweyandWest,1987）。目前的统计软件中都有NW检验，也被称作HAC（异方差和自相关一致的）标准误。采用该方法的主要优势在于当模型出现自相关问题时，在修正参数估计的方差/标准误的同时，可继续采用OLS进行参数估计。1389.3自相关问题的处理1．自相关稳健标准误14-6月-26模型自相关问题的存在，虽然不会影响参数估计的无偏性和一致性，但是会引起参数估计的方差/标准误的估计偏误，从而无法保证OLS估计的有效性，并导致T检验和F检验结果不再可靠。因此，通过纽维-韦斯特方法对参数估计的方差及标准误进行修正后，可以一定程度上缓解自相关引发的后果。1399.3自相关问题的处理1．自相关稳健标准误14-6月-26根据李子奈和潘文卿（2020），在一元线性回归模型中，采用纽维-韦斯特方法对斜率项的估计的方差，需按式（9.7）进行估计：上式给出的仅仅是一元线性回归中参数估计的自相关稳健标准误。在多元回归模型中参数估计的自相关稳健标准误更加复杂，在此不再列出。1409.3自相关问题的处理1．自相关稳健标准误14-6月-26基于OLS估计而进行参数估计方差/标准误修正的自相关稳健标准误法，虽然不能从根本上消除随机扰动项之间的相关性，但方差/标准误的稳健性修正可以使得以方差/标准误为计算基础的各种统计检验更加可靠，置信度提高。因此，自相关稳健标准误法不失为基于OLS估计、并初步缓解自相关问题的一道良策。1419.3自相关问题的处理2．一阶差分法14-6月-26在应用计量经济学中，若一阶自相关系数，即误差项之间是完全正自相关，那么可以采取一阶差分方法解决自相关问题。设线性回归模型为：已知有很强的一阶自相关性，即把滞后一期的观测值代入变量关系式（9.8），得方程：1429.3自相关问题的处理2．一阶差分法14-6月-26可得：由于，因此令，可得因为，所以上式近似为因此，回归式（9.14）是使用了一阶差分方法消除了自相关问题后的新回归模型。注意，一阶差分方程式（9.14）的一个重要特征：模型没有截距。因此要使用OLS方法估计式（9.14），需要在计算软件中选择经过原点的模型。另外注意，相当于DW趋于0。1439.3自相关问题的处理2．一阶差分法14-6月-26因此，回归式（9.14）是使用了一