福建省厦门海沧实验中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

2023-2024学年福建省厦门市海沧实验中学高二（上）段考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知向量＝（3，﹣1，2），＝（﹣6，2，t），∥，则t＝（）A．10 B．﹣10 C．4 D．﹣42．（5分）直线l的一个方向向量为，平面β的一个法向量，则直线l与平面β（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定3．（5分）点O为空间任意一点，若＝，则A，B，C，P四点（）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断4．（5分）设＝2﹣+，＝+3﹣2，＝﹣2+﹣3，＝3+2+5，（其中是两两垂直的单位向量），若，则实数λ，μ，ν的值分别是（）A．1，﹣2，﹣3 B．﹣2，1，﹣3 C．﹣2，1，3 D．﹣1，2，35．（5分）在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，E为BC的中点，则＝（）A．+﹣ B．﹣﹣+ C．﹣+ D．﹣+﹣6．（5分）已知四边形ABCD满足•＞0，•＞0，•，•＞0，则四边形为（）A．平行四边形 B．梯形 C．平面四边形 D．空间四边形7．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与AD1所形成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．（5分）在三棱锥O﹣ABC中，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，OB＝OC＝2OA＝2，E为OC的中点，则等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列结论错误的是（）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）（多选）10．（5分）设是空间一个基底，下列选项中正确的是（）A．若，，则 B．则两两共面，但不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使 D．则，，一定能构成空间的一个基底（多选）11．（5分）若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（）A．4 B．5 C．6 D．7（多选）12．（5分）如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则下列四个结论中正确的是（）A．AC⊥BD B．△ACD是等边三角形 C．AB与CD所成的角为60° D．AB与平面BCD所成的角为60°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是．14．（5分）已知{，，}是空间向量的单位正交基底，{+，﹣，2}是空间向量的另一个基底，若向量p在基底{+，﹣，2}下的坐标是（1，2，3），则向量p在基底{，，}下的坐标是．15．（5分）直线l的方向向量为，且l过点A（1，1，1），则点P（1，﹣1，﹣1）到l的距离为．16．（5分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，若M是侧面BCC1B1内的动点，且AM⊥MC，则A1M与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量，，且．（1）求c的值；（2）若与互相垂直，求实数k的值．18．（12分）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x，y的值：（1）；（2）；（3）．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点．（1）证明FC1∥AE，并求直线FC1到直线AE的距离；（2）求点A1到平面AB1E的距离．20．（12分）如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，CD＝AD＝4，棱PA⊥平面ABCD，PA∥BE，PA＝4，BE＝2，F为PD的中点．（1）求证：AF∥平面PBC；（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：平面AEF⊥平面PCD；​（2）求平面AEF与平面AEP所成角的余弦值．22．（12分）如图甲，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为线段DC的中点，△ADE沿直线AE折起，使得DC＝，如图乙．（1）求证：BE⊥平面ADE；（2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置．

2023-2024学年福建省厦门市海沧实验中学高二（上）段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知向量＝（3，﹣1，2），＝（﹣6，2，t），∥，则t＝（）A．10 B．﹣10 C．4 D．﹣4【考点】共线向量与共面向量．【答案】D【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵向量＝（3，﹣1，2），＝（﹣6，2，t），∥，∴，解得t＝﹣4．故选：D．2．（5分）直线l的一个方向向量为，平面β的一个法向量，则直线l与平面β（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定【考点】平面的法向量；空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】B【分析】由题意，根据直线与平面垂直的判定定理判断即可．【解答】解：因为直线l的一个方向向量为，平面β的一个法向量，所以，即，故直线l⊥平面β．故选：B．3．（5分）点O为空间任意一点，若＝，则A，B，C，P四点（）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断【考点】共线向量与共面向量．【答案】B【分析】由共面向量基本定理直接求解．【解答】解：∵点O为空间任意一点，＝，＝1，∴由共面向量基本定理得A，B，C，P四点一定共面．故选：B．4．（5分）设＝2﹣+，＝+3﹣2，＝﹣2+﹣3，＝3+2+5，（其中是两两垂直的单位向量），若，则实数λ，μ，ν的值分别是（）A．1，﹣2，﹣3 B．﹣2，1，﹣3 C．﹣2，1，3 D．﹣1，2，3【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【答案】B【分析】利用向量的线性运算、向量相等即可得出．【解答】解：∵，∴3+2+5＝λ（2﹣+）+μ（+3﹣2）+v（﹣2+﹣3）＝（2λ+μ﹣2v）++，∴，解得．故选：B．5．（5分）在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，E为BC的中点，则＝（）A．+﹣ B．﹣﹣+ C．﹣+ D．﹣+﹣【考点】空间向量及其线性运算．【答案】B【分析】由已知结合空间向量的线性运算即可求解．【解答】解：因为AF＝2FD，E为BC的中点，则＝＝＝（）﹣+＝﹣．故选：B．6．（5分）已知四边形ABCD满足•＞0，•＞0，•，•＞0，则四边形为（）A．平行四边形 B．梯形 C．平面四边形 D．空间四边形【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】由已知条件得四边形的A，B，C，D角均为钝角，所以该四边形是一个空间四边形．【解答】解：∵•＞0，∴由两向量的夹角公式可得cos＜，＞＞0根据两向量的夹角的定义可以知道四边形中∠ABC∈（，π），同理这个四边形的A，C，D内角都大于90°，则这与平面四边形为空间四边形．故选：D．7．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与AD1所形成角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【答案】C【分析】可分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设AB＝1，从而可得出A，D1，B，E的坐标，从而得出向量z的坐标，进而可求出，从而得出异面直线BE与AD1所形成角的余弦值．【解答】解：如图，以点D为原点，分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则：A（1，0，0），D1（0，0，2），B（1，1，0），E（1，0，1），∴，∴＝，∴异面直线BE与AD1所形成角的余弦值为．故选：C．8．（5分）在三棱锥O﹣ABC中，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，OB＝OC＝2OA＝2，E为OC的中点，则等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【考点】空间向量及其线性运算．【答案】C【分析】由题意可得，再由数量积的运算律代入求解即可．【解答】解：因为∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，OB＝OC＝2OA＝2，所以，，，因为，＝．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列结论错误的是（）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）【考点】空间向量的数量积运算；平面的法向量；共线向量与共面向量．【答案】AC【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面ABC的法向量为，则，由此能求出结果．【解答】解：对于A：，∵，∴与不是共线向量，故A错误；对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；对于C：，∴，故C错误；对于D：，设平面ABC的法向量为，则，取x＝1，得，故D正确．故选：AC．（多选）10．（5分）设是空间一个基底，下列选项中正确的是（）A．若，，则 B．则两两共面，但不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使 D．则，，一定能构成空间的一个基底【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【答案】BCD【分析】根据空间向量的基底的概念，对选项逐一分析，能求出结果．【解答】解：是空间一个基底，对于A，若，，则所成角不一定是，∴不一定成立，故A错误；对于B，由基底的定义和性质得两两共面，但不可能共面，故B正确；对于C，根据空间向量基本定理得：对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使，故C正确；对于D，假设，，共面，而不共面，有与不共线，则存在实数λ，μ，使得＝λ（）+μ（），∴（1﹣μ）+（1﹣λ）﹣（λ+μ）＝，是空间一个基底，则，矛盾，∴假设错误，∴，，不共面，∴，，一定能构成空间的一个基底，故D正确．故选：BCD．（多选）11．（5分）若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的性质及其运算；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式．【答案】CD【分析】根据题意，由向量数量积的性质可得•＞0且、不共线，由此可得关于x的不等式，解可得x的取值范围，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，若向量与的夹角为锐角，则•＞0且、不共线，必有，解可得x＞5，即x的取值范围为（5，+∞），分析选项：x＝6或7符合．故选：CD．（多选）12．（5分）如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则下列四个结论中正确的是（）A．AC⊥BD B．△ACD是等边三角形 C．AB与CD所成的角为60° D．AB与平面BCD所成的角为60°【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【答案】ABC【分析】对于A，根据等腰三角形的三线合一及线面垂直的判定定理，再利用线面垂直的性质定理即可求解；对于B，根据直线三角形斜边的中线定理和面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及勾股定理能求出结果；对于C，根据直角三角形斜边的中线定理及三角形的中位线定理，再结合异面直线所成角的定义即可求解；对于D，根据B选项及线面角的定义，结合等腰三角形即可求解．【解答】解：如图所示，对于A，取BD的中点E，连接AE，EC，AC，折叠后△ABD，△BCD是等腰直角三角形，BD⊥AE，BD⊥CE，又AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，∵AC⊂平面AEC，∴AC⊥BD，故A正确；对于B，设折叠前正方形的边长为a，则BD＝a，∴AE＝EC＝a，由平面ABD⊥平面BCD，∵E是BD的中点，△ABD是等腰直角三角形，∴BD⊥AE，又平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，∴AE⊥平面BCD，∵CE⊂平面BCD，∴AE⊥CE，∴AC＝＝＝a，∴△ACD是等边三角形，故B正确；对于C，设折叠前正方形的边长为a，则取BC的中点F，AC的中点G，连接EF，EG，FG，∴EF∥CD，EF＝＝，FG∥AB，FG＝＝a，∴∠GFE是AB与CD所成的角（或所成角的补角），在Rt△AEC中，EG＝，∴△EFG是等边三角形，∴∠GFE＝60°，∴AB与CD所成的角大小为60°，故C正确；对于D，由B选项知，AE⊥平面BCD，BE是直线AB在平面BCD内的射影，∴∠ABE直线AB与平面BCD所成角，∵E是BD的中点，Rt△ABD是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝BD，AE⊥BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠ABE＝45°，∴AB与平面BCD所成角为∠ABE＝45°，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是．【考点】投影向量；空间向量的数量积运算．【答案】．【分析】根据投影向量结合向量的坐标运算求解．【解答】解：由题意可得：，所以向量在向量上的投影向量为．故答案为：．14．（5分）已知{，，}是空间向量的单位正交基底，{+，﹣，2}是空间向量的另一个基底，若向量p在基底{+，﹣，2}下的坐标是（1，2，3），则向量p在基底{，，}下的坐标是（3，﹣1，6）．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理．【答案】（3，﹣1，6）．【分析】根据坐标定义公式与模公式即可求解．【解答】解：∵向量p在基底{+，﹣，2}下的坐标是（1，2，3），∴＝（）+2（）+3（2）＝，∴向量p在基底{，，}下的坐标是（3，﹣1，6）．故答案为：（3，﹣1，6）．15．（5分）直线l的方向向量为，且l过点A（1，1，1），则点P（1，﹣1，﹣1）到l的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算；点到直线的距离公式．【答案】．【分析】利用空间向量投影和点到线的距离公式运算即可．【解答】解：∵A（1，1，1），P（1，﹣1，﹣1），∴，又直线l的方向向量为，∴在方向上的投影，∴P到l距离．故答案为：．16．（5分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，若M是侧面BCC1B1内的动点，且AM⊥MC，则A1M与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为2．【考点】直线与平面所成的角．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据题意确定点M的轨迹，再根据线面角定义可知A1M与平面BCC1B1所成角为∠A1MB1，由图形可得当点M位于B1O与圆弧的交点时，正切值取最大值，由此得解．【解答】解：∵AM⊥MC，且点M在侧面BCC1B1内，∴点M在侧面BCC1B1内的轨迹为以BC中点O为圆心，2为半径的圆弧（不包括B，C），如图所示，又四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，易知A1M与平面BCC1B1所成角为∠A1MB1，则tan∠A1MB1＝＝，显然当M位于点C时，B1M最大，tan∠A1MB1最小，当M位于B1C与圆弧的交点时，B1M最小，tan∠A1MB1最大，且B1M＝﹣2＝2，此时tan∠A1MB1＝＝2，则A1M与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为2．故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量，，且．（1）求c的值；（2）若与互相垂直，求实数k的值．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】（1）c＝±2；（2）．【分析】（1）求出，根据向量模长公式列出方程，求出c＝±2；（2）分c＝2与c＝﹣2两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k的值．【解答】解：（1），所以，解得：c＝±2；（2）当c＝2时，，，因为与互相垂直，所以3（k﹣1）+2k﹣22＝0，解得：，当c＝﹣2时，，，因为与互相垂直，所以3（k﹣1）+2k﹣22＝0，解得：，综上：．18．（12分）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x，y的值：（1）；（2）；（3）．【考点】空间向量及其线性运算．【答案】（1）x＝1；（2）x＝，y＝；（3）x＝，y＝．【分析】根据空间向量的线性运算法则，计算即可．【解答】解：如图所示，（1）正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，＝++，所以x＝1；（2）＝+＝+＝+（+）＝++，所以x＝，y＝；（3）＝+＝+＝+（+）＝++，所以x＝，y＝．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点．（1）证明FC1∥AE，并求直线FC1到直线AE的距离；（2）求点A1到平面AB1E的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【答案】（1）证明见解析，直线FC1到直线AE的距离为；（2）点A1到平面AB1E的距离为．【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离公式求出直线FC1到直线AE的距离即可；（2）求出平面AB1E的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案．【解答】解：（1）证明：如图所示，以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），B（1，1，0），E（0，0，1），A1（1，0，2），C1（0，1，2），B1（1，1，2），F（1，1，1），∵＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，0，1），∴，∴FC1∥AE；又＝（1，1，0），设直线FC1到直线AE的距离为d2，则d2即为F到直线AE的距离，又d2＝＝，∴直线FC1到直线AE的距离为；（2）设平面AB1E的法向量为＝（x，y，z），则，取＝（1，﹣2，1），设点A1到平面AB1E的距离为d2，∴d2＝＝＝，则点A1到平面AB1E的距离为．20．（12分）如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，CD＝AD＝4，棱PA⊥平面ABCD，PA∥BE，PA＝4，BE＝2，F为PD的中点．（1）求证：AF∥平面PBC；（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面的法向量后利用线面角的向量公式直接求解即可．【解答】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，且AB⊥AD，故建系如图：则A（0，0，0），B（0，2，0），D（4，0，0），P（0，0，4），F（2，0，2），E（0，2，2），C（4，4，0），所以，设平面BPC的法向量为，则，取，所以，故，又AF⊄平面PBC，所以AF∥平面PBC；（2）由（1）得，设平面PCD的法向量为，则，取，所以，设直线BE与平面PCD所成的角为θ，则，又，所以．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：平面AEF⊥平面PCD；​（2）求平面AEF与平面AEP所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质，面面垂直的判定定理，即可证明；（2）建系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，又PA＝AD，E为PD的中点，∴AE⊥PD，又CD∩