北师大版小学五年级数学上册‘倍数与因数’单元巩固与拓展教案

北师大版小学五年级数学上册‘倍数与因数’单元巩固与拓展教案

一、教学设计理念与依据

本次教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于北师大版五年级数学上册第二单元《倍数与因数》的核心内容。本单元是数论知识的启蒙，是学生从“数的运算”转向“数的关系”认识的关键阶梯，对发展学生的数感、逻辑推理能力和抽象思维具有奠基性作用。教学设计秉承“以学生发展为本”的理念，超越简单的技能操练，着力于引导学生深度理解倍数、因数、质数、合数、奇数和偶数的概念内涵及其相互关联。通过创设结构化、挑战性的学习任务，鼓励学生主动探究、合作交流，在解决真实或模拟的数学问题过程中，实现从具体到抽象，再从抽象回归应用的认知闭环。同时，设计融入数学文化元素和跨学科视角，展现数学的严谨性与应用广泛性，旨在培养学生的数学学习兴趣和科学探究精神，达成数学核心素养的渗透与提升。

二、教学内容与学情分析

教学内容聚焦于北师大版五年级上册“倍数与因数”单元的核心概念体系及其综合应用。具体包括：1.倍数与因数的意义及其求法；2.2、5、3的倍数的特征探索与应用；3.质数、合数的意义及其判断；4.奇数和偶数的概念及其性质；5.综合运用以上知识解决实际问题，如找最大公因数、最小公倍数的初步渗透（虽为后续单元内容，但可作铺垫性接触）。本单元知识逻辑链条紧密，概念抽象程度较高。

学情分析：五年级学生已经掌握了整数四则运算，具备一定的抽象思维能力和归纳能力。他们能够通过观察算式（如乘法、除法算式）初步理解倍数与因数的依存关系，但在概念的本质理解和灵活运用上仍存在挑战。常见困难包括：容易混淆“倍数”与“几倍”的表述；寻找一个数的全部因数时易出现遗漏；判断较大数的倍数特征时不够熟练；对质数、合数概念的理解停留在表面记忆，对其在数系中的分布与意义缺乏感知。此外，学生初步具备小组合作学习的经验，但需要更具引导性的任务驱动和更清晰的评价标准，以提升合作探究的实效性。

三、教学目标

依据课程标准和学生实际，确立以下三维教学目标：

1.知识与技能：学生能准确叙述倍数、因数、质数、合数、奇数、偶数的意义；能熟练找出一个数的全部因数、在指定范围内找出一个数的倍数；能快速判断一个数是否是2、5、3的倍数；能运用概念解决简单的实际问题，如分类、推理、初步的优化问题。

2.过程与方法：经历“观察-猜想-验证-归纳”的探究过程，深化对2、5、3倍数特征的理解；通过尝试、列举、对比等方法，掌握有序寻找因数和倍数的方法，发展思维的条理性；在解决综合性问题的过程中，学习分析、综合、推理等数学思考方法。

3.情感态度与价值观：体验数学知识间的内在联系和逻辑之美，感受数学的严谨性；在克服挑战性问题的过程中获得成就感，增强学习数学的自信心；了解一些与数论相关的数学文化（如哥德巴赫猜想），激发好奇心和探索欲。

四、教学重难点

教学重点：倍数与因数概念的建立与相互关系的理解；2、5、3的倍数特征的探索与应用；质数、合数的意义及其判断方法。

教学难点：有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数；理解质数、合数概念的本质，能快速判断较大数（百以内）是否为质数；综合运用多个概念分析和解决稍复杂的实际问题。

五、教学准备

1.教具准备：多媒体课件（包含互动游戏、动画演示、数学史介绍片段）；数字卡片（1-100）；实物投影仪；磁性小圆片或计数棒。

2.学具准备：每位学生准备练习本、学习单（预置探究任务和阶梯式练习题）；每小组一套百数表（可操作，如可覆盖或标记）；每组一套标有数字的卡片。

3.环境准备：教室桌椅按四人或六人合作小组布局，便于讨论与展示。

六、教学过程实施

（一）情境激趣，概念再现（预计用时：12分钟）

教师活动：以“数字侦探社”招募成员为情境导入。课件出示一组密码线索：“我是一个两位数，是5的倍数，十位上是最大的一个质数（10以内），同时还是3的倍数。我是谁？”引导学生快速口答，激活关于倍数、质数的旧知。随后，教师揭示“侦探社”的第一个任务：梳理“数字关系档案”。引导学生以小组为单位，利用思维导图或概念图的形式，梳理本单元涉及的所有核心概念（倍数、因数、质数、合数、奇数、偶数）及其关键特征、判断方法、相互联系。教师巡视指导，关注学生梳理的准确性和结构性。

学生活动：积极参与密码破解，快速回忆相关概念。小组合作，在白板或学习单上绘制概念网络图。例如，可以从“非零自然数”出发，按能否被2整除分出奇、偶数；按因数的个数分出1、质数、合数；用箭头标注“整除”关系引出倍数与因数等。各小组派代表展示并解说自己的“档案”。

设计意图：通过趣味情境和具有挑战性的谜题迅速吸引学生注意力，实现“热身”。概念图梳理活动将零散的知识点系统化、结构化，有助于学生构建清晰的知识网络，为后续综合应用奠定坚实的认知基础。合作形式促进了思维碰撞和语言表达。

（二）分层探究，深化理解（预计用时：25分钟）

本环节设计三个层层递进的探究活动，每个活动聚焦一个重点或难点。

活动一：“因数寻踪”——探究因数寻找的最优策略

任务：找出数字“36”的所有因数。比比看，哪个小组找得又全又快，方法最有条理。

学生活动：独立思考后小组合作。学生可能的方法有：从1开始逐个试除；成对寻找（1和36，2和18，3和12，4和9，6和6）。教师引导学生比较不同方法的优劣，重点强调“成对寻找”法如何保证不重不漏，并让学生体会当两个因数相等时（6×6），就找到了“中间点”，搜索可以停止。

拓展挑战：给出数字“72”，让学生应用优化后的策略快速寻找因数。讨论：一个数的因数个数是有限的还是无限的？最小和最大的因数分别是什么？

设计意图：将寻找因数的技能训练升格为策略优化的探究过程，培养学生有序思考的数学品质和追求简洁美的意识。通过对比和反思，学生内化方法，理解概念背后的数学规律。

活动二：“倍数密码”——探究2、5、3倍数特征的根源

任务：为什么判断一个数是否是2或5的倍数，只需要看个位？为什么判断是否是3的倍数，却要看各位数字之和？请利用计数器（小棒或圆片）或位值原理进行解释。

学生活动：分组选择探究问题。对于2和5的倍数，学生可能借助计数器，演示十位、百位……上的珠子都可以被平均分成2份或5份，所以关键在于个位上的数能否被整除。对于3的倍数，教师可引导学生用数字卡片（如123）代表百位、十位、个位，理解100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)，前两部分都是3的倍数，因此整个数是否为3的倍数取决于(a+b+c)。学生尝试用自己的语言解释发现。

设计意图：引导学生追溯数学规律的根源，超越机械记忆。通过操作和推理，理解特征背后的算理，实现“知其然更知其所以然”，发展推理能力和初步的代数思维。

活动三：“质数筛子”——探究百以内质数的分布与快速判断

任务：使用著名的“埃拉托斯特尼筛法”，在百数表上找出所有的质数。观察百数表，质数主要分布在哪里？尝试总结快速判断一个两位数是否为质数的小窍门（如：个位是偶数或5的肯定不是质数；数字和是3的倍数的不是质数；只需用较小的质数去试除等）。

学生活动：小组合作，操作百数表（纸质版或电子互动版），划掉1，然后从2开始，划掉所有2的倍数（除了2本身），接着划掉3的倍数（除了3）……以此类推，剩下的数即为质数。观察质数分布（多在“边缘”位置，如6的倍数两侧？），交流判断窍门。

设计意图：引入经典的数学方法，让学生亲历质数筛选的过程，感受数学方法的智慧与力量。观察分布和总结窍门，旨在培养学生的数感和归纳能力，使质数判断从“硬记”变为“巧判”。

（三）综合应用，拓展提升（预计用时：20分钟）

创设一个综合性的问题情境：“学校‘六一’游园会筹备”。设计一组关联问题，要求学生综合运用本单元知识解决。

1.分组问题：五年级有48名男生和36名女生要混合编组进行游园比赛，要求每组男女生人数分别相等，且每组人数超过5人。最多可以分成几组？每组男女生各多少人？（渗透最大公因数思想）

2.彩旗问题：在环形跑道一侧插彩旗，按“红、黄、蓝、绿”顺序循环。第51面、第100面彩旗各是什么颜色？（周期问题，与倍数相关）

3.号码牌问题：游园会门票号码是三位数，既是2的倍数，又是3的倍数，同时含有因数5。这样的号码牌最大是多少？最小是多少？

4.解密游戏：设计一个基于质数编码的简单解密游戏，如每个字母对应一个质数序号等。

学生活动：小组选择2-3个问题进行攻关。鼓励学生用画图、列举、推理等多种策略解决问题。教师巡视，重点关注学生是否能清晰地将实际问题转化为数学模型（倍数、因数关系），以及解题策略的多样性和逻辑的严谨性。各组汇报解决方案，全班交流评议。

设计意图：将数学知识置于真实、有趣的语境中，提升学生的问题解决能力和数学应用意识。问题设计具有梯度性和开放性，满足不同层次学生的需求。通过小组合作与全班分享，拓宽思路，深化理解。

（四）总结反思，评价延伸（预计用时：8分钟）

1.总结反思：引导学生以“我今天当‘数字侦探’最大的收获是……”或“关于数的世界，我还想知道……”为话题进行反思分享。教师进行课堂总结，强调本单元概念间的网络化结构，以及有序思考、探究根源的重要性。

2.课堂评价：通过观察学生在探究活动中的参与度、思维深度，在应用环节的解题策略，以及总结反思时的表达，进行过程性评价。学习单的完成情况作为辅助评价依据。

3.延伸作业：

基础巩固：完成教材练习二中的精选题目，确保概念清晰，计算准确。

实践探究：寻找生活中的“倍数与因数”现象（如包装、排班、地砖铺设等），写一篇简短的数学日记或拍摄照片配以说明。

思维挑战：研究“完美数”（一个数等于除它本身以外的所有因数之和，如6）或“哥德巴赫猜想”（任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和）的简单介绍，并尝试验证几个小例子，写下自己的感想。

设计意图：反思环节促使学生进行元认知监控，梳理学习收获。分层作业设计兼顾了巩固、应用与拓展，满足了学生的个性化发展需求，将数学学习从课堂延伸至课外和生活。

七、板书设计（纲要式）

板书在课堂进程中动态生成，左侧为主板，右侧为副板（用于展示学生想法或临时推导）。

主板：

数字侦探社——倍数与因数王国

核心网络：（图示）

非零自然数

├─按能否被2整除：奇数、偶数

├─按因数个数：1、质数（只有2个因数）、合数（至少3个因数）

└─整除关系：倍数（a÷b=c…0）←→因数

关键技能：

1.找因数：成对找，到“平方”停。

2.判倍数：2、5看个位；3看各位和。

3.识质数：筛法寻，小质除，看个位和。

副板：

学生探究成果展示区（如：36的因数对、倍数特征解释图、百数表中的质数圈画等）。

综合问题关键思路点拨。

八、教学资源链接（建议）

1.国家中小学智慧教育平台：北师大版五年级上册《倍数与因数》相关微课视频。

2.数学文化读物：《数字奇观》、《数学万花筒》中关于质数、完美数等趣味章节。

3.互动数学网站或APP：提供可操作的“埃拉托斯特尼筛法”模拟程序、因数倍数配对游戏等。

九、教学反思与后记

本节练习课的设计，力图超越传统练习题的堆砌，构建一个以探究为主线、以思维发展为核心、以综合应用为目标的深度学习场域。通过“侦探社”情境的贯穿，赋予了学习任务以趣味性和使命感。三大探究活动直指学生的认知难点，将技能训练转化为策略探究和算理追寻，有效促进了学生的深度理解。综合性应用问题将知识还原于生动的情境，锻炼了学生的数学建模和解决问题的能力。

实施过程中，预计学生的参与度会较高，但在探究倍数特征