2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第七章7.5空间直线、平面的垂直（附答案）

§7.5空间直线、平面的垂直分值：90分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是()A.m⊥l，m⊂β，l⊥αB.m⊥l，α∩β=l，m⊂αC.m∥l，m⊥α，l⊥βD.l⊥α，m∥l，m∥β3.若某圆锥的侧面积为底面积的5倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为()A.2 B.3 C.2 D.54.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部5.(2024·北京模拟)在正四棱锥P-ABCD中，AB=2，二面角P-CD-A的大小为π4，则该四棱锥的体积为(A.4 B.2 C.43 D.6.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A.AC⊥SBB.AD⊥SCC.平面SAC⊥平面SBDD.BD⊥SA二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2025·广州模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则下列命题不正确的是()A.若α⊥γ，β⊥γ，则l∥mB.若l∥m，则α∥βC.若α⊥β，γ⊥β，则l⊥mD.若l⊥m，则α⊥β8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是()A.异面直线AB1与CD所成角的大小为45°B.异面直线A1B1与AC1所成角的大小为45°C.直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为3D.二面角C1-AD-B的大小为45°三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是.10.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M是BD的中点，MA=1且MC=2，若二面角A-BD-C的大小为120°，则点A到点C的距离为.四、解答题(共27分)11.(13分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.求证：(1)CD⊥平面PBD；(6分)(2)平面PBC⊥平面PCD.(7分)12.(14分)如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°，点M，N分别为A'B和B'C'的中点.(1)证明：MN∥平面AA'C'C；(7分)(2)设AB=λAA'，当λ为何值时，CN⊥平面A'MN？试证明你的结论.(7分)13题5分，14题6分，共11分13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(A.12 B.1 C.214.(多选)(2025·河池模拟)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BC1，D，E分别是BC1，AC1的中点，则下列说法正确的是()A.DE∥平面ABB1A1B.AD⊥平面BCC1C.直线AD与直线DE的夹角为πD.若∠BAC=π6，则二面角B-A1B1-C1的平面角的大小为答案精析1.A2.D3.A[设该圆锥的底面圆半径和母线长分别为r，l，母线与底面所成的角为θ，由题意可得πrl=5πr2⇒l=5r，由勾股定理可得圆锥的高h=5r2-所以圆锥的母线与底面所成角的正切值tanθ=hr=2.4.A[由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.]5.C[连接AC，BD相交于点H，则H为正方形ABCD的中心，故PH⊥底面ABCD，取CD的中点Q，连接HQ，PQ，则HQ⊥CD，PQ⊥CD，HQ=12AD=1故∠PQH为二面角P-CD-A的平面角，所以∠PQH=π故PH=HQ=1，所以该四棱锥的体积为13×AB2·PH=436.D[由题意知SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故SD⊥AC，又四棱锥S-ABCD的底面为正方形，即AC⊥BD，而SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD，故AC⊥平面SBD，SB⊂平面SBD，故AC⊥SB，A正确；SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故SD⊥AD，又四棱锥S-ABCD的底面为正方形，即AD⊥CD，而SD∩CD=D，SD，CD⊂平面SCD，故AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD，故AD⊥SC，B正确；由于AC⊥平面SBD，AC⊂平面SAC，故平面SAC⊥平面SBD，C正确；SD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故SD⊥BD，若BD⊥SA，而SD∩SA=S，SD，SA⊂平面SAD，故BD⊥平面SAD，又AD⊂平面SAD，故BD⊥AD，即∠BDA=90°，这与正方形ABCD中∠BDA=45°矛盾，D错误.]7.ABD[若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m或l与m相交，故A错误；若l∥m，则α∥β或α与β相交，故B错误；若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m，故C正确；若l⊥m，则α与β相交，不一定是垂直，故D错误.]8.ACD[如图所示，对于A，因为CD∥AB，则AB1与CD所成的角为∠BAB1=45°，A正确；对于B，因为AB∥A1B1，所以AC1与A1B1所成的角为∠BAC1或其补角，因为AB=2，BC1=2BC=22，AC1=3AB=2所以AB2+BC12=则AB⊥BC1，所以tan∠BAC1=BC1AB=2，故∠BAC1≠对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，故直线AC1与平面ABB1A1所成的角为∠B1AC1，因为AB1⊂平面ABB1A1，则B1C1⊥AB1，所以sin∠B1AC1=B1C因此，直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为33，对于D，因为AD⊥平面CC1D1D，CD，C1D⊂平面CC1D1D，则AD⊥CD，AD⊥C1D，所以二面角C1-AD-B的平面角为∠CDC1=45°，D正确.]9.平行解析依题意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，故l⊥平面ABC，又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC=C，BC，AC⊂平面ABC，故m⊥平面ABC，∴l∥m.10.7解析如图所示，连接AC，因为AB=AD，CB=CD且M为BD的中点，所以MA⊥BD，MC⊥BD，所以∠AMC为二面角A-BD-C的平面角，可得∠AMC=120°，在△AMC中，因为MA=1，MC=2且∠AMC=120°，可得AC2=MA2+MC2-2MA·MCcos120°=1+4-2×1×2×-12所以AC=7.11.证明(1)因为AD=AB，∠BAD=90°，所以∠ABD=∠ADB=45°.又因为AD∥BC，所以∠DBC=45°.又∠BCD=45°，所以∠BDC=90°，即BD⊥CD.因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面PBD.(2)由CD⊥平面PBD，BP⊂平面PBD，得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，所以BP⊥平面PCD.又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.12.(1)证明取AB的中点D，BC的中点E，连接MD，DE，NE，则有MD∥AA'，DE∥AC，NE∥CC'∥AA'，所以NE∥MD，则NE与MD共面，又DE⊄平面AA'C'C，AC⊂平面AA'C'C，所以DE∥平面AA'C'C，又MD⊄平面AA'C'C，AA'⊂平面AA'C'C，所以MD∥平面AA'C'C，又MD∩DE=D，MD，DE⊂平面DMNE，所以平面DMNE∥平面AA'C'C，又MN⊂平面DMNE，所以MN∥平面AA'C'C.(2)解连接BN，不妨设AA'=1，则AB=AC=λAA'=λ，所以BC=AB2+A因为三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，所以平面A'B'C'⊥平面BB'C'C，因为AB=AC，所以A'B'=A'C'，又点N是B'C'的中点，所以A'N⊥B'C'，又平面A'B'C'∩平面BB'C'C=B'C'，A'N⊂平面A'B'C'，所以A'N⊥平面BB'C'C，又CN⊂平面BB'C'C，所以CN⊥A'N，要使CN⊥平面A'MN，只需CN⊥BN即可，又因为CN=BN=1所以CN2+BN2=BC2，即212+所以λ=2(负值舍去)，即当λ=2时，CN⊥平面A'MN.13.B[方法一分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD=33，A1D1=可知S△ABC=12×6×33=9S△A1B1C1=设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，则V三棱台ABC-A1B1C1=13×(9解得h=4如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，设AM=x，则AA1=AM2DN=AD-AM-MN=23-x，可得DD1=D=(2结合等腰梯形BCC1B1可得BB12=6-22即x2+163=(23-x)2+163解得x=4所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD=A1M方法二将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，则A1A与平面ABC所成的角即为PA与平面ABC所成的角，因为PA1PA=则V三棱锥P-可知V=2627V三棱锥P-ABC=则V三棱锥P-ABC=18，设正三棱锥P-ABC的高为d，则V三棱锥P-ABC=13d×12×6×6×3解得d=23取△ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=23所以PA与平面ABC所成角的正切值tan∠PAO=POAO=1.14.ABD[因为D，E分别是BC1，AC1的中点，所以DE∥AB，又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1，故A正确；因为AC1⊥平面A1B1C1，所以AC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以AC1⊥BC，因为AB⊥BC，AB∩AC1=A，AB，AC1⊂平面ABC1，所以BC⊥平面ABC1，又AD⊂平面ABC1，所以BC⊥AD，因为AD⊥BC1，BC∩BC1=B，BC，BC1⊂平面BCC1，则AD⊥平面BCC1，故B正确；由于D为BC1的中点，且AD⊥BC1，AC1⊥AB